第九章重积分

1、第九章重积分第三讲二重积分习题课教学目的 使学生灵活掌握用二重积分的性质解决具体实际问题，以及如何用最佳方案进行二重积分的计算教学重点 1使学生进一步明确用直角坐标系计算二重积分时，将积分区域看作何种区域的原则；2使学生进一步明确计算二重积分时用极坐标系的原则；3使学生灵活地结合二重积分性质进行二重积分计算教学时数 2学时教学过程 一、知识要点回顾1二重积分的定义；2二重积分的几何意义及其物理模型；3二重积分的性质： (1) 线性性质； (2) 区域可加性； (3) 比较定理； (4) 单调性； (5) 估值不等式； (6) 二重积分的中值定理4直角坐标系下二重积分化二次积分(1)

2、X型区域特点及积分区域为X型区域时化二重积分为二次积分；(2) Y型区域特点及积分区域为Y型区域时化二重积分为二次积分；5极坐标系下二重积分的计算(1) 何种二重积分适宜选择极坐标计算，要从积分区域和被积函数两方面考虑；(2) 二、练习1利用二重积分的性质估计积分分析 用二重积分的性质中的估值不等式，需要先找到被积函数在上的最大值及最小值解在上有，故在上，又的面积，从而由二重积分的估值不等式得2交换的积分次序21-114 yxO图1分析 要交换积分次序，必须先找到积分区域，这需依已知条件给出，由于已知是先对后对的二次积分，因此它是把积分区域看作Y型区域化成的二次积分为交换积分顺序，就要把积分区

3、域看作X型区域我们先由已知条件确定出积分区域，然后按X型区域化成二次积分解由题目条件，积分区域被直线及曲线所围成，由此描出(如图1)题目所给的二次积分是把看作Y型区域所得到的，改变积分次序就是要把看作（必要时分割为几部分）X型区域显然可以看作X型区域，但此时，其下边界为由抛物线及直线衔接而成的分段光滑曲线，为此需要把作分割解方程组,求得交点为及，作直线将分成两部分按X型区域，它们分别表示为在上分别将二重积分化为二次积分并依据区域可加性得图2小结 (1) 交换积分次序的实质是把积分区域看作另一类型的区域，如果积分区域不能看作另一类型的区域，要将其分割为几个子区域，使每个子区域皆可以看作另一类型区

4、域例如，设是由曲线所界定的区域，显然它是Y型区域，而不是X型区域为此我们用轴把它分成三个小子区域（图2）其中每个都是X型区域(2) 当一个区域看作X型区域时，如果上或下边界方程中（至少）有一个是分段函数，要做平行轴的直线把它分为几个小区域，使每一个子区域的上下边界方程皆不出现分段函数类似地，若左右边界方程中出现分段函数时，做平行于轴的直线将区域分割3计算积分，其中由曲线及直线所围成的区域D图3分析 积分区域如图3的阴影部分所示，它既可以看作X型区域，也可以看作Y型区域 若看作X型区域，将会出现(1) 区域的上边界由两条直线衔接而成，这就需要将区域进行分割，产生麻烦(2) 由于X型区域需要化成先

5、对的积分, 但对来说，这也是困难的为此，我们把按Y型区域处理解 先求出的各顶点，它们是各条边的交点，为此解方程组得顶点坐标分别是把看作Y型区域，则有于是图44 计算，其中为由直线与曲线所围成的区域分析 首先我们注意到被积函数的原函数不能求出，故我们应该避开先对积分，即不能把看作X型区域，因此把看作Y型区域解 将看作Y型区域，见图4 ，解方程组得的两个顶点是，可表示为， 于是小结由练习题3、4可以看出，把一个区域是看作X型区域还是Y型区域(1) 首先注意被积函数的特点, 一定要避开无法计算的积分出现, 如等, 或者说尽可能使积分易“积”出来(2) 在被积函数没有特殊要求时，要尽量避免某侧边界是分

6、段函数，即尽可能避免某侧边界是条曲线相衔接而成的分段光滑曲线，实在避免不开的，应采用题2所给的“切块法”(3) 求积分区域在坐标轴上的投影，一般往往通过解相邻两边的方程所组成的方程组求区域的顶点来确定5计算二次积分分析若直接计算题目所给的二次积分，将首先遇到求的原函数的问题，它是无法计算的，因此，应将二次积分先还原为二重积分，再根据积分区域的特点，选择适当的方法解由所给的二次积分，我们得积分区域，其中xO yRD1D2y=x图5是一个中心角为，半径为的扇形（图5）因此可以采用极坐标计算，在极坐标系下，有因此小结 (1) 计算二重积分时，适当选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不仅影响到计算的繁

7、简，甚至会影响到计算能否进行(2) 化直角坐标系下的二重积分为极坐标系下的二重积分时，一般应1) 首先把积分区域的边界方程用极坐标表示；2) 确定的范围，即在极坐标系下表示积分区域；3) 用分别代换被积函数中的，并把面积元素用替代6计算二重积分，其中是直线及上半圆周所围成的区域分析被积函数中含有因子，它用极坐标表示非常简单，积分区域的边界含有圆周，而圆周用极坐标表示也非常简单，故我们将所给的二重积分化为极坐标来计算解在极坐标系下，的边界方程分别表示为（图6）图6因此这时可表示为于是小结采用何种坐标计算二重积分，要从积分区域及被积函数两方面出发当积分区域为圆域、圆环域、扇形域或圆环域被从原点出发

8、的两条射线所截得的部分；被积函数为等形式时可考虑采用极坐标不适合极坐标者用直角坐标7计算，其中分析积分区域为圆形域，因此可考虑采用极坐标计算，注意到积分区域关于都是对称的，而被积函数中关于都是奇函数，关于是偶函数，因此我们先用积分区域关于坐标轴的对称性以及被积函数的奇偶性简化运算解，由于关于轴对称，被积函数关于是奇函数，是偶函数，又为圆域，故又的面积为，故,于是小结 (1) 计算二重积分时，要注意利用积分区域关于坐标轴的对称性，同时被积函数关于某相应变量的奇偶性简化运算(2) 当被积函数为两一元函数乘积，且各变量的上下界皆为常数时，把重积分化为二次积分后，可分别各自独立的计算两个定积分，然后将结果相乘8计算，其中分析由于被积函数中含有绝对值号，故必须先去掉绝对值号，才能进行计算在中的符号是不确定的，为此根据被积函数的特点，将区域进行分割(见图7)，从而使得在每个子区域上有确定的符号xO yD1D2D2-11图7解抛物线将分成上下两部分，分别记作，于是小结被积函数中含有绝对值时，必须首先设法将绝对值符号去掉，如果在积分区域内，绝对值号内的式子的