有限元法基础-12动力学问题

1、第十二章 动力学问题 12.1 动力学问题的有限元方程12.2 质量矩阵与阻尼矩阵12.3 直接积分法12.4 特征值问题及解法12.5 振型叠加法12.6 减缩系统自由度的方法112. 动力学问题关键概念关键概念一致质量矩阵一致质量矩阵 团聚质量矩阵团聚质量矩阵振型阻尼矩阵振型阻尼矩阵 Rayleigh阻尼阻尼显式积分显式积分 隐式积分隐式积分Guyan减缩法减缩法 动力子结构法动力子结构法有限元法基础212. 动力学问题12.1 12.1 动力学问题的有限元方程动力学问题的有限元方程（一）动力学问题的基本方程（一）动力学问题的基本方程平衡方程平衡方程几何方程几何方程本构关系本构关系边界条件

2、边界条件初始条件初始条件有限元法基础3,0V1() V2 V S Sij jiiiiji jj iijijklkliiuijjifuuuuDuunT在 中在 中在 中在上在上000( , , ,0)( , , )( , , ,0)( , , )( , , ,0)( , , )iiiiiiu x y zux y zu x y zux y zu x y zux y z12. 动力学问题（二）（二）Galerkin法法l 平衡方程和力的边界条件的等效积分形式平衡方程和力的边界条件的等效积分形式第一项分部积分第一项分部积分有限元法基础4ijijklkliiiiiiVVVSDdVuuu dVu f dV

3、uTdS,0iij jiiiijjiVSufuu dVunT dS,iij jiijjijijVVVudVundV 12. 动力学问题（三）有限元离散（三）有限元离散l在动力学分析时，物理量是空间（在动力学分析时，物理量是空间（x, y, z）的函数，）的函数，也是时间（也是时间（t）的函数，是一个四维问题）的函数，是一个四维问题l有限元离散，或网格剖分是对空间域进行，这一有限元离散，或网格剖分是对空间域进行，这一步骤与静力学问题分析时相同步骤与静力学问题分析时相同l时间维的离散使用有限差分法处理时间维的离散使用有限差分法处理有限元法基础512. 动力学问题（四）位移插值函数（四）位移插值函数

4、 只对空间域进行离散，插值函数表示为只对空间域进行离散，插值函数表示为写成矩阵形式写成矩阵形式有限元法基础6111( , , , )( , , ) ( )( , , , )( , , ) ( )( , , , )( , , )( )niiiniiiniiiu x y z tN x y z u tv x y z tN x y z v tw x y z tN x y z w t插值函数插值函数与时间无关与时间无关euNq1( , , , )( )( , , , )( )( , , , )( )ieiiniu x y z tu tv x y z tv tw x y z tw tqu =qqq123

5、3niiNNNNNNI12. 动力学问题（五）有限元方程（五）有限元方程 将插值函数代入将插值函数代入Galerkin积分表达式，由积分表达式，由 的任的任意性得，系统的求解方程意性得，系统的求解方程其中其中有限元法基础7q( )( )( )( )ttttMqCqKqQeeeeeeeeM =MC =CK =KQ =QeeeeeeTeTVVeTeTTVVSdVdVdVdV +dVMN NCN NKB DBQN fN T12. 动力学问题（六）典型的动力学问题（六）典型的动力学问题模态分析（模态分析（Modal Analysis） 确定结构的动力学特征确定结构的动力学特征瞬态分析（瞬态分析（Tra

6、nsient Analysis） 使用直接积分法或模态叠加法得到结构的瞬态响应使用直接积分法或模态叠加法得到结构的瞬态响应谐分析（谐分析（Harmonic Analysis） 线性结构承受简谐载荷的稳态响应线性结构承受简谐载荷的稳态响应谱分析（谱分析（Spectrum Analysis） 在响应谱作用下，结构的响应在响应谱作用下，结构的响应 有限元法基础812. 动力学问题12.2 12.2 质量矩阵和阻尼矩阵质量矩阵和阻尼矩阵l动力问题的质量矩阵动力问题的质量矩阵它与所使用的有限元列式的原理和位移插值函数保持它与所使用的有限元列式的原理和位移插值函数保持一致。一致。 假定质量集中在节点上，导

