第十一章连续小波变换

1、Digital Signal Processing 短时傅里叶变换必须在时域分辨率和频域分辨之间做折衷 Gabor变换在时频相平面上按固定窗口大小堆砌理想状态 既能用短持续时间的窗函数对信号中的快速变化分析 又能用长持续时间窗函数对信号中的缓慢变化分析 Digital Signal Processing 时频堆砌 “变焦”功能示意图 宽分析窗窄分析窗Digital Signal Processing 小波变换的发展 地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念 数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基 S.Mallat提出了多分辨率概念，引出构造正交小波基的一般方法 I.

2、Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基 Digital Signal Processing 分析窗函数（小波函数）的时域局域化指标 分析窗的尺度伸缩平移 ( ),t t *,22t)(1,ataa尺度伸缩平移窗函数的局域化指标 *,22aataaDigital Signal Processing 尺度伸缩平移窗函数的特性尺度a增加，分析窗时域伸展，带宽变小尺度a减小，分析窗时域收缩，带宽变大分析窗的时间带宽乘积等于常数 ,a 常数Digital Signal Processing 22/2( )(1)ttte例，2() /22,( )1()taatteaDigit

3、al Signal Processing 尺度调节对时频相平面的影响调节尺度可改变分析窗的时、频域分辨率，类似调节显微镜的焦距 尺度大时，可以观察被分析信号的低频频部分（信号全貌） 尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部 Digital Signal Processing q连续小波变换的定义 2( )( )x tL R时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数 信号小波函数尺度伸缩与平移 CWT变换( ) t,( )at*,2( , )( ),( )( )( )1( ) ()0, ( )xaaCWT ax ttx tt dttx tdtax tLaaDigital Signal Proces

4、sing 某尺度下CWT的计算过程某尺度和某位移下的CWT值等于求信号与小波函数的尺度伸缩平移的相关Digital Signal Processing q连续小波变换的频域分析 *11( , )( )()( )*()1( )()xttCWT ax tdtx taaaatIFTxFTaa*()()( )()ej tj autauttFTdtau eduaaaa*( , )( )()xCWT aa IFT xaDigital Signal Processing 频域观察CWT的物理意义若小波函数的频谱具有带通特性，不同尺度CWT等效提取信号在不同频带的成份 尺度参数a与模拟角频率参数等效 频域局域

5、化指标为 *()a*,22aaaa尺度大，带宽小，便于精确分析信号中的低频成份 尺度小，带宽大，便于分析信号中的高频成份 Digital Signal Processing 典型小波函数不同尺度下的频率特性Digital Signal Processing q连续小波变换的逆变换 Moyal定理 212( ),( )()x tx tL R2( )cd 12121,220( ),( )( , ),( , )( ),( )( ),( )xxaacx tx tWTaWTadax tttxtda 连续小波变换的逆变换 12( )( ),( )()x tx tx ttu201( )( , )()xdat

6、x tWT adcaaDigital Signal Processing q小波函数的特性 振荡性 20( )( )( )0cdt dt 正则性 小波函数的阶原点距 *( )kkMtt dt*( )*0( )*01( , )( )()1()( )()!1( )()()!xkkkkkktCWT ax tdtaattxdtkaaxttdtkaaDigital Signal Processing tau正则性 小波函数的正则性阶次为p时，小波变换中只包含被分析信号的p阶导数以上的成份 当需要提取被分析信号的快速变化信息时，必须选择正则性条件高的小波函数 Digital Signal Processi

7、ng 其它特性 光滑性和连续性 :避免短时加窗截断时的非线性影响 紧支集性:时域或频域紧支性可保证小波函数在一个域中具有最好的局域化特性 线性相位性 :防止小波变换过程中产生相位失真 正交性 :变换之后的冗余度最小，实现最大限度的数据压缩 具有解析表达式 :方便连续小波变换的计算 Digital Signal Processing q常见小波函数 Morlet小波 200( )5tjtTtee240( )()TT e Digital Signal Processing Haar小波 101/2( )11/21ttt 24( )sin()4jje Digital Signal Processin

8、g 墨西哥草帽（Mexican Hat）或Marr小波 21/42/22( )(1)3ttte21/42/22( )3e Digital Signal Processing Meyer小波 1/2/222/21/2/22208/302/32321exp4/38/33(8/3 ) (4/3 )( )4/341exp2/34/33(4/3 ) (2/3 )jjjoreee 1( )( )2j tted Digital Signal Processing 无解析表达式的小波 Daubechies小波系列dbN；双正交小波系列biorNr.Nd;Coiflet小波系列Symlets小波系列symN;样

