第一章离散时间信号与系统

1、第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统主要内容：主要内容：1.1 离散时间信号离散时间信号-序列序列1.2 离散时间系统离散时间系统1.3 线性差分方程的求解线性差分方程的求解1.4 时域采样定理时域采样定理1.5 本章本章Matlab相关程序相关程序1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号( (序列序列) ) Discrete-time signals (Sequences)一、离散时间信号的由来一、离散时间信号的由来v 离散时间信号（又称序列）离散时间信号（又称序列），是连续时间信号以时间，是连续时间信号以时间 T等间隔采样得到的，等间隔采样得到的，T称称为采样间隔（单位：秒）

2、为采样间隔（单位：秒）。32ms256 samples)(10125. 0256103233秒秒 Ttx(t)v 一般，采样间隔是均匀的，用一般，采样间隔是均匀的，用x(nT)表示离散时间信号在表示离散时间信号在nT点上的值，点上的值，n为整数为整数。由于。由于x(nT)顺序存放在存储器中，我们通顺序存放在存储器中，我们通常直接用常直接用x(n)表示离散时间信号序列表示离散时间信号序列。0 0T T 2T2T 3T3T 4T4T 5T5T 6T6T 7T7T 8T8T 9T9T0 0T T 2T2T 3T3T 4T4T 5T5T 6T6T 7T7T 8T8T 9T9T0 01 12 23 34

3、 45 56 67 78 89 9nx(n)=nT|t=nT=x(nT)二、离散时间信号的表示方法二、离散时间信号的表示方法v1 1、用枚举的方式、用枚举的方式( (数列形式数列形式) )表示：表示：vx(n) = 3，4，2，1，0，5，7，8 v注：用箭头标出注：用箭头标出n=0在序列中的位置，上面序列的在序列中的位置，上面序列的x(0)=1v2 2、用公式表示、用公式表示：)sin()( nAnx 0302)(nnnxnn1 n因为因为n只能取整数，所只能取整数，所以两种写法是一样的。以两种写法是一样的。v3 3、用图形的方式表示、用图形的方式表示：0 01 12 23 34 4 5 5

4、6 6 7 78 89 9nx(n)-1-11 12 21 11 1-1-1-2-22 22 22 23 33 31010 1111v 图中横坐标图中横坐标n表示离散的时间坐标，仅在表示离散的时间坐标，仅在n为整数时才有意为整数时才有意 义，纵坐标代表信号点的值。义，纵坐标代表信号点的值。x(0) = 2x(1) = 1x(2) = 2x(3) = 3三、序列的基本运算三、序列的基本运算v1 1、序列的和、序列的和 ：v 两序列的和是指两序列的和是指同序号同序号n n的序列值的序列值逐项对应相加逐项对应相加而构成而构成 的新序列。的新序列。x(n)n01 2 3 4 5 62121 1y(n)

5、n01 2 3 4 5 611 11 1z(n)n01 2 3 4 5 63232 2z(n) = x(n) + y(n) z(0) = x(0) + y(0) = 3z(1) = x(1) + y(1) = 2z(2) = x(2) + y(2) = 3z(3) = x(3) + y(3) = 2z(4) = x(4) + y(4) = 2 v 仿真实验仿真实验(Matlab) x1=wavread(w1.wav); x2=wavread(w2.wav); y=x1+x2; figure(1); plot(x1); grid on; figure(2); plot(x2); grid on;

6、 figure(3); plot(y); grid on; wavwrite(y,w3.wav); %读入声音文件读入声音文件%序列求和序列求和%画图显示结果画图显示结果%结果保存为声音文件结果保存为声音文件v 实验结果实验结果 y(n) = x1(n)+ x2(n)01234567x 104-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8101234567x 104-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8101234567x 104-1.5-1-0.500.511.5x1(n)x2(n)y(n)w1.wavw2.wavw3.wavv2 2、序列的积、序列的

7、积 ：v 两序列的积是指两序列的积是指同序号同序号n n的序列值的序列值逐项对应相乘逐项对应相乘而构成而构成 的新序列。的新序列。x(n)n01 2 3 4 5 62121 1z(n) = x(n) * y(n) z(0) = x(0) * y(0) = 2z(1) = x(1) * y(1) = 2z(2) = x(2) * y(2) = 2z(3) = x(3) * y(3) = 2z(4) = x(4) * y(4) = 1 y(n)n01 2 3 4 5 611212z(n)n01 2 3 4 5 622221v3 3、序列的移位、序列的移位 ：v 设有一序列设有一序列x(n)，当当m