7、出的质量假定质量集中在节点上，导出的质量 矩阵是对角线矩阵，可提高计算效率。矩阵是对角线矩阵，可提高计算效率。有限元法基础9eeTVdVMN N一致质量矩阵一致质量矩阵Consistent Mass团聚质量矩阵团聚质量矩阵Lumped Mass 12. 动力学问题l团聚质量矩阵的计算方法团聚质量矩阵的计算方法（1 1） 中每一行主元等于中每一行主元等于 中该行所有元素之和中该行所有元素之和（2 2） 中每一行主元等于中每一行主元等于 中该行主元乘以缩放中该行主元乘以缩放 因子因子 a 根据平动根据平动DOFDOF质量守恒确定质量守恒确定, ,即即有限元法基础10elMeM10eneeikkli

8、jijijMMelMeM0eeiilijaijijMMeeiiViadVM()i与平动相关的行12. 动力学问题l振型阻尼矩阵振型阻尼矩阵 阻尼正比于质点速度阻尼正比于质点速度 阻尼正比于应变速度阻尼正比于应变速度这种阻尼称为比例阻尼或振型阻尼，比例系数与固有这种阻尼称为比例阻尼或振型阻尼，比例系数与固有频率相关。频率相关。 和和 与频率无关，为常数。与频率无关，为常数。 有限元法基础11eeTVdVCN N阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例阻尼矩阵与质量矩阵或刚度矩阵成比例eeTVdVCB DBRayleigh阻尼阻尼CMK12. 动力学问题12.3 12.3 直接积分法直接积分法 半离散的

9、动力学方程的解法分为两类，一是直接半离散的动力学方程的解法分为两类，一是直接进行数值积分，一类是使用固有振型表达动态响应，进行数值积分，一类是使用固有振型表达动态响应，称为振型叠加法。称为振型叠加法。 直接时间积分一般采用差分格式，分为显式时间直接时间积分一般采用差分格式，分为显式时间和隐式时间积分。和隐式时间积分。 显式积分式条件稳定的，隐式积分是无条件稳定显式积分式条件稳定的，隐式积分是无条件稳定的，各有优缺点。的，各有优缺点。有限元法基础1212. 动力学问题12.3.1 12.3.1 中心差分法中心差分法 有限差分法的理论依据很简单，以有限增量的比有限差分法的理论依据很简单，以有限增量

10、的比值代替数学上的微分，速度表示为值代替数学上的微分，速度表示为中心差分格式为中心差分格式为有限元法基础13duuudtt21()21(2)tttttttttuuutuuuut12. 动力学问题将中心差分格式应用到有限元的半离散方程将中心差分格式应用到有限元的半离散方程整理得递推公式整理得递推公式有限元法基础142221111122tttttttttttMC qQKM qM -C q21122tttttttttttttMqqqCqqKqQ12. 动力学问题中心差分法求解运动方程的步骤中心差分法求解运动方程的步骤1.1.初始计算初始计算1 1）形成刚度矩阵）形成刚度矩阵K K、质量矩阵、质量矩阵

11、M M和阻尼矩阵和阻尼矩阵C C2 2）给定）给定 ， 和和3 3）选择时间步长）选择时间步长 ，4 4）计算）计算5 5）形成有效质量矩阵）形成有效质量矩阵6 6）三角分解）三角分解 有限元法基础150 q0q0 qtcrtt 20002tttqqqq2112ttMMCTMLDL12. 动力学问题2.2.对每一时间步长对每一时间步长1 1）计算时间）计算时间 t 的有效载荷的有效载荷2 2）求解时间）求解时间 的位移的位移3 3）如果需要计算时间）如果需要计算时间 t 的加速度和速度的加速度和速度 有限元法基础16(0,2,)ttt 222112ttttttttQQKM qMC qttTtt

