2015年普通高等学校招生全国统一考试(3)

1、高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分.）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分.1.设全集U=R.若集合A=1,2,3,4,B=x2x3,则AnqB=.2. 若复数z满足3z+Z=1+i,其中i为虚数单位，则z=.3. 一”3gx=3若线性方程组的增广矩阵为、解为，则c1-c2=.4. <013y=512若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16J3，则a=.5. 抛物线y2=2px（p0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,贝Up=.6. 若圆锥的侧

2、面积与过轴的截面面积之比为2兀，贝U其母线与轴的夹角的大小为.7. 方程log2（9x5）=log2（3x，2）+2的解为.8. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.9. 已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2.若Ci的渐近线方程为y=士J3x，则C2的渐近线方程为设f（x）为f（x）=2xu+：,x10,2】的反函数，贝Uy=f（x广L（x）的最大值为匕1'102一在.1+x+称的展开式中，x项的系数为（结果用数值表示）.赌博有陷阱.某种赌博每局的规

3、则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量与和弓分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,13.已知函数f（x）=sinx.若存在x1,x2,，xm满足0壬x1<x2<，yxmM6丸，且f(X1)f(X2j+|f(&)f(X3+|f(X|心)一f(xnj=12(m占2,mwN*),则m的最小值114.在锐角二角形ABC中，tanA=-,D为边BC上的点，AABD与AACD的面积分别为2和4.D作DE1AB于E,DF1A

4、C于F,则甚，R=、选择题（本大题共有4题，满分20分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.设z1,z2在C，则“z、Z2中至少有一个数是虚数”是“Z1Z2是虚数”A.充分非必要条件.必要非充分条件C.充要条件.既非充分又非必要条件16.已知点A的坐标为（4屈），将0A绕坐标原点0逆时针旋转兰至0B,3则点B的纵坐标为（5,3111317.记方程：x2+a1x+1=0,方程:x2+a2x+2=0，方程：x2+a3x+4=0，其中a1,aa3是正实数.当a1,a2,a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（A

5、.方程有实根,且有实根.方程有实根，且无实根C.方程无实根,且有实根.方程无实根，且无实根18.设Pn(X，»）是直线2x-yn3制*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点,Vn-1则极限limA.-1一、解答题（本大题共有5题，满分74分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.（本题满分12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=1,AB=AD=2,E、F分别是AB、BC的中点.证明A、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面件产所成的角的大小D(本题满分14分)本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，A,B,C三地有直道相通，AB

6、=5千米，AC=3千米，BC=4千米.现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f(t)(单位：千米).甲的路线是AB,速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时.乙到达B地后原地等待.设t=t1时乙到达C地.(1) 求ti与f(ti)的值；(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当tt1时，求f(t)的表达式，并判断f(t)在61,11上得最大值是否超过3?说明理由.19. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线11和12分别于椭圆交于A、B和C、D,记得到的平行四边形ABC

7、D的面积为S.(1) 设A(x1,y)，C(x2,y2)，用A、C的坐标表示点C到直线1的距离，并证明S=2为为X2y；(2) 设11与12的斜率之积为-1，求面积S的值.20. 2(本题满分16分)本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列0与b满足an+an=2(bn*bn),nN*.(1) 若bn=3n+5,且a1=1,求数列G的通项公式；设坛的第n。项是最大项，即an0an(仲'*),求证：数列bn的第n°项是最大项；设a1=<0,bn=Ln(nN*),求的取值范围，使得an有最大值M与最小值m,且M2,2.21. m(本题

8、满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R的函数g(x)，若存在正常数T,使得cosg(x)是以T为周期的函数，则称g(x)为余弦周期函数，且称T为其余弦周期.已知f(x)是以T为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设f(x)单调递增，f(0)=0,f(T)=4n.x(1) 验证h(x)=x+sin§是以6兀为周期的余弦周期函数；(2) 设a<b.证明对任意c司|_f(a),f(b)，存在x0在Ia,b】，使得f(x0)=c；(3) 证明：“u°为方程cosf(x)=1在0,T上得解”的充要条件是“u°

9、+T为方程cosf(x)=1在lT,2T上有解”，并证明对任意xw10,T都有f(x+T)=f(x)+f(T).、（第1题至第14题)上海数学（理工农医类）参考答案1.<1,4：2.3.164.45.26.7.28.1209.y3y=x210.411.4512.0.213.814.1615题号15161718代号BDBA15至18题)二、（第三、（第19至23题）19.解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A(2,0,1)、C(0,2,1)、E(2,1,0)、F(1,2,0)、C(0、2、0)、D(0,0,1).因为AG=(2,2,0),EF=(1,1,0),所以EF

