第二章 2.3.1 第2课时

1、第2课时等比数列的性质学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.知识点一等比数列通项公式的推广思考我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形：ana1(n1)dam(nm)d.等比数列也有类似变形吗？答案在等比数列中，由通项公式ana1qn1，得qnm，所以anam·qnm(n，mN).梳理公比为q的等比数列an中，ana1qn1或qnm，即anam·qnm.知识点二由等比数列衍生的等比数列思考等比数列an的前4项为1，2，4，8，下列判断正确的是(1)3an是等比数列；(2)3an是等比数列；(3)是

2、等比数列；(4)a2n是等比数列.答案由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.梳理(1)在等比数列an中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，kn，成等差数列，那么是等比数列.(2)如果an，bn均为等比数列，那么数列，an·bn，|an|仍是等比数列.知识点三等比数列的性质思考在等比数列an中，aa1a9是否成立？aa3a7是否成立？aan2an2(n>2，nN)是否成立？答案a5a1q4，a9a1q8，a1a9aq8(a1q4)2a，aa1a9成立.同理aa3a7成立，aan2·an2也成立.梳理一般地，在等比数列an中，若mnst，则有am·

3、anas·at(m，n，s，tN).若mn2k，则am·ana(m，n，kN).1.有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积.()2.当q>1时，等比数列an为递增数列.(×)3.当q1时，等比数列an为常数列.()4.当a1<0时，等比数列an为递减数列.(×)类型一等比数列性质的应用例1已知数列an为等比数列.(1)若an>0，且a2a42a3a5a4a636，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式.解(1)a2a42a3a5a4a636，a2a3a5a36，(a3a5)2

4、36，又an>0，a3a56.(2)把aa1a3代入已知，得a8，a22.设前三项为，2，2q，则有22q7.整理，得2q25q20，q2或q.或an2n1或an23n.反思与感悟在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质进行整体变换，会起到化繁为简的效果.跟踪训练1(1)在递增等比数列an中，a1a964，a3a720，求a11的值.(2)已知数列an成等比数列.若a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值.解(1)在等比数列an中，a1·a9a3·a7，由已

5、知可得a3·a764且a3a720.联立得或an是递增等比数列，a7>a3.取a34，a716，164q4，q44.a11a7·q416×464.(2)由a3a5a，得a3a4a5a8，解得a42.又a2a6a3a5a，a2a3a4a5a6a2532.类型二灵活设项求解等比数列例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.解方法一设四个数依次为ad，a，ad，由条件，得解得或所以当a4，d4时，所求四个数为0，4，8，16；当a9，d6时，所求四个数为15，9，3，1.故

6、所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.方法二设四个数依次为a，a，aq(a0)，由条件，得解得或当a8，q2时，所求四个数为0，4，8，16；当a3，q时，所求四个数为15，9，3，1.故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.反思与感悟合理地设出所求数中的三个，根据题意再表示出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为，a，aq；三个数成等差数列，可设为ad，a，ad.跟踪训练2三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数.解设三个数依次为，a，aq，·a·aq512，a8.(aq2)

7、2a，2q25q20，q2或q，这三个数为4，8，16或16，8，4.类型三等差数列与等比数列的综合应用例3设数列an的前n项和Snn2，数列bn满足bn(n，mN).(1)若b1，b2，b8成等比数列，试求m的值；(2)是否存在m，使得数列bn中存在某项bt满足b1，b4，bt(tN，t5)成等差数列？若存在，请指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.解当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，a1S11，符合上式.数列an的通项公式为an2n1(nN).(1)由bn(n，mN)，知b1，b2，b8，b1，b2，b8成等比数列，2×.解得m9或m0(舍去)，故m

8、9.(2)若存在m，使b1，b4，bt成等差数列，则2b4b1bt，×2，t7.由于m，tN且t5，令m536，18，12，9，6，4，3，2，1，即m41，23，17，14，11，9，8，7，6时，t均为大于5的整数.存在符合题意的m值，且共有9个数.反思与感悟(1)在等差数列与等比数列的综合问题中，特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的应用往往是破题的关键.跟踪训练3已知an是首项为19，公差为2的等差数列，Sn为an的前n项和.(1)求通项公式an及Sn；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式.解(1)因为an是首项为19，公差为2的

9、等差数列，所以an192(n1)2n21，Sn19n×(2)n220n，即an2n21(nN)，Snn220n(nN).(2)因为bnan是首项为1，公比为3的等比数列，所以bnan3n1，即bn3n1an3n12n21(nN).1.在等比数列an中，a28，a564，则公比q为()A.2 B.3 C.4 D.8答案A解析由a5a2q3，得q38，所以q2.2.在等比数列an中，an>0，且a1·a1027，则log3a2log3a9等于()A.9 B.6 C.3 D.2答案C解析因为a2a9a1a1027，所以log3a2log3a9log3273.3.在1与2之间