12、tLDL qQ21()21(2)tttttttttttttqqqqqqq12. 动力学问题特点特点（1 1）若已知）若已知 和和 可直接预测下一步的可直接预测下一步的 ，称为逐步积分法。称为逐步积分法。 如果质量矩阵如果质量矩阵M是对角的，是对角的，C也是对角或可以忽略，也是对角或可以忽略，则利用递推公式求解时不需求解方程，直接可得下一则利用递推公式求解时不需求解方程，直接可得下一时间步的预测值。时间步的预测值。有限元法基础17ttqtqttq显示时间积分显示时间积分(Explicit Time Integral) 12. 动力学问题（2 2）当）当t=0时，需要时，需要 和和 ，因此必须用专

13、门的，因此必须用专门的起步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去起步方法。由速度和加速度的中心差分公式，消去 的量，得的量，得初始加速度可用运动方程求得初始加速度可用运动方程求得有限元法基础180qtq20002tttqqqqtt 10000()qMQ -Cq - Kq12. 动力学问题（3 3）中心差分是条件稳定的，时间步长不能任意取，）中心差分是条件稳定的，时间步长不能任意取，最大步长与计算的问题相关，以及网格剖分相关。最大步长与计算的问题相关，以及网格剖分相关。一般步长可取为一般步长可取为 为系统的最高阶固有频率，为系统的最高阶固有频率，Tn是系统的最小固有是系统的最小固有振动周期。实

14、际应用中可以用系统中最小尺度单元的振动周期。实际应用中可以用系统中最小尺度单元的最小振动周期代替系统的最小振动周期代替系统的Tn，因为，因为 。 有限元法基础192ncrnTtt n minennTT12. 动力学问题（4 4）时间步长的确定方式）时间步长的确定方式 a) a) 网格剖分后，找出尺寸最小的单元，形成单元网格剖分后，找出尺寸最小的单元，形成单元的特征方程的特征方程求出最大特征根求出最大特征根 ，得到，得到 。 b) b)网格剖分后，找出尺寸最小的单元的最小边长网格剖分后，找出尺寸最小的单元的最小边长 L，可以近似地估计可以近似地估计 ， ，由此，得，由此，得 ，称为，称为Cour

15、an，Friedrich和和Lewy条件。条件。有限元法基础20( )2( )0eeKMn2/nnT /nTL C(/)CE/crtL C物理解释：时间步长应足够小，以致于在单个时物理解释：时间步长应足够小，以致于在单个时间步内，传播不会超过相邻的两个节点间的距离。间步内，传播不会超过相邻的两个节点间的距离。12. 动力学问题（5 5）中心差分的显示算法，适合于由冲击、碰撞、）中心差分的显示算法，适合于由冲击、碰撞、爆炸类型的载荷引起的波传播问题的求解。爆炸类型的载荷引起的波传播问题的求解。 因为这些问题本身就是在初始扰动后，按一定的因为这些问题本身就是在初始扰动后，按一定的波速波速C逐步在介

16、质中传播。逐步在介质中传播。 对于结构动力学问题，采用显示时间积分不太合对于结构动力学问题，采用显示时间积分不太合适。因为结构的动力响应中低频成分起主要作用，允适。因为结构的动力响应中低频成分起主要作用，允许大的时间步长。许大的时间步长。 有限元法基础2112. 动力学问题l例：波的传播例：波的传播 均匀钢杆，无阻尼，开始静止，突均匀钢杆，无阻尼，开始静止，突然施加轴向端点力。用然施加轴向端点力。用4040个个2 2节点杆单元模拟，材料节点杆单元模拟，材料为线弹性。图中为线弹性。图中Cn为为Courant数，即实际步长与临界数，即实际步长与临界步长的比值。步长的比值。有限元法基础2212. 动

17、力学问题有限元法基础2312. 动力学问题有限元法基础24初始速度为零，开始后在加载。初始速度为零，开始后在加载。12. 动力学问题12.3.2 12.3.2 Newmark法法 Newmark积分法假设，积分法假设，在在 的时间区域内，有的时间区域内，有其中，其中， 和和 是按积分精度、稳定性和算法阻尼要求决是按积分精度、稳定性和算法阻尼要求决定的参数，取不同的值代表不同的积分方案。定的参数，取不同的值代表不同的积分方案。有限元法基础25ttt2(1)1()2tttttttttttttttt qqqqqqqqq12. 动力学问题l几个特例几个特例1 1） ，对应于线性加速度法，即在时间步加速

