第二章轨迹与方程

1、第二章 轨迹与方程学习目标1 进一步理解曲线和方程的关系，会写出平面曲线的矢量式（坐标式）参数方程，能将曲线的参数方程与普通方程进行互化，认识一些常见平面曲线的方程及形状。2 理解曲面方程的概念，能根据曲面上点的特征性质来导出曲面的方程。3 初步理解柱面的概念，知道母线平行于坐标轴的柱面方程。4 理解空间曲线的一般方程、参数方程的概念，会求一些简单的空间曲线的一般方程和参数方程。A：掌握1：基本概念：平面曲线的矢量式参数方程，曲面的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式），空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）。母线平行于坐标轴的柱面，空间曲线对坐标面的射影柱面及空间曲线在三坐标面上的射影

2、。2：基本方法 根据轨迹条件用矢量方法求平面曲线和空间曲线（圆柱螺旋线、圆锥螺旋线）的参数方程。 根据轨迹条件求曲面的一般方程和用矢量方法求曲面（球面、圆柱面）的参数方程。 将曲线、曲面的参数方程化为一般方程。 二次柱面简图的画法。 求空间曲线对坐标面的射影柱面和它在三坐标面上的射影。 3：基本理论 三元二次方程表示球面（包括点球面、虚球面）的充要条件的证明及球心、半径的求法 母线平行于坐标轴的柱面方程的特征及证明B：理解将平面曲线和空间曲线的一般方程化为参数方程的常规方法。教材分析本章的学习重点是曲面及空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）的定义，以及根据轨迹条件建立曲面的一般方程和

3、参数方程、建立空间曲线的参数方程。本章的学习难点是用矢量方法建立曲线和曲面的矢量式的参数方程。在本章的学习中建议注意以下几个问题：1：在学习轨迹与方程的对应关系时，必须弄清楚为什么要满足两个条件。2：学习空间曲面的一般方程时应指出F（x,y,z）=0未必表示一个曲面，它可以表示多个曲面、空间曲线、空间点虚曲面，例如方程xyz=0表示三个坐标面，方程表示一直线方程表示一点（1，-1，2）方程表示虚曲面3：空间曲线的一般方程不唯一，可以对空间曲线的一般方程进行同解变形，将方程组化简，从而判定曲线的形状和位置。例如：判定空间曲线(c)的形状和位置.。所以两球面的交线就是圆柱面与平面的交线，是平面上以

4、(0,0,a/2)为圆心，为半径的圆。*注意 在不同的坐标系中同一个方程表示的图形不同 例如：在中表示圆；在中表示圆柱面在中表示原点；在中表示z轴在学习中同学们要注意突破在平面解析几何中形成的思维定势，要在空间看问题。平面曲线的参数方程含一个参数，两个坐标;曲面的参数方程含两个参数，三个坐标；空间曲线的参数方程含一个参数，三个坐标，同学们要会根据参数方程的形式判定表示的是平面曲线或空间曲线或曲面。 4：用矢量方法推导曲线或曲面的参数方程是本章学习的难点，其关键是取定坐标系后把动点的径矢分解为若干个矢量的和，如何分解？在求平面曲线中摆线族（摆线、内摆线、外摆线、圆的渐开线）的参数方程时动点运动的

5、轨迹可以看作动圆绕定圆公转，同时动圆上一点绕动圆圆心自转两种圆周叠加，因此可以把动点的径矢分解为定圆和动圆两个半径矢量之和利用圆的矢量式参数方程。求解。求空间曲面或曲线的参数方程时经常是作径矢的坐标折线，把分解为平行坐标轴的三个矢量之和，这样做便于找出x,y,z与参数之间的函数关系。5：化平面曲线和空间曲线的一般方程为参数方程是本章学习的又一难点，在学习中注意两种常用的方法。化平面曲线的一般方程为参数方程，可过曲线上一点作直线束，求此直线束与曲线的交点。如：化椭圆的方程为参数方程。可在椭圆上取一点(0,b)，过(0,b)作直线束y=tx+b，求此直线束与椭圆的交点得：化空间曲线的一般方程为参数

6、方程，常用的方法之一是求空间曲线在坐标面上（例如xoy面上）的射影，求出射影（平面曲线）的参数方程，再代入原方程组解z。 例如：viviani曲线在xoy面上的射影是圆此圆的参数方程为即为简便起见，设得再代入解得即得viviani曲线上、下两叶的参数方程分别为若扩大的取值范围为，则方程即可表示曲线上、下两叶。6：参数方程与一般方程的互化，一定要注意方程的等价性，曲线上的点既不能增加，也不能减少。例如化半立方抛物线的方程为参数方程，若设x=t解得只能表示半立方抛物线的上半支。7：为了训练自己的作图能力，必须学会如何画二交柱面的简图，作图时先作出柱面与坐标面的交线，再作出它们平行于坐标面的截口，同