10、/AC1因此直线A1C与EF共面,即,A、C1、F、E四点共面.设平面A1C1EF的法向量为n=（u,v,w）,又EF=(1,1,0)FG=(1,0,1),-u+v=0,故<解得u=v=w.-uw=0,*T取u=1,则平面A1GEF的一个法向量n=(1,1,1).又CD1=(0,2,1),因此直线CDi与平面ACiFE所成的角的大小arcsin兰15.15一320.解：(1)t1=一,8,15一，设乙到C时甲所在地为D,则AD=15千米。8在ACD中，CD2=AC2AD2-2ACADcosA,3所以f(t1)=CD=J41(千米)。8(2)甲到达B用时1小时；乙到达C用时3小时，从A到B

11、总用时了小时。8837当t1=一t一时，88f(t).(78t)2(55t)2一2(78t)(55t)=；25t2-42t18；当-<1时，f(t)=5-5t.8<25t242t+18,3争所以"I一5t,18L8因为f(t)在I3,7'上的最大值是f(3)=3J41,_8888f(t)在7,1'上的最大值是_8,75-，工f(一)=一，所以f(t)在883,1'上的最大值是3J41，不超过3.yX2-Xy2,X12-y；_8821.证：(1)直线1：yxy=0,点C到1的距离|AB|=2|AO|=2.X12y"-一，1，c所以S=2Sa

12、bc=22ABd=2Xy2X2y.，1(2)设|1：kx，则板尸/，设AMyOCgM)y2*2得X=-.X2y=1,12k2_1_2k2同理X2=2kf1十2（）22k12k由（1）,S=2xy2x2y=2X1X22k_2X2kX1=2X1X2（2k21）.2kkJ1+2k2J2k2+122.解（1）由于bn+bn=3，得an*an=6所以&是首项为1,公差为6的等差数列,故0的通项公式为an=6n-5,n迁N证（2）anHtan=2（bn+-如），得a”+2bn+=a”2bn所以Gn-2bn）为常数列，an2bn=a12bi，即an=2bn+a1-2bi.r一.*1cjc1ttrrj

13、因为a%占an,n；N，所以2bna2b>2ba2bi,Wbn°芝bn故如是第n0项是最大项。解：（3）因为bn_C/，n1,n、所以an1-an=2（，-'）当n芝2时，an=（anan）+（an.an、+HI+（a2a）+a2(，n_，n)2(nJ-n-|2()当n=1时，ai=人，符合上式所以an=2，n因为2n九0，所以a2n=2|衬_九a2n=2|九2nJ-'：-'.当赤-1时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值;当舄=-1时，饵的最大值为3,最小值为-1,而二爸(一2,2)；-1禹°时，由指数函数的单调性知,2an的最大值M=

14、a2=2九九，最小值m=%=%,由21一2<<2及一1<赤<0,碍一<九<02.一一1综上，九的取值范围是(-1,0)2.x23证明(1)易见h(x)=x+sin的定义域为R,3x6:对任意xwr,h(x+6冗)=x+6兀+sln=h(x)+6冗，3所以cosh(x6二)=cos(h(x)6二)=cosh(x),即h(x)是以6兀为余弦周期的余弦周期函数。(2)由于f(x)的值域为R,所以对任意c【f(a),f(b)】，c都是一个函数值，即有x°wR，使得f(x°)=c。若冷a,则由f(x)单调递增得到c=f(x°)f(a),与

15、cf(a),f(b)】矛盾，所以.冷芝a，同理可证x0b.故存在x0在Ia,b使得f(x0)=c.(3)若u°为cosf(x)=1在0,T】上的解，则，cosf(4)=1,且U0+T在厅,2T】，cosf(U0+T)=cosf(u°)=1,即u0+T为方程cosf(x)=1在fr,2T】上的解.同理，若u°+T为方程cosf(x)=1在IT,2T】上的解.则u°为该方程在b,T】上的解.以下证明最后一部分结论.由(2)所证知存在0=x°<为<x2<x3<x4=T，使得f(xi)=iN,i=0,1,2,3,4.而Ri,Xi+i是函数cosf(X)的单调区间，i=0,1,2,3.与之前类似地可