18、，对应于线性加速度法，即在时间步加速度内线性变化度内线性变化2 2） ，对应于平均加速度法，即在时间步内加，对应于平均加速度法，即在时间步内加速度取平均值速度取平均值有限元法基础2611,6211,42() /(0)ttttttt qqqq1()(0)2ttttt qqq12. 动力学问题Newmark法的运动方程法的运动方程由由Newmark关系式，得关系式，得递推公式为递推公式为有限元法基础27ttttttttMqCqKqQ2111()12tttttttttqqqqq22111112 112tttttttttttttttKMqQMqqqCqqtq12. 动力学问题Newmark法的计算步骤

19、法的计算步骤1.1.初始计算初始计算（1 1）形成刚度矩阵）形成刚度矩阵K，质量矩阵，质量矩阵M和阻尼矩阵和阻尼矩阵C（2）给定）给定 ， 和和（3）选择时间步长）选择时间步长 ，以及参数，以及参数 、 和积分常数和积分常数（4）形成有效刚度矩阵）形成有效刚度矩阵（5）三角分解）三角分解 有限元法基础280 q0q0 qt012324567111121212ccccttttccctct 01cK = K +c M +CTK = LDL12. 动力学问题2.2.对每一时间步长对每一时间步长（1 1）计算时间）计算时间 的有效载荷的有效载荷（2）求解时间）求解时间 的位移的位移（3）计算时间）计算

20、时间 的加速度和速度的加速度和速度有限元法基础29ttTttttLDL qQ(0,2,)ttt 023145ttttttttttccccccQQMqqqCqqqtttt02367()tttttttttttttcccccqqqqqqqqq12. 动力学问题lNewmark法的特点法的特点（1 1）为隐式积分算法（）为隐式积分算法（Implicit Time Integral） 每一步都必须求解方程；每一步都必须求解方程；（2）当）当 时算法是无条件稳定的，时算法是无条件稳定的， 即时间步长得大小不影响解得稳定性；即时间步长得大小不影响解得稳定性；（3）当）当 时是条件稳定的，时是条件稳定的， ；

21、（4）Newmark法特别适合于时程较长的系统数瞬态法特别适合于时程较长的系统数瞬态 响应分析，而且大时间步长可以滤掉高阶不精确响应分析，而且大时间步长可以滤掉高阶不精确 模态对系统响应的影响。模态对系统响应的影响。有限元法基础3020.5,0.25(0.5)0.5,0.5maxcritt 12. 动力学问题有限元法基础3112. 动力学问题有限元法基础3212. 动力学问题12.4 12.4 特征值问题及其解法特征值问题及其解法 系统的运动方程为系统的运动方程为 无阻尼自由振动退化为无阻尼自由振动退化为 设方程解的形式为设方程解的形式为 方程成为方程成为 有限元法基础33( )( )( )(

22、 )ttttMqCqKqQ( )( )0ttMqKq( )i tteqq2()0i teMK q2()0KM q广义特征值问题广义特征值问题2 特征根特征向量q 12. 动力学问题四种类型的解法：四种类型的解法：l直接矢量迭代法（幂法）直接矢量迭代法（幂法）l矩阵变换法矩阵变换法l多项式迭代求解法（行列式搜索法）多项式迭代求解法（行列式搜索法）l利用特征多项式的利用特征多项式的Sturm序列特性求解法序列特性求解法 以及以及 iiiK =M()I ()TT K = M =对角阵单位阵( )det()0pKM( )det()pKM( )( )( )( )( )()det(),1,2,1rrrrr

23、iprnKM 12. 动力学问题12.4.1逆迭代法（幂法）逆迭代法（幂法） 对方程 取近似解 按以下迭代格式求解则序列 将收敛于相应的特征根 的特征矢量。 K =M1x1(1,2,3)kkkKxMx12,x x 1 12. 动力学问题l因为对任一矢量可用特征矢量表示为因为对任一矢量可用特征矢量表示为 代入方程代入方程 按迭代方程有按迭代方程有 若若 ，当，当 时，时， 110 x Mk 11kx11 niiix 1111 nniiiiiiixMMK12111 niiiixxKM1111111 kkknnkiiiiiiiix12n设 12. 动力学问题l为了使为了使Xi不受计算的影响，常常需要

