傅里叶积分课件3

1、第三节第三节 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质线性性质线性性质位移性质位移性质积分性质积分性质乘积定理与能量积分乘积定理与能量积分一一 线性性质线性性质本节假定需要求傅氏变换的函数总满足傅立叶积分本节假定需要求傅氏变换的函数总满足傅立叶积分收敛定理的条件，并在证明中不再重复这些条件。收敛定理的条件，并在证明中不再重复这些条件。, 为常数，为常数，像原函数的线性性质像原函数的线性性质：像函数的线性性质像函数的线性性质：设设1( )F w 1( ),f t2( )F w 2( ),ft 112( )( )F wF w 11( )F w 12( ),F w (1.3.2) 则则12( )( )f t

2、ft 1( )f t 2( ),ft(1.3.1) 二二 位移性质位移性质像原函数的位移性质像原函数的位移性质： 证证 00()( )t titwfed 令令0( )iwtiwefed 设设 ( )( ),f tF w 则则00 ()()iwtf tteF w (1.3.3) 或或010( )()iwteF wf tt 00 ()()iwtf ttf tt edt 0iwte ( )f t 同理有同理有像函数的位移性质像函数的位移性质：例例1 1设设0()00( )(0),0t tettg ttt 解解设设0( )00tetf tt 则则0( )()g tf tt所以所以010()( )iw

3、tF wwef t (1.3.4) 或或00( )()iw tef tF ww 由上节例由上节例1 1可知可知: :1 ( ),f tiw 求求 ( )g t ( )g t 001 ()iwtf tteiw 例例2 2设设0( )( )cos(0),tg teu tw t 解解设设0( )00tetf tt 则则0( )( )cosg tf tw t 0011112()2()i wwi ww 求求 ( )g t 由上节例由上节例1 1可知：可知：1 ( ),f tiw 所以所以1 ( )2g t 01 ( )2iw tf t e 0 ( )iw tf t e 三三 微分性质微分性质像原函数的微

4、分性质：像原函数的微分性质：设设| |lim( )0tf t 证证 ( )( )iwtiwtf t eiwf t edt 同理同理如果如果( )| |lim( )0(0,1,2,1)ktftkn ( )( )iwtftft edt iw ( )f t 则则( )ftiw ( )f t(1.3.5) (1.3.6)( )( )()nnftiw ( )f t 像函数的微分性质像函数的微分性质：设设 ( )()f tF w 或或1( )( )F witf t 更一般地有更一般地有( )( )nFw ()( )nitf t (1.3.8)则则( )dF wdw ( )itf t (1.3.7)例例3

5、3设设| |( )(0),tf tte 解解22 24()i ww 求求 ( )f t 由上节例由上节例2 2知知| |222tew 所以所以| |ttei | |222()titeiw 四四 积分性质积分性质设设( )( ),tg tf t dt 且且lim( )0,tg t 证证 由于由于( )( ),g tf t 且且| |lim( )0,tg t 利用微分利用微分性质得性质得则则1 ( )g tiw ( )f t(1.3.9) ( )f t ( )g t iw ( )g t 所以所以1 ( )g tiw ( )f t 例例4 4求解微分积分方程求解微分积分方程| |( )( )ttx

6、tx t dte 解解在方程两边取傅氏变换得在方程两边取傅氏变换得212( )( )1iwX wX wiww 即即222( )(1)iwX ww | | |()22ttitit ee 设设 ( )(),x tX w 所以所以( )x t 1( )X w 122() 1w 2i 五五 乘积定理与能量积分乘积定理与能量积分乘积定理乘积定理：则则12121( )( )()()2f t ft dtF w F w dw 121()()2F w F w dw (1.3.10)其中其中12( )( )f tf t、为实函数。为实函数。特别当特别当12( )( )( )f tftf t时，时，我们有我们有能量

7、积分能量积分设设1( )F w 1( ),f t2( )F w 2( ),ft设设 ( )( ),f tF w 221( )|( )|2ft dtF wdw (1.3.11)12( )( )f t ft dt 121( )( )2iwtf tF w edw dt 的证明：的证明：(1.3.10)称称(1.3.11)式为帕塞瓦尔等式，式为帕塞瓦尔等式，而称而称2() |()|S wF w 为为( )f t的的能量密度函数能量密度函数( (或或能量谱密度能量谱密度) )。211()( )2iwtF wf t edt dw 211()( )2iwtF wf t edt dw 211()( )2iwtF wf t edt dw 121()()2F w F w dw 同理可得等式的另一部分。同理可得等式的另一部分。由于由于11( )( ),iwtiwtf t ef t e 所以所以12( )( )f t ft dt 利用能量积分可以计算一些积分的值。利用能量积分可以计算一些积分的值。例例5 5计