10、插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为 .答案8解析设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)(a1a8)3238.4.已知an2n3n，判断数列an是不是等比数列？解不是等比数列.a121315，a2223213，a3233335，a1a3a，数列an不是等比数列.1.解题时，首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法.2.所谓通式通法，指应用通项公式、前n项和公式、等差中项、等比中项等列出方程(组)，求出基本量.3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题

11、中也非常重要.一、选择题1.在数列an中，a11，点(an，an1)在直线y2x上，则a4的值为()A.7 B.8 C.9 D.16答案B解析点(an，an1)在直线y2x上，an12an，a110，an0，an是首项为1，公比为2的等比数列，a41×238.2.已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)6，则a1a15的值为()A.100 B.100 C.10 000 D.10 000答案C解析lg(a3a8a13)lg a6，a106，即a8102100.a1a15a10 000.3.在正项等比数列an中，an1<an，a2·a86，a4a65，则等

12、于()A. B. C. D.答案D解析设公比为q，则由等比数列an各项为正数且an1<an知0<q<1，由a2·a86，得a6.a5，a4a6q5.解得q或(舍去)，2.4.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q为()A. B.3 C.± D.±3答案B解析设等差数列为an，公差为d，d0.则aa2·a6，(a12d)2(a1d)(a15d)，化简得d22a1d，d0，d2a1，a2a1，a33a1，q3.5.已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6等

13、于()A.5 B.7 C.6 D.4答案A解析a1a2a3a5，a2.a7a8a9a10，a8.aa2a8，又数列an各项均为正数，a5.a4a5a6a5.6.已知等比数列an中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于()A.1 B.1 C.32 D.32答案C解析设等比数列an的公比为q，a1，a3，2a2成等差数列，a3a12a2，a1q2a12a1q，a10，q22q10，q1±.an>0，q>0，q1.q2(1)232.7.设各项为正数的等比数列an中，公比q2，且a1·a2·a3··a30230，则a3

14、83;a6·a9··a30等于()A.230 B.210 C.220 D.215答案C解析a1·a2·a3··a30230，a·q12329a·230，a1，a3·a6·a9··a30a·(×22)10×(23)45220.二、填空题8.设数列an为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x28x30的两根，则a6a7 .答案18解析由题意，得a4，a5，q3.a6a7(a4a5)q2×3218.9.已知等差数列an的

15、公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2 .答案6解析由题意知，a3a14，a4a16.a1，a3，a4成等比数列，aa1a4，(a14)2a1(a16)，解得a18，a26.10.已知数列an成等比数列.若a24，a5，则数列an的通项公式是 .答案an4×n2，nN解析由a5a2q3，得4·q3，所以q.ana2qn24×n2，nN.11.已知等比数列an中，有a3a114a7，数列bn是等差数列，且b7a7，则b5b9 .答案8解析由等比数列的性质，得a3a11a，a4a7.a70，a74.b7a74.再由等差数列的性质，知b5b92b78.三、解答题

16、12.等差数列an的前n项和为Sn，已知S3a，且S1，S2，S4成等比数列，求an的通项公式.解设an的公差为d，由S3a，得3a2a，故a20或a23.由S1，S2，S4成等比数列，得SS1S4.又S1a2d，S22a2d，S44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d).若a20，则d22d2，所以d0，此时Sn0，不合题意；若a23，则(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通项公式为an3或an2n1，nN.13.已知数列an为等差数列，公差d0，由an中的部分项组成的数列为等比数列，其中b11，b25，b317.求数列bn的通项公式.解由题意知aa1a17

17、，即(a14d)2a1(a116d)，所以a1d2d2，因为d0，所以a12d，数列的公比q3，所以a1·3n1，又a1(bn1)da1，由，得a1·3n1·a1.a12d0，bn2·3n11，nN.四、探究与拓展14.已知方程(x2mx2)(x2nx2)0的四个根组成以为首项的等比数列，则 .答案解析不妨设是x2mx20的根，则其另一根为4，m4；对方程x2nx20，设其根为x1，x2(x1x2)，则x1x22，等比数列为，x1，x2，4，q38，q2，x11，x22，nx1x2123，.15.在等比数列an(nN)中，a11，公比q0.设bnlog2an，且b1b3b56，b1b3b50.(1)求证：数列bn是等差数列；(2)求bn的前n项和Sn及an的通项an；(3)试比较an与Sn的大小.(1)证明因为bnlog2an，所以bn1bnlog2an1log2anlog2log2q为常数(q0)，所以数列bn为等差数列且公差dlog2q.(2)解因