24、归一化不受计算的影响，常常需要归一化l正迭代法的计算方案正迭代法的计算方案 迭代格式迭代格式 若若 ，当，当 时，时，l特征根特征根 的近似解的近似解1111/21()kkkTkxxx M x11111/21()kkkkkTkMxKxxxx M x10Tnx Mk 1knx11111()kkkTkkxKxxxM x 12. 动力学问题12.4.2变换法变换法l 广义特征值问题化为标准特征值问题广义特征值问题化为标准特征值问题 有限元法中的质量矩阵有限元法中的质量矩阵M是对称正定的，则是对称正定的，则 故有故有 定义定义 得到得到TMSSTKMSS 1TS KS TS K 12. 动力学问题l标

25、准特征值问题标准特征值问题 变换法中有变换法中有Jacobi法、法、Givens法、法、Householder，其实质就，其实质就是通过一系列的变换矩阵，将是通过一系列的变换矩阵，将M变换成单位矩阵，将变换成单位矩阵，将K变换成对变换成对角矩阵。角矩阵。nJacobi法法 标准特征值问题的方程标准特征值问题的方程 设完成第设完成第k步变换成为步变换成为 Pk 是正交矩阵是正交矩阵 ，即，即 K1TkkkkKP K PTkkP PI 12. 动力学问题nPk矩阵的构造矩阵的构造 12. 动力学问题n特点特点 在在 时，矩阵时，矩阵K趋于对角阵趋于对角阵 由于只能做有限次变换，因此最后的矩阵是对角

26、占由于只能做有限次变换，因此最后的矩阵是对角占优优 变换后的矩阵总是对称的，可以减少计算次数变换后的矩阵总是对称的，可以减少计算次数 在一次变换使非对角线为零元素，在下次变换中可在一次变换使非对角线为零元素，在下次变换中可能成为非零，因此收敛缓慢能成为非零，因此收敛缓慢 需要结合一些其他策略提高计算效率需要结合一些其他策略提高计算效率k 12. 动力学问题12.4.3 子空间迭代法子空间迭代法 子空间迭代法是求解大型特征值问题的低阶特征值有效方子空间迭代法是求解大型特征值问题的低阶特征值有效方法，它实际上是法，它实际上是Rayleigh-Ritz法和同时逆迭代法的组合法和同时逆迭代法的组合 。

27、l子空间迭代法的步骤子空间迭代法的步骤 1) 建立建立q个初始矢量个初始矢量 (qp, p是要计算的特征根个数，一般是要计算的特征根个数，一般q=min(2p,p+8) 2) 从从q个迭代矢量中使用逆迭代法和个迭代矢量中使用逆迭代法和Ritz分析抽取近似的特征分析抽取近似的特征根和特征矢量根和特征矢量 3) 迭代收敛后，使用迭代收敛后，使用Sturm序列检查验证所得特征根和特征序列检查验证所得特征根和特征矢量是否符合要求矢量是否符合要求 12. 动力学问题l子空间迭代法求解过程子空间迭代法求解过程 q个初始迭代矢量构成个初始迭代矢量构成nq阶矩阵阶矩阵 X1 第第k步迭代为步迭代为 形成子空间

28、投影矩阵形成子空间投影矩阵 求解子空间特征系统求解子空间特征系统 这是这是RayleighRitz分析，分析，Kk+1 是是qq计算近似特征矢量计算近似特征矢量Xk+1可作为新的迭代矩阵可作为新的迭代矩阵 ，当，当 时，时， 11,2,3,kkkKX= MX111111,TTkkkkkkKXKXM= XMX11111kkkkkKAMA111TkkkX= XAk 11,kk A 12. 动力学问题12.4.4 Lanczos法法 Lanczos方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法目前被认为是求解大型矩阵特征值问题的最有效方法，与子空间迭代法相比，其计算量要少得多。方法，与子空间迭代