7、学们要自己练习。教学内容§2.1 平面曲线的方程平面上的曲线都看成具有某种特征性质的点的集合。曲线上点的特征包括两层意思：（1）曲线上的点都具有这些性质；（2）具有这些性质的点都在曲线上。它也可以说成是点在曲线上的充要条件。曲线上点的特征性质，在建立了坐标系的平面上，反映为曲线上点的坐标x和y所应该满足的相互制约条件，一般用方程F（x，y）=0或 y= f(x) 表达。一 定义2.1.1 当平面上取定了标架后，如果一个方程与一条曲线有关系：（1）满足方程的（x，y）必是曲线上某一点的坐标；（2）曲线上任何一点的坐标（x，y）满足这个方程，那么这个方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这

8、个方程的图形。为了方便起见，“点的坐标满足方程”常说成“点满足方程”。这时，点的坐标和方程的解满足一一对应关系。在解析几何中，曲线又表现为一个动点运动的轨迹，但是运动的规律往往不是直接反映为动点的两个坐标x和y之间的的关系，而是表现反映为动点的位置随着时间t改变的规律。当动点按照某种规律运动时，与它对应的径矢也随时间的不同而改变（即模与方向的改变），这样的径矢叫变矢，记作r(t)。如果变数t(atb) 的每一个值对应于变矢r的一个完全确定的值（模与方向）r(t)，那么我们就说r是变数t的矢性函数，把它记做r=r(t),atb.二定义2.1.2 若取t(atb) 的一切可能取的值，由 r(t)=

9、x(t)e1+y(t)e2(atb) 表示的径矢r(t)的终点总在一条曲线上；反过来，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由t的某一值t0 (at0b) 通过 r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb) 完全决定，那么就把表达式 r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb) 叫做曲线的矢量式参数方程，其中t 为参数。换种说法：r(t)=x(t)e1+y(t)e2(atb) 叫做曲线的矢量式参数方程，如果当 t在区间atb 内变动时，径矢r(t) 的终点 P(x(t),y(t) 就描述出这条曲线来。因为曲线上点的径矢r(t) 的分量为x(t), y(t)，所以曲线的参

10、数方程也常写成下列形式 (atb)我们把这个表达式叫做曲线的坐标式参数方程。三应用：例1：求圆心在原点，半径为R的圆的方程。例2：已知两点A（-2，-2）和B（2，2），求满足条件的动点M的轨迹方程。例3：已知直线l通过定点M0(x0,y0)，并且它与非零矢量共线，求直线l 的方程。 r=r0+tv (-<t<) 这是直线的矢量式参数方程，t为参数。 这是直线的坐标式参数方程。参数为t，它的几何意义：当是单位矢量时，那么点M与M0之间的距离就等于，这是因为。 这是直线的对称式方程或标准方程AX+By+C=0 这是直线的一般方程。 A，B的几何意义：矢量 q=B,-A 是直线的一个方

11、向矢量，在直角坐标系下，P=A,B 垂直于矢量q=B,-A，从而垂直于直线，我们称P=A,B为直线的法矢量。A=Y, B=-X C=-(Yx0-Xy0)例4：一个圆在一直线上无滑动的滚动，求圆周上一点P的轨迹。（这种曲线叫做旋轮线或摆线。）例5：已知大圆半径为a ，小圆半径为 b。设大圆不动，而小圆在大圆内无滑动的滚动，动圆圆周上某一定点P的轨迹叫做内旋轮线或内摆线，求内旋轮线的方程。例6：把线绕在一个固定圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，求线头的轨迹。（叫圆的渐伸线或切展线，在工业上常被采用为齿廓曲线）例7：把椭圆的普通方程 改写为参数方程

12、。§2.2 曲面的方程一、 曲面的方程 一般表达式 F（x,y,z）=0 （1） 或 z=f(x,y)（2）定义2.2.1 如果一个方程（1）或（2）与一个曲面有着关系：满足方程（1）或（2）的（x，y, z）是曲面上的点的坐标； 曲面上的任何一点的坐标（x，y, z）满足方程（1）或（2），那么方程（1）或（2）就叫做曲面的方程，而曲面叫做方程（1）或（2）的图形。曲面方程有时候没有实点满足它，这时方程不表示任何实图形，我们称为虚曲面。例1：求连接两点A（1，2，3）和B（2，-1，4）的线段的垂直平分面的方程。例2：求两坐标面xoz和yoz 所成二面角的平分面方程。例3：求坐标平

13、面yoz的方程。例4：一平面平行于坐标平面xoz ，且在y 轴的正向一侧与平面xoz 相隔距离为k ，求它的方程。例5：设球面的中心是点C(a,b,c) ，而且半径等于r，求它的方程。二、 曲面的参数方程设在两个变数u,v的变动区域内定义了双参数矢函数 r=r(u,v) 或r(u,v)=x (u,v)e1+ y(u,v)e2+ z(u,v)e3 (3)这里 x(u,v), y(u,v), z(u,v) 是变矢r(u,v) 的分量，它们都是变数u,v的函数。当 u,v 取遍变动区域内的一切值时，径矢= r(u,v)=x (u,v)e1+ y(u,v)e2+ z(u,v)e3 的终点M(x (u,

