强度与振动 课件 Chapter 5

1、Chapter 51航空发动机强度与振动航空发动机强度与振动Chapter 52主要内容主要内容 5.1 引言 5.2 转子临界转速基本特性 5.3 转子结构系统的临界转速 5.4 传递矩阵法计算转子临界转速 5.5 转子的不平衡响应 Chapter 535.1引言引言 转子的临界转速转子的临界转速：装有一个或数个圆盘的轴,在某些转速时会出现大的挠曲并伴有较大不平衡力和力矩,这些转速称为转子的临界转速； 转子在临界转速下工作会引发发动机故障：转子叶片与机匣碰磨密封机构损坏轴承损伤零件或转轴的断裂发动机整机振动Chapter 54PW4000Chapter 555.1引言引言 航空发动机设计趋于

2、更轻、结构(盘)更薄，机匣刚度降低，要避免工作转速落在临界转速范围内； 解决途径：改进转子的结构采用弹性支撑、挤压油膜轴承减小转子的不平衡量转子动力学研究Chapter 565.2 转子临界转速基本特性转子临界转速基本特性 5.2.1 单盘无重轴转子的临界转速 5.2.2 转子系统运转时诸力间关系 5.2.3 转子重心转向Chapter 575.2.1 单盘无重轴转子的临界转速单盘无重轴转子的临界转速 1 基本假设 支座球形，绝对刚性 盘集中质量(跨中) 不计轴的质量，只计其刚性 转子无阻尼O1圆盘的几何中心；O2圆盘的重心挠度y；偏心距eyyeO1O2OOChapter 582 建立挠曲方程

3、建立挠曲方程2()ecPk yPm ye弹性恢复力：旋转惯性力：力平衡：2222()11ecPk ymyePmeeykkmmk轴的刚度，使轴产生单位挠度须加于其上的力yyeO1O2OOPePcChapter 59转子挠度随转速变化曲线转子挠度随转速变化曲线0-eyee(+)(-)/crk m刚轴刚轴柔轴柔轴Chapter 510偏心距偏心距e与轴挠度与轴挠度y的关系的关系0/crye=1e=0.05e=0.5e=012Chapter 5113讨论讨论 Discussion 在已确定的转子结构中,转子的刚性k,盘质量m和偏心距e都是定值,只有转速变化. (1)无阻尼临界转速，当： (2)亚临界转

4、速(subcritical speed),当： (3)超临界转速(supercritical speed)，当:/ycrk m ，y0.ycr，y0.yyecr ，此时转子重心刚好落在轴线上，称为自动定心此时转子重心刚好落在轴线上，称为自动定心Chapter 5123 Discussion -ContinueO1O2Oey22 mymekyO1O2Oey2 myky2 meO1O2Oey2 myky2 meSubcritical Critical SupercriticalChapter 5133 Discussion -Continue (4)当e=0，转子完全平衡，是否还有临界转速？按式

5、可见，cr仍然存在，与平衡与否无关。因为当= cr时，y可为任意值。 因此，对转子系统而言，临界转速是客观存在的。2(0)/eccrPk yPm yk mChapter 5143 Discussion Continue关于刚度系数关于刚度系数k3222483()3()EIklEIlkalaEIkab al/2l/2EIEIbaalEI 刚度刚度k值的大小决定于轴的尺寸、加载点、轴在两支点上的安值的大小决定于轴的尺寸、加载点、轴在两支点上的安装条件及轴的材料装条件及轴的材料Chapter 5155.2.2 转子系统运转时诸力间关系转子系统运转时诸力间关系n1、不计摩擦阻尼力惯性力不平衡力弹性力n