29、法相比，其计算量要少得多。lLanczos变换变换 选取初始矢量选取初始矢量x, 并计算并计算 11/2()Txxx Mx 12. 动力学问题l理论上讲，理论上讲，xi （i i=1,2,n=1,2,n）是关于）是关于M M正交的，正交的，即即l定义矩阵定义矩阵 满足关系满足关系 12. 动力学问题l经过经过Lanczos 变换后矩阵成为变换后矩阵成为 三对角阵的证明三对角阵的证明 12. 动力学问题l广义特征值方程的变形广义特征值方程的变形l使用变换使用变换 可得方程可得方程l可见可见Tn特征根是广义特征根问题的倒数特征根是广义特征根问题的倒数 12. 动力学问题l由于截断误差由于截断误差X

30、i并不一定是正交并不一定是正交l为了计算效率，而且多数情况下，只需计算一部分低阶特征值，为了计算效率，而且多数情况下，只需计算一部分低阶特征值，因此变换只需进行因此变换只需进行q(n)步，这就是截断的步，这就是截断的Lanczos变换变换这样这样Tq是原问题的子空间，类似于是原问题的子空间，类似于Rayleigh-Ritz法、子空间迭法、子空间迭代法。代法。 12. 动力学问题12.5 12.5 振型叠加法（振型叠加法（Modal Superposition）（一）固有振型及性质（一）固有振型及性质 对于无阻尼的自由振动问题的运动方程为对于无阻尼的自由振动问题的运动方程为 设设有有求解方程，得

31、求解方程，得n n个固有频率和特征向量个固有频率和特征向量其中其中有限元法基础49 0MqKq( )i tteq2()-0KM q,(1, )iiin 120n1TiiM12. 动力学问题 有限元法基础50根据求特征根的方程，有根据求特征根的方程，有两式分别左乘两式分别左乘 和和 后相减，得后相减，得当当 不为零时，有不为零时，有22iiijjjMKMK22()0Tijji MTjTi22ij0TjiM10TjiijijM固有振型关于固有振型关于MM正交正交12. 动力学问题 有限元法基础51利用特征向量的正交性，可得利用特征向量的正交性，可得定义定义则有则有20TijiijijK212212

32、200nn TTM 12. 动力学问题 有限元法基础52（二）系统的动力响应（二）系统的动力响应1.位移基向量的变换位移基向量的变换以特征向量表示位移以特征向量表示位移表达式的意义是将表达式的意义是将q(t)看成看成 线性组合，而线性组合，而 看成是看成是广义的位移基向量，广义的位移基向量，xi是广义位移值。是广义位移值。代入系统的动力学方程，并利用代入系统的动力学方程，并利用 的正交性质，得的正交性质，得初始条件为初始条件为 1( )( )niiittxqx ii ( )( )( )( )( )TTtttttxCxxQR0000TTxMqxMq12. 动力学问题 有限元法基础53设阻尼为振型

33、阻尼，利用设阻尼为振型阻尼，利用 正交性质正交性质其中其中 为的为的i阶振型阻尼比。这样方程解耦，成为阶振型阻尼比。这样方程解耦，成为 20Tiijiijij Ci2( )2( )( )( )(1,2, )iiiiiiix tx tx tr tin每一个方程相当于一个单自由度系统的振动方程每一个方程相当于一个单自由度系统的振动方程12. 动力学问题 有限元法基础54l特例特例1）设）设Q(t)可分解为空间函数和时间函数表示可分解为空间函数和时间函数表示如果如果F(s)与与 正交，正交， ，这表明系统中将，这表明系统中将不包含不包含 响应成分，也就是说响应成分，也就是说Q(s,t)不能激起与不能

34、激起与F(s)正正交的振型。交的振型。2）( )( ) ( )( )( ) ( )( )TiiitsttstftiQFrFi0,( )0iix tri12. 动力学问题 有限元法基础552）如果对）如果对 作作Fourier分析，可得到所包含的各个分析，可得到所包含的各个频率成分及幅值。根据其中应予考虑的最高阶频率频率成分及幅值。根据其中应予考虑的最高阶频率可以确定进行积分的最高阶可以确定进行积分的最高阶 ，例如选择，例如选择 。综合起来，通常在实际分析时，求解的单自由度方程综合起来，通常在实际分析时，求解的单自由度方程数远低于系统的自由度数数远低于系统的自由度数n。( ) tp10p12.