8、为正时：为正时： x(n-m)表示序列表示序列x(n)逐项依次逐项依次右移右移m位后得到的序列。位后得到的序列。 x(n+m)表示序列表示序列x(n)逐项依次逐项依次左移左移m位后得到的序列。位后得到的序列。n01 2 3 4 5 6n0 1 2 3 4 5-1-2-3y(n) = x(nm)x(n)x(n)x(0)=1x(1)=2x(2)=3nx(n)01 2 3 42113213213213x(n+1)213x(n-1)右移右移左移左移v 实例：实例： 序列右移（序列延迟）的应用序列右移（序列延迟）的应用v 延时单元可以将以前的某采样时刻的数据暂存起来，延时单元可以将以前的某采样时刻的数据

9、暂存起来，参与这个时刻的运算。参与这个时刻的运算。1|)()()( Rnxnxnyv 回声可以用延迟单元来生成。直接声音和它的延迟了回声可以用延迟单元来生成。直接声音和它的延迟了R个周期的单个回声可以用下面的式子来表示（个周期的单个回声可以用下面的式子来表示（ 为为回声的回声的衰减系数）：衰减系数）：v 为了生成间隔为为了生成间隔为R个周期的多重回声，可将上式改为个周期的多重回声，可将上式改为：1|) 1()2()()()(12 RNnxRnxRnxnxnyNv 原声：原声：v 混响混响1：v 混响混响2： =0.3, R=5000 =0.3, R=10000v4 4、序列的反褶、序列的反褶

10、：v 设有序列设有序列x(n)， 则则x(-n)是以是以n=0为纵轴为纵轴将将x(n)反褶后的序列。反褶后的序列。y(n) = x(-n)x(n)n0 1 2 3 4 5 62113-1-2-3-4x(-n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213x(n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213nx(-n)0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213x(-n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213213213v 思考：思考：x(-n+1)和和x(-n-1)与与x(-

11、n)的移位关系？的移位关系？x(n)n0 1 2 3 4 5 62113-1-2-3-4x(0)=1x(1)=2x(2)=3x(-n)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213x(-n+1)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213x(-n-1)n0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4213vx(-n+1) 是是x(-n) 右移一位后的序右移一位后的序列列vx(-n-1) 是是x(-n) 左移一位后的序左移一位后的序列列v 仿真实验仿真实验(Matlab) x = wavread(w2.wav); y = fliplr(x); figure(1); plot(x); gri

12、d on; figure(2); plot(y); grid on; wavwrite(y,w4.wav); 01234567x 104-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8101234567x 104-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81x(n)y(n)=x(-n+N)w2.wavw4.wav%读入声音文件读入声音文件%画图显示结果画图显示结果%结果保存为声音文件结果保存为声音文件%反褶反褶5、累加、累加v 设序列设序列x(n)x(n)，则则x(n)x(n)的累加序列的累加序列y(n)y(n)定义为：定义为： nkkxny)()(v它表示它表

13、示y(n)y(n)在某一个在某一个n n0 0上的值等于这一个上的值等于这一个n n0 0上的上的x(nx(n0 0) )以及以及n n0 0从前的所有从前的所有n n值上的值上的x(n)x(n)值之和。值之和。 101)()(2121nnnxn例如：例如： 101)()(12121nnnynkn6 6、差分运算、差分运算v 前向差分：前向差分：)()1()(nxnxnx v 后向差分：后向差分：)1()()( nxnxnx)1()( nxnxv差分运算反映了序列差分运算反映了序列x(n)x(n)的幅值变化规律。的幅值变化规律。7 7、序列的时间尺度（比例）变换、序列的时间尺度（比例）变换v

14、设某序列为设某序列为x(n)x(n)，则其时间尺度变换序列为则其时间尺度变换序列为x(mn)x(mn)或或 x(n/m)x(n/m)，m m为正整数。为正整数。v x(mn) x(mn) 为抽取序列（为抽取序列（m1m1）v x(n/m) x(n/m)为插值序列（为插值序列（m1m1）例如：例如：x(n)x(n)与与x(2n)x(2n)-2 -2 -1 0 1 2 n-1 0 1 2 n12345x(n)135x(2n)-2 -2 -1 0 1 2 n-1 0 1 2 n注意：注意： x(n) = x(t)|x(n) = x(t)|t=nTt=nT 采样间隔为采样间隔为T T x(2n) =