6、2、计及摩擦阻尼力惯性力不平衡力弹性力摩擦阻尼力摩擦阻尼力Chapter 5161 不计摩擦阻尼时诸力的关系不计摩擦阻尼时诸力的关系O1O2Oey2 myky2 me2 metO1O2Oe2 mykytdy 不平衡力不平衡力惯性力惯性力阻尼力阻尼力弹性恢复力弹性恢复力O 不计摩擦阻尼，临界不计摩擦阻尼，临界CriticalChapter 5171 不计摩擦阻尼时诸力的关系不计摩擦阻尼时诸力的关系 临界时，不计阻尼力，平衡方程是沿y方向的，而不平衡力与y垂直，这就是说： 沿y方向没有不平衡力 在切向，没有力来平衡不平衡力，这种状态显然是不稳定的； 激励力总是超前振幅90o ； 不管超临界还是亚临

7、界，离心惯性力、弹性恢复力与不平衡力都是沿OO1线作用。但超临界时不平衡力与离心惯性力作用方向相反。O1O2Oey2 myky2 meSupercriticalChapter 5182、计及摩擦阻尼力2 metO1O2Oe2 mykytdy 不平衡力不平衡力惯性力惯性力阻尼力阻尼力弹性恢复力弹性恢复力O 90o2 meO1O2O2 mykydy CriticalChapter 5192、计及摩擦阻尼力 投影到OO线上，力平衡方程为： 2220mytetdytkytkdytytetmmcoscossincoscossincos()222222kBykdmBymmdBymBtetBecossinc

8、os()cos()令， 不论t为何值，此式成立 Chapter 520p当 时， 。这表明有阻尼d后，y不再趋近无穷，而为定值，且=90o；p由定义， ， 。在计及摩擦阻尼时，2、计及摩擦阻尼力2212222Bedemytgkkdmmm， km dkmey cr maxyy crkm？ 。Chapter 5212、计及摩擦阻尼力crkm？ 22012crkdymdkdmm， 由临界转速定义max2114,cre kmyddkmd临界转速下的挠度Chapter 5222、计及摩擦阻尼力2122222;112;2crcrytgedm无量纲化Chapter 5232、计及摩擦阻尼力543210y/e

9、21345=0.10.05180o0213451.00.50.1=0.0590o幅频特性 相频特性Chapter 5245.2.3 转子重心转向转子重心转向2 meO1O2Oe2 mykydy v:90oSubcriticalakO2 meO1O2e2 mykydy v:90oSupercriticalak0102,yvv,180oyv重心由外到内重心由外到内重心由内到外重心由内到外Chapter 525小结小结 cr由转子支承系统结构决定，是本身固有的； cr与不平衡力无关，但在cr下，不平衡力使转子挠度加大； 完全平衡的转子仍存在临界转速(cr表达式中不含e)，在某一转速下，无不平衡力的转

10、子仍会产生挠度，该转速即为cr。Chapter 5265.3 转子结构系统的临界转速转子结构系统的临界转速 5.3.1计及轴质量的转子系统的cr等截面轴临界转速；计及轴质量的单盘转子临界转速cr1估算；多盘转子的cr1估算 5.3.2计及陀螺力矩的转子cr弓形迴旋(whirling);陀螺力矩 5.3.3支承在弹性支承上的转子crChapter 527222224421234()0;( )sincosdd yEIqAydxdxAya yaEIy xCaxCaxC shaxC chax5.3.1计及轴质量的转子系统的计及轴质量的转子系统的cr 1.等截面轴临界转速 A,I为常数 单位长度的质量为

11、单位长度的质量为A 离心力看作分布载荷离心力看作分布载荷q“材料力学材料力学”求解过程同第三章求解过程同第三章横截面积A材料密度2qAyyOxChapter 5281 等截面轴临界转速等截面轴临界转速12342,2222,1,2,30(0)00(0)0).:( )0( )0)00sin0,1,2,3,(),1,2,3,:1 :2 :3icr icrcrcrxyMyBCxly llMy lCCCCyalaliiiEIilA平凡解特征解无挠度两端简支：此为光轴临界转速此为光轴临界转速Chapter 5291 等截面轴临界转速等截面轴临界转速444222222111641611614DIDdDdId

