线性代数：行列式1-3 行列式的性质

1、第三节第三节 行列式的性质行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等，即行列式与它的转置行列式相等，即行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDDnnaaa2211nnaaa21122121nnaaa TDnnaaa2211 D记记2121nnaaannaaa2112DT=D证略证略说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,因此行列式因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立的性质凡是对行成立的对列也同样成立. . 交换行列式的两行交换行列式的两行( (列列),),行列式的值变号行列式的值变号. .例如例如,571571 266853.8

2、25825 361567567361266853证略证略推论推论 如果行列式有两行如果行列式有两行( (列列) )完全相同，则此行列完全相同，则此行列式为零式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )中所有的元素都乘以中所有的元素都乘以同一数同一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式乘此行列式, , 即即证略证略nnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行行列式的某一行(列列)中所有元素若有公因子中所有元素若有公因子, 可以提到行列式

3、符号的外面可以提到行列式符号的外面如果行列式有两行如果行列式有两行(列列)的对应元素成比例的对应元素成比例, 则则行列式的值等于零行列式的值等于零.性质性质4 4若行列式的某一列若行列式的某一列( (行行) )的元素都是两数之和的元素都是两数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如注意注意: 只能拆一行或一列只能拆一行或一列.证证略略例例1 1证明

4、证明3332221113333332222221111112cbacbacbaaccbbaaccbbaaccbba 由性质由性质4 4， 证证上式左边上式左边 333332222211111333332222211111accbbaccbbaccbbaccbaaccbaaccba 333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbacbbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 333322221111333322221111333322221111333322221111accbaccbaccbac

5、bbacbbacbbacbaacbaacbaccbaccbaccba 由性质由性质2 2推论，第二、第三个行列式的值为推论，第二、第三个行列式的值为0 0； 再由性质再由性质4 4，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列，把第一、第四个行列式分别拆成两个行列式之和并化简后，式之和并化简后， 上式上式333222111333222111acbacbacbcbacbacba .2333222111cbacbacba 性质性质5把行列式的某一列把行列式的某一列(行行)的各元素乘以同一数的各元素乘以同一数k后加到另一列后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变njnjnin

6、jjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如列列 column行行 row,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如)(3223332211aaaaa )(3321312312aaaaa )(3122322113aaaaa 333123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 余子式与

7、代数余子式余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij，记记ijjiijMA )1(叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 233223)1(MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaa

8、aaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 122112)1(MA .12M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .)1(44444444MMA . 代代数数余余子子式式个个对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别 n阶行列式阶行列式D=|aij|等于它的任意一等于它的任意一行行(列列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和的各元素与其对应代数余子式乘积的和, 即即), 2 , 1(2211

9、niAaAaAaDininiiii )., 2 , 1(2211njAaAaAaDnjnjjjjj 或或按第按第i行展开行展开按第按第j列展开列展开证略证略推论推论: : 若行列式某行若行列式某行( (列列) )的元素全为零的元素全为零, ,则行列式则行列式的值为零的值为零. .( (行列式展开定理行列式展开定理) ),601504321 D例例2 2设设543106131061542 D列展开得列展开得按第按第2010436154260501 D行展开得行展开得按第按第1,58292 .58292 定理定理 行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数行列式某一行的元素乘另一行对应元素的代数余子式之和等于零余子式之和等于零,即即这是因为这是因为第第i行行第第j行行022111 jninjijinkjkikAaAaAaAa)(ji nnnniniiiniinnkjkikaaaaaaaaaaaaAa212