9、条小波系列Digital Signal Processing Matlab工具箱中常用小波及其特性比较 Digital Signal Processing 线性性 12( )( )( )y tx tx t12( , )( , )( , )yxxWT aWTaWTa时移不变性 0()x tt0()0( , )( ,)x t txWTaWT at尺度伸缩性 0()x a t 0()00( , )(,)x a txWTaWT aa aDigital Signal Processing 内积定理（Moyal定理） 121( ), 2( )( , ),( , )xxcx txtWTaWTa交叉项特性 1

10、2( )( )( )y tx tx t121222212( , )( , )( , )( , )( , ) cos()yxxxxWT aWTaWTaWTaWTa冗余度和再生核 000020(,)( , )(,; , )xxdaWT aWT aKaadta0000,1(,; , )( ),( )aaKaattcCWT变换结果中信息是冗余:离散化的依据，降噪 选择正交基小波函数可去除CWT变换中的相关性0000,001(,; , )( ),( )() ()aaKaattaac Digital Signal Processing qCWT变换的数值卷积实现 (),0,1,.,sx kTk (1)*0

11、(1)*011( , )( )()()()1()()()sssskTxskTkkTkTskttCWT ax tdtx kTdtaaaattx kTdtdtaaa(1)(1)*( )( )()()sskTkTaatttdttdtaasnT(1)(1)*()()(1) (1) (1)ssaaakTkTasstdttnT dtIkn TInkInka 01( , )() (1) (1)( ), ( )( )* ( )aaaxskCWT ax kTInkInky ny ny nx nInaDigital Signal Processing CWT卷积法计算过程 Digital Signal Proce

12、ssing 由 计算asIkTsIkT 归一化尺度a=1时小波函数对应的短时分析窗宽度 Ts1小波采样频率 1(),0,1,.,snTnN Ts信号采样频率 00,(2)sN TN 任意尺度a小波函数对应的短时分析窗0 sa N T 对 抽样或插值得 ( ),0,1,.,In nN( ),0,1,.,aaIn nN CWT变换的最大尺度值 00/ssa N TNTaN NDigital Signal Processing MatlabCWT变换函数：Coefs=CWT（x，scale，wname） 1 4a 1 50a Digital Signal Processing 分析50HZ和450H

13、Z信号成份尺度的选择 采样频率为时，50HZ信号成份一个周期对应400个点，450HZ信号成份一个周期对应44个点左右。尺度等于1时对应的分析窗宽度约为4个采样点。只有当尺度等于100左右时，分析窗的宽度才能与50HZ信号成份相匹配，当尺度等于10左右时，分析窗的宽度可以与450HZ信号成份相匹配 Digital Signal Processing qCWT变换的应用特点可以在某一局部尺度范围内对信号进行精确分析 较小时，分析步长仍可选任意小maxmin/aaDigital Signal Processing q应用梅林变换计算CWT CWT卷积算法一次可以计算固定尺度下不同位移处的CWT值

14、梅林变换一次可以计算固定位移下不同尺度处的CWT值 梅林变换 ( ),0 x t t 10 ( )( )zM x tx t tdt2,zjR 210( ) ( )( )jMM x tx t edtDigital Signal Processing 梅林逆变换 20( )( )jx tMedtute2200( )()( ) ( )ujujuMx eedux u eduIFT x u梅林变换时间方向的对数压缩 (ln )utDigital Signal Processing 梅林变换性质 尺度伸缩性 2 ( )( )jtMT xeMa乘积定理 1122( )( ),( )( )MMT x tMMT

15、 x t*1*12120( )( )( )( )x t x t t dtMMdDigital Signal Processing 基于梅林变换的CWT计算 12( )(),( )( )x tx tx ttt1122( )( ),( )( )MMT x tMMT x t222( )( )( )jtttMTMT xeMaaa*12*12120( )( )( )( )jtx t xt dteMMda*1*1200*01( )( )()( )1( )()1( , )ttx t xt dtx tdtaaatx tdtaaCWT aa 2*212*212( , )(, )( , )( )( )( )( )jCWT aCWT eCWTeeMMdeFT MM Digital Signal Processing 基于梅林变换CWT的计算步骤 梅林变换