12、DADDADdd22222,22144cr iiiDdDdEEDll空心轴：空心轴：内径内径d外径外径D,;,crcrcrDldDChapter 5302计及轴质量的单盘转子临界转速计及轴质量的单盘转子临界转速cr1估算估算alEImd223EIlklla144acraaklAmkmEI将轴质量折合到盘处轴质量折合到盘处 连接处刚度 1111112222222111111160()2adaddacrdacrcrcrcrcrcrcrcrcrmmkmmkknnnnDunkerley法法(迹法迹法)a-axial; d-disc光轴临界转速单盘无重轴临界转速Chapter 5313 多盘转子的多盘转

13、子的cr1估算估算折合到折合到md2处处 12212312222311233;dcr aacrcrdcrddddddkEIlAmkkkkkmmmmm整个转子系统 112311232122222123122222122221123111111111111111cr acrdcrdcrdcr acrdcrdcrdcradddcrcriicrkmmmmnnnnnygmd2lEImd1md3iiim gkyyi是是mi单独存在时的静挠度单独存在时的静挠度此法结果偏低，下限估值此法结果偏低，下限估值Chapter 5323 多盘转子的多盘转子的cr1估算估算 能量法（瑞利法）22maxmax22211;

14、2229.9iiiiiiiiiiiicrcriiiiiiUPyTmYPyPynmYmY上限估值Chapter 5335.3.2计及陀螺力矩的转子计及陀螺力矩的转子cr 弓形迴旋或称涡动(Whirling)：如图所示，转子绕o-o旋转，并产生挠度，航空上亦称之为进动(Procession)。OOChapter 5345.3.2 计及陀螺力矩计及陀螺力矩的转子的转子cr 轮盘与轴刚性连接，轮盘既有公转，也有自转。对于非对称转子结构，轮盘在旋转过程中还有摆动，并产生陀螺力矩和离心力矩(理论力学)，航空上将其合称为陀螺力矩。gmCPxooyzChapter 5355.3.2 计及陀螺力矩计及陀螺力矩的

15、转子的转子cr 离心力矩： IP polar second moment极惯性矩； Ie equatorial second moment赤道惯性矩； “-”表示抵抗变形。 一般挠度角很小，有：2sin22ePZIIM2sin 22()ZPeMII Chapter 5365.3.2 计及陀螺力矩的转子计及陀螺力矩的转子cr 转子的陀螺力矩(Gyroscopic moment)：很小，有： 0 轮盘相对角速度；当与同向时，0-,当与反向时，0, sin0PGIMsin)(PGIM)( PGIMChapter 5375.3.2 计及陀螺力矩的转子计及陀螺力矩的转子cr 总力矩盘的离心力矩+轴陀螺力

16、矩与同向，称正进动，其方向由转向;与反向，称反进动，其方向由转向. 22)1()()(ePePePgIIIIIIM22)1()()(ePePePgIIIIIIMChapter 5385.3.2 计及陀螺力矩的转子计及陀螺力矩的转子crp当= ， 为 正 协 调 进 动 ( F o r w a r d synchronous procession)： 对于薄盘(h/R0.2, Ie=Ip/2)， 使 p当=-，为反协调进动(Backward synchronous procession)： 对于薄盘， 使 对于厚盘（诱导轮），Ie=可以比Ip大2egIM23egIMChapter 5395.3.

17、2 计及陀螺力矩的转子计及陀螺力矩的转子crp 正协调进动时，Mg抵抗转子变形，刚性，cr。p 反协调进动时，Mg加剧转子变形，刚性，cr。p 一般，转子作正协调进动，故在计算临界转速时，常用:2egIMChapter 5405.3.2 考虑陀螺力矩的转子考虑陀螺力矩的转子cr计算计算 临界转速计算 单盘转子正协调进动，挠度y，转角 ymPC22egIM22222122212122111211egCegCIymMPIymMPyij2112是表示轴的效应系数，即单位负荷引起的变形i变形类型，1挠度，2转角j载荷类型，1力， 2力矩(见“材料力学”)Chapter 5415.3.2 计及陀螺力矩的