35、动力学问题 有限元法基础562.求解单自由度系统振动方程求解单自由度系统振动方程 杜哈美积分时将任意激振力分解为为冲量的连续杜哈美积分时将任意激振力分解为为冲量的连续作用，分别求出个系统的响应，然后叠加起来，即作用，分别求出个系统的响应，然后叠加起来，即ai和和bi由初始条件确定。由初始条件确定。()01( )( )sin()(sincos)iiiitttiiiiiiiix tr t etdeatbt 21iii一般杜哈美积分需数值积分计算一般杜哈美积分需数值积分计算12. 动力学问题 有限元法基础573. 振型叠加得到系统响应振型叠加得到系统响应 获得每个振型的响应后，将它们叠加起来，得到系

36、获得每个振型的响应后，将它们叠加起来，得到系统的响应，即统的响应，即a)b) c) 振型迭代法不使用于非线性系统。振型迭代法不使用于非线性系统。1( )( )niiiq tx t12. 动力学问题 有限元法基础583. 振型叠加得到系统响应振型叠加得到系统响应 获得每个振型的响应后，将它们叠加起来，得到系获得每个振型的响应后，将它们叠加起来，得到系统的响应，即统的响应，即在实际运用中，所取的振型数远小于在实际运用中，所取的振型数远小于n，能大大提高，能大大提高计算效率。计算效率。1( )( )niiiq tx t12. 动力学问题 有限元法基础59l特点特点a) 振型叠加中使用振型叠加中使用n

37、个单自由度方程求解，应与直接个单自由度方程求解，应与直接积分的结果一致；积分的结果一致；b) 振型叠加法比直接积分法节省时间，尤其是在选振型叠加法比直接积分法节省时间，尤其是在选取少量的单自由度方程的情况；取少量的单自由度方程的情况；c) 振型迭代法不使用于非线性系统。振型迭代法不使用于非线性系统。12. 动力学问题12.6 12.6 减缩系统自由度的方法减缩系统自由度的方法12.6.1 12.6.1 GuyanGuyan减缩法减缩法 GuyanGuyan减缩法又称为主从节点法。设节点位移列阵减缩法又称为主从节点法。设节点位移列阵q，分为主自由度分为主自由度qm和从自由度和从自由度qs两部分，

38、并设两部分，并设ns和和nm分别为分别为qs和和qm中的个数，有中的个数，有 有限元法基础60smqTq*mmms qIq =qT qqT12. 动力学问题12.6 12.6 减缩系统自由度的方法减缩系统自由度的方法12.6.1 12.6.1 GuyanGuyan减缩法减缩法 GuyanGuyan减缩法又称为主从节点法。设节点位移列阵减缩法又称为主从节点法。设节点位移列阵q，分为主自由度分为主自由度qm和从自由度和从自由度qs两部分，并设两部分，并设ns和和nm分别为分别为qs和和qm中的个数，有中的个数，有 有限元法基础61smqTq*mmms qIq =qT qqT12. 动力学问题考虑无

39、阻尼自由振动，方程考虑无阻尼自由振动，方程代入关系式，并右乘代入关系式，并右乘 ，得，得 有限元法基础62Mq+ Kq = 0*TT*()()TTmmTMT q + TKTq = 0*()()TTMTMTKTKT系统方程从系统方程从n n降为降为n nmm12. 动力学问题lGuyanGuyan法以静力减缩的方式，导出法以静力减缩的方式，导出为主自由度为主自由度qm和从自和从自由度由度qs关系式，即关系式，即 有限元法基础6300mmmsmsmsss KKqKq =KKq1sssmT =KK10smmsssssssmm K qK qqKK q*1111*1Tmmsssmsmsmsssmsmss