14、v), y(u,v), z(u,v) 所画的轨迹，一般为一张曲面。定义2.2.2 如果取u,v(aub,cvd)的一切可能取值，由（3）表示的径矢 r(u,v)的终点M总在一个曲面上；反过来，在这个曲面上的任意点 M总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由u,v 的值(aub,cvd) 通过（3）式完全决定，那么我们就把表达式（3）叫做曲面的矢量式参数方程，其中 u,v为参数。 叫做曲面的坐标式参数方程。例6：求中心在原点，半径为r的球面的参数方程。r=(rsincos)i+(rsinsin)j+(rcos)k (0,-<)例7：求以z 轴为对称轴，半径为R的圆柱面的参数方程。R=(Rco

15、s)i+(Rsin)j+uk (-<, -<u<+)§2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程 假设动点P（x,y,z）的坐标间的关系是不含变数z 的方程 F(x,y)=0 （1）。在xoy平面，这方程表示一条曲线L，这曲线上的点的坐标满足这方程。假设L上的一点Q对于xoy平面上的平面坐标系的坐标是Q（x1,y1），那么点Q在空间坐标系的坐标是（x1,y1,0），显然，这个坐标依然满足以上方程，因此Q点在曲面（1）上，从而曲线L上的各点均在（1）上。不仅如此，自Q作oz轴的平行线QR，并于其上任取一点P1，假定QP1k，那么点P1的坐标（x1,y1,k）满足（1），因此P

16、1也在曲面（1）上，从而整个直线在曲面（1）上；反过来，如果P1(x1,y1,z)在曲面上，那么有F(x1,y1)=0 。 所以，P1在平行于z轴且过曲线L上的点（x1,y1,0)的直线上。所以曲面（1）是由平行于z轴的直线沿曲线L移动而成，这样的曲面叫柱面，曲线L叫做它的准线，形成柱面的动直线叫做它的母线。因此方程F（x,y）=0 决定一个母线平行于z轴的柱面。同理，F（y,z）=0 F（x,z）=0. 都表示柱面，它们的母线分别平行于x轴，y轴。例如方程 ： 表示母线平行于z轴的柱面，它在xoy平面上的准线为椭圆，所以叫椭圆柱面。 表示母线平行于z轴的柱面，它在xoy平面上的准线为双曲线，

17、所以叫双曲柱面。 y2=2px 表示母线平行于z轴的柱面，它在xoy平面上的准线为抛物线，所以叫抛物柱面。它们的方程都是二次的，所以都叫二次曲面。§2.4空间曲线方程一、 空间曲线的一般方程：空间曲线可以看作两个曲面的交线。设 (1)是两个曲面的方程，它们的交线为L。因为曲线L上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程，所以应满足方程组(1),反过来，满足方程组的任何一组解所决定的点，同时在两个曲面上，即在两曲面的交线上，因此，曲线L可以用方程组（1）来表示，方程组（1）表示空间曲线L的方程。我们把方程组（1）叫做空间曲线的一般方程。例1：写出oz轴的方程。例2：方程组表示怎样的曲线

18、?方程组表示怎样的曲线？（方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,其准线是xOy面上的圆，圆心在原点O，半径为1。方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面，由于它的准线是zOx面上的直线，因此它是一个平面。方程组就表示上述平面与圆柱面的交线。）（方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O ，半径为a的上半球面。第二个方程表示母线平行于z 轴的圆柱面，它的准线是xOy面上的圆，这圆的圆心在点（a/2，0），半径为a/2。方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线。）例3：求在xoy坐标面上，半径等于R，圆心为原点的圆的方程。二、空间曲线的参数方程：空间曲线也象平面曲线那样，可用它的参数方程来表

19、达，这是另一种表达空间曲线的常用方法，特别是把空间曲线看作质点的运动轨迹时，一般常用参数表达法。空间曲线的参数方程与平面曲线的参数方程完全雷同，在空间建立坐标系后，设矢函数 r=r(t) (2) 或 r(t)=x(t)e1+y(t)e2+z(t)e3 (3)当t在区间atb内变动时，r(t)的终点M（x(t),y(t),z(t)）全部都在空间曲线L上，反过来，空间曲线L上的任意点的径矢都可由t的某个值通过（2）或（3）来表示，那么（2）或（3）就叫做空间曲线L的矢量式参数方程，其中t(atb)为参数。 空间曲线的坐标式参数方程常写成（atb）t为参数。例4：一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动，另一方面作平行于轴线的直线运动，其速度与角速度成正比，求这个质点运动的轨迹方程。（-<<+) 其中为