18、转子计及陀螺力矩的转子cr上式有非零解，其系数行列式为0，得 此方程有4个根，2个虚根，2个实根(1负，1正)。 221112222122(1-)0(1)0eemyImyI01)(211224eemIIm21122211212112211221)22(22eeecrmIImImChapter 5425.3.3支承在弹性支承上的转子支承在弹性支承上的转子cr 基本概念： 刚轴： 临 界 转 速 高 于 最 大 工 作 转 速 3 0 % ，ncr1.3nmax，工作中不过临界转速； 柔轴： 临 界 转 速 低 于 最 小 工 作 转 速 2 5 % ，ncr0.75nmin，工作中历经临界转速。

19、Chapter 5435.3.3.1支承在弹性支承上的转子支承在弹性支承上的转子cr 对称转子结构，如图所示。 离心力： 支承变形： 盘所在处轴的变形： 对于上式， 为平凡解ymPC212121kymkymy21221102mmykk0yymPC2kmy1k11kChapter 5445.3.3.1支承在弹性支承上的转子支承在弹性支承上的转子cr k1，cr；k1，cr(k/m)1/2。12122kmkm1111/1/2crmkk非零解的条件为：Chapter 5455.3.3.2支承在低刚度弹性支承上的转子支承在低刚度弹性支承上的转子cr 柔轴临界转速：轴本身产生较大挠度的临界转速; 支承在

20、两个刚性支承上的等截面圆轴的临界转速： 支承在两个弹性支承上，其微分方程为： 其通解： AIEliicr22)(0dd444yaxyaxCxCaxCaxCychshcossin4321Chapter 5465.3.3.2支承在低刚度弹性支承上的转子支承在低刚度弹性支承上的转子cr 弹性支承的刚度很低，以致于可以认为轴两端自由，即： 特征方程为： 0)()()()(00 lxxlxxxyxyxyxyAIElcr22173. 4)21()( iali)(i1023252729cos1chalal 两个弹支Chapter 5475.3.3.2支承在低刚度弹性支承上的转子支承在低刚度弹性支承上的转子c

21、r 一端支承在刚性支承上，另一端支承在弹性支承上，可认为该轴端自由，即： 特征解为： 。0)()()()(00 lxlxxxxyxyxyxyalalth1tg454941341710AIElcr221927. 3)(i)41()( iali27. 2:56. 1:1111双弹单刚双刚：crcrcr临界转速比:Chapter 5485.3.3.3支承在弹支上的单盘转子的刚轴支承在弹支上的单盘转子的刚轴cr 刚轴临界转速：轴不变形，仅支承变形的临界转速，或称支座共振的转速。 两端支承在刚性支承上的单盘转子的柔轴临界转速(无刚轴临界转速)不计轴质量：mkcr1k连接盘处轴的刚性m盘质量Chapter

22、 5495.3.3.3支承在弹支上的单盘转子的支承在弹支上的单盘转子的cr 支承在两个弹性支承两个弹性支承上的单盘转子刚轴临界转速。 对称转子结构，刚轴平移模式刚轴平移模式： 力平衡： ykymAlsd2)(212scrdkmAl ymPdC2dmAsksky2l2lChapter 5505.3.3.3支承在弹支上的单盘转子的刚轴支承在弹支上的单盘转子的刚轴cr 两个弹支两个弹支，对称转子 结构，交叉摆动模式交叉摆动模式： 力矩平衡： Admsksky2l2lgM22222222226 ,/4164223()gsgeeddsscrdMk ylAlyMIIm rym rk ylAlylkAlmr

23、 l Chapter 5515.3.3.3支承在弹支上的单盘转子的刚轴支承在弹支上的单盘转子的刚轴cr 一端刚支，一端弹支一端刚支，一端弹支的单盘转子刚轴临界转速对称转子结构，交叉摆动模式交叉摆动模式： 力、力矩平衡： 22222221202216042 2221() 32dsddscrdyyNmAlk yyy lNlm rAlymlkmAlr l dmAsksky2l2lgMChapter 5525.3.3支承在弹性支承上的转子支承在弹性支承上的转子cr 采用不同支承的临界转速变化图。采用不同支承的临界转速变化图。 y01cr 1cr2cr 1cr2cr3cr 两个弹支两个弹支一弹一刚一弹一

24、刚两个刚支 采用弹性支座，可以降低转子系统的刚轴临界转速，提高柔轴的临界采用弹性支座，可以降低转子系统的刚轴临界转速，提高柔轴的临界转速，使平稳工作转速区扩大。刚轴指轴无弯曲，只有支座变形；柔转速，使平稳工作转速区扩大。刚轴指轴无弯曲，只有支座变形；柔轴指轴有变形。轴指轴有变形。Chapter 5535.3.3支承在弹性支承上的转子支承在弹性支承上的转子cr 振动量随弹性支承刚度的变化，如图所示。 )(振动量z弹支上的应力转子挠度弹支振幅0)(弹支刚度kChapter 554本节小结本节小结 同样结构转子，支承在弹支上与支承在刚支上的最低阶临界转速相比，刚轴临界转速降低，柔轴临界转速提高； 如

25、果弹支刚度相同，采用两个弹支与采用一个相比，最低阶刚轴临界转速降低，最低阶柔轴临界转速提高； 两个弹支系统有两个刚轴临界转速，刚轴平移形式的临界转速低，而刚轴交叉形式的高，此即系统的一、二阶临界转速； 一弹支系统只有一个刚轴临界转速，即系统的一阶临界转速； 弹支与弹支相比，刚度低的临界转速低，反之亦然； 弹支可以使临界转速改变，形成一个振幅很小的较宽广的理想工作转速范围； 弹支另一个作用是减震。Chapter 5555.4 传递矩阵法计算转子临界转速传递矩阵法计算转子临界转速 5.4.1基本思路 5.4.2基元传递矩阵 5.4.3计算转子支承系统的cr 5.4.4主振型计算(临界转速下的振型)

26、Chapter 5565.4.1基本思路基本思路 图示转子旋转时，每一截面均有四个参数： y,M,Q 组成转子支承结构系统的单元有：轴、盘、刚支、活动球铰、弹支、集中质量等。对每一单元写出传递矩阵并组合，代入边界条件写出方程组，求特征解。 对12轴段，参数有I、A、l、E、。对于每一个轴段，认为等直径。如果轴截面变化大，则需更多的分段。1321112131445768 9 10yxFChapter 5575.4.1基本思路基本思路对12轴段，有： 同理，对于23轴段，过弹支有： 11121314212223242121313233344142434421aaaayyaaaaPTPaaaaMMa

27、aaaQQ 3232pTpChapter 5585.4.1基本思路基本思路 以此类推，我们得到 14,1313,123,22,114114,1141PTTTTPPTP 1321112131445768 9 10yxFChapter 5595.4.1基本思路基本思路 因1截面为自由端，14截面也为自由端，所以： y1=1=0为平凡解，非零解条件为 143113211114141441142100,00,00Mt ytMQMQQt ytcr42413231w0tttt关键是列出传递矩阵的元素关键是列出传递矩阵的元素行列式行列式:Chapter 5605.4.2基元传递矩阵基元传递矩阵 5.4.2.

28、1轴段传递矩阵2244qmyAyd yEIdx4440d yk ydx42AkEI 单位长度的离心力单位长度的离心力看作分布载荷看作分布载荷qiM+dMQ+dQqM QdxMi QiQi+1Mi+1yxyi0yi+1其四个特解为:chkx,shkx,kxcos,kxsinChapter 5615.4.2.1轴段传递矩阵轴段传递矩阵 定义克雷诺夫函数1cos21sin21cos21sin2S kxchkxkxT kxshkxkxU kxchkxkxV kxshkxkxChapter 5625.4.2.1轴段传递矩阵轴段传递矩阵 上述方程的通解为： 123412342123431234yC S k

29、xC T kxC U kxC V kxk C V kxC S kxC T kxC U kxMEIkC U kxC V kxC S kxC T kxQEIkC T kxC U kxC V kxC S kxx=0，即截面，即截面i处有处有1234231;iiiiQyCCCMCkEIkEIkChapter 5635.4.2.1轴段传递矩阵轴段传递矩阵 x=l，即截面，即截面i+1处有处有2322132iiT klU klV klS klkEIkEIkyyT klU klkV klS klEIkEIkMMT klk EIU klkEIV klS klQQkk EIT klk EIU klkV klS

30、kl此为轴段传递矩阵的精确表达式，但较复杂。此为轴段传递矩阵的精确表达式，但较复杂。Chapter 5645.4.2.1轴段传递矩阵轴段传递矩阵只计轴刚性只计轴刚性为简便之计，近似地设想真实轴由只有刚性无质量的为简便之计，近似地设想真实轴由只有刚性无质量的轴加一集中质量组成。集中质量加在不同位置得到不轴加一集中质量组成。集中质量加在不同位置得到不同结果，一般加在轴左端：同结果，一般加在轴左端：轴只有刚性，不计质量，即轴只有刚性，不计质量，即 3132122442123321234011211162dyQEIcdxdyMEIc xcdxdyEIdydxc xc xcdxEIyc xc xc xc

31、EIChapter 5655.4.2.1轴段传递矩阵轴段传递矩阵只计轴刚性只计轴刚性x=0，即截面，即截面i处有处有i4i3i2i1EIycEIcmcQcx=l，即截面，即截面i+1处有处有2321,11260120010001iiiiilllyyyE IE IllAMMME IE IlQQQChapter 5665.4.2.1轴段传递矩阵轴段传递矩阵集中质量集中质量1,21100001000010001iiiiiyyyMMMMQmQQ 2imyMi QiQi+1Mi+1,iiy只计轴的质量只计轴的质量Chapter 5675.4.2.1轴段传递矩阵轴段传递矩阵刚性无重刚性无重+集中质量集中质

32、量 若轴段质量m=Al集中在轴左端，有 1,1,iiiiiiPAMPi- i+i+1 组合矩阵22332221,212162612201001iiiiimllllyyyEIEIEImllTlMMMEIEIEImllQQQm1,1,iiiiiiTAMChapter 5685.4.2.1轴段传递矩阵轴段传递矩阵小注小注显然，将轴的质量集中在轴段的中间更合理一些；这种近似，l不宜过长；对于克雷诺夫形式，只要直径不变，轴段可以取很长；轴段传递矩阵的元素为几何尺寸和物理参数的函数，当然还有。Chapter 5695.4.2.2弹性支承的传递矩阵弹性支承的传递矩阵 弹性恢复力 弹性支座有一部分质量me随转

33、子系统旋转 弹性恢复力矩 iMi QiQi+1Mi+1Pr PhMri+1ibrkMripky 2heipm y w1,211000100001000100010010001001iibbeiiiiyyyyEkMMMkMmkQQQkQ 只计及支承刚度时只计及支承刚度时Chapter 5705.4.2.3 盘的传递矩阵盘的传递矩阵 盘的陀螺力矩 iMi QiQi+1Mi+1Mgi+1Pc yi yi+1yx 盘的离心力 21pgeieIwMII 2ciPmy1,212100001000110001piieeiiiyyyIDIMMMIQQQmChapter 5715.4.2.4 刚性支承的传递矩阵

34、刚性支承的传递矩阵 多一个未知量R，亦多一个边界条件yi=0Mi QiQi+1Mi+1R1,11000010000100001iiiiiiyyyRMMMRQQQQChapter 5725.4.2.5 活动球铰的传递矩阵活动球铰的传递矩阵i1i1,11000010000100001iiiiiiyyyHMMMQQQ 多一个未知量多一个未知量，亦多一个，亦多一个边界条件边界条件Mi=0传递矩阵中元素如有未知量需要有附加已知条件，才能求解。传递矩阵中元素如有未知量需要有附加已知条件，才能求解。 Chapter 5735.4.3计算转子支承系统的计算转子支承系统的cr 5.4.3.1无轴中刚支、无球铰转

35、子系统cr132 11211211peeyIPIImy 33330yPky 33,22,1112 ,24 4131324 4132110ijpijeePAEAPuPyyIuIIkymyA轴段轴段D盘盘E弹性支承弹性支承H活动球铰活动球铰M集中质量集中质量R刚性支承刚性支承Chapter 5745.4.3.1无轴中刚支、无球铰转子系统无轴中刚支、无球铰转子系统cr142141313213112212231121113uyukyuyu0uyuuyuyChapter 5755.4.3.1无轴中刚支、无球铰转子系统无轴中刚支、无球铰转子系统cru 的非零解条件：u总之，两端共总之，两端共8个力学参数，

36、两端共有个力学参数，两端共有4个边界条件，个边界条件，4个方程（含个方程（含4个未知参数），由特征方程求个未知参数），由特征方程求cr ；u计算方法:选定一个,试算齐次方程系数行列式,若为零,即为cr, ,若不为零,另选一个,再算。一般是利用计算机编程序计算。1133,Tyy0uuuukuuuu00kuu00uu10uu01uu32311211424132314241323122211211Chapter 5765.4.3.1无轴中刚支、无球铰转子系统无轴中刚支、无球铰转子系统cr起始端参数列阵起始端参数列阵221peeyIIImy盘xy00by 自由端自由端yx刚支刚支yxbQ00yx弹支弹

37、支0bykyyx固定端固定端bQM0在末端参数列阵中，上述剪力、弯矩要反号在末端参数列阵中，上述剪力、弯矩要反号Chapter 5775.4.3.1无轴中刚支、无球铰转子系统无轴中刚支、无球铰转子系统cr 如让传递矩阵贯穿转子的两个端点，两端为自由端有： 3,22,113,32 ,23131132131324 44142411421310000000ijcryyEAEADMMQQyyt ytttTttt yt Chapter 5785.4.3.2轴中有刚支、活动球铰转子系统轴中有刚支、活动球铰转子系统cr 1.近似方法：认为刚支的刚度很大，但并非无穷大。例如一般弹支 刚度为1500KN/m,则

38、刚支为15X106107KN/m的弹性支座。这样刚支可作弹支处理，利用弹支传递矩阵；认为活动球铰为抗弯刚度很低的弹性铰：iiihMk ,1000101000100001hiiiiiyyykHMMMQQQChapter 5795.4.3.2轴中有刚支、活动球铰转子系统轴中有刚支、活动球铰转子系统cr 2.分段计算：分段计算：222222;MMQQR21121211112 1221122 12 ,1231132 1241142 1100000yADMQyt ytyt ytTMt ytQt yt 132 此时，有三个未知数：此时，有三个未知数：y1, 1,R,而初始参数列阵只允许有而初始参数列阵只允

39、许有2个个才能计算。这时利用条件：才能计算。这时利用条件：111122120tyyyt Chapter 5805.4.3.2轴中有刚支、活动球铰转子系统轴中有刚支、活动球铰转子系统cr2112212211221121133,2113113112313211241141131124142112000 00ytttyytu yu yEArtu yu yMttytu yRu yRtttyRt 32213331344134422143314441440crr ur ur urr ur ur ur关于y1,R的非零解 同样，刚支处同样，刚支处y=0消去一个未知数，活动球铰处消去一个未知数，活动球铰处M=

40、0亦能消去一亦能消去一个未知数。因此起始端及末端各有两个未知数，传递矩阵有个未知数。因此起始端及末端各有两个未知数，传递矩阵有4个个方程可得到临界转速。方程可得到临界转速。 Chapter 5815.4.4主振型计算主振型计算 临界转速下转子系统振动称为主振型，各阶临界转速下转子系统振动称为主振型，各阶临界转速对应各阶主振型临界转速对应各阶主振型。 1)无活动球铰和轴中刚支 ： 132 132311132131144ij3yvvvyv000yv00y设设y1=l，则各端（截面）均可算出，则各端（截面）均可算出, ,如如 111 ,22200yDAEQMyChapter 5825.4.4主振型计算主振型计