15、x(t)|x(2n) = x(t)|t=2nTt=2nT 采样间隔为采样间隔为2 2T T，抽样抽样 x(n/2) = x(t)|x(n/2) = x(t)|t=nT/2 t=nT/2 采样间隔为采样间隔为T/2T/2，插值插值 8 8、卷积和、卷积和v 卷积积分卷积积分是求是求连续连续线性时不变系统线性时不变系统输出响应输出响应的主要方法。的主要方法。v 卷积和卷积和是求是求离散离散线性时不变系统线性时不变系统输出响应输出响应的主要方法。的主要方法。h(t)h(t)x(t)x(t) dmmthmxthtxty)()()()()(h(n)h(n)x(n)x(n) mmnhmxnhnxny)()

16、()()()(卷积和的计算方法与步骤：卷积和的计算方法与步骤：v(1) (1) 反褶：反褶：画出画出x(m)x(m)与与h(m)h(m)，以以m=0m=0的纵轴为对称轴将的纵轴为对称轴将h(m) h(m) 反褶成反褶成h(-m)h(-m)。v(2) (2) 移位移位：将将h(-m)h(-m)移位移位n n，得到得到h(n-m)h(n-m)。 当当n n为正，右移为正，右移n n位；当位；当n n为幅负，左移为幅负，左移n n位。位。v(3) (3) 相乘相乘：将将h(n-m)h(n-m)和和x(m)x(m)的相同的相同m m值的对应点值进行值的对应点值进行相乘。相乘。v(4) (4) 相加相加

17、：将所有对应点的乘积累加起来，得到某一个将所有对应点的乘积累加起来，得到某一个n n下的下的 输出值输出值y(n)y(n)。 mmnhmxnhnxny)()()()()(四、常用的典型序列四、常用的典型序列v1、单位取样序列、单位取样序列 (n) -Unit sample sequence 0001)(nnn (n)n0 1 2 3 4 5 61-1-2-3-4v ( (n)n)是一个脉冲幅度为是一个脉冲幅度为1 1的的现实序列。现实序列。v ( (t)t)是脉宽为零，幅度为是脉宽为零，幅度为 的一种数学极限，是的一种数学极限，是 非现实信号。非现实信号。 v单位取样序列亦称单位脉冲序列，或时

18、域离散冲激。单位取样序列亦称单位脉冲序列，或时域离散冲激。 v 用单位取样序列用单位取样序列 (n)表示任意序列表示任意序列 (n)n0 1 2 3 4 5 61-1-2-3-42 (n-1)n0 1 2 3 4 5 62-1-2-3-4 mmnmxnx)()()( 可以将任意序列表示成单可以将任意序列表示成单位抽样序列的位抽样序列的移位加权和移位加权和x(n)=3 (n-2)n0 1 2 3 4 5 63-1-2-3-4 (n) +2 (n-1)+3 (n-2)n0 1 2 3 4 5 63-1-2-3-412 20)()(mmnmx (其中，其中，x(0)=1, x(1)=2, x(2)=

19、3)v2、单位阶跃序列、单位阶跃序列u(n) -Unit step sequence u(n)n0 1 2 3 4 5 61-1-2-3-47 8 9 10 0001)(nnnuv 用用单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)表示表示单位取样序列单位取样序列 (n)：)1()()( nunun v 用用单位取样序列单位取样序列 (n)表示表示单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)： 0)()(mmnnu v3、矩形序列、矩形序列RN(n) - Rectangular sequence nNnnRN其其它它0101)(RN(n)n0 1 2 31N-1 v 用用单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)表示表示矩形序列

20、矩形序列RN(n)：)()()(NnununRN v 用用单位取样序列单位取样序列 (n)表示表示矩形序列矩形序列RN(n) ： 10)()(NmNmnnR v4、实指数序列、实指数序列 Real-valued exponential sequence 000)()(nnanuanxnnv 当当|a|1时时，序列发散。序列发散。v 当当|a| 1时，序列收敛。时，序列收敛。v 当当|a| 1，且且a0时，序列是摇动的时，序列是摇动的 v5、正弦序列、正弦序列 -Sinusoidal sequence 00 ncos)n(x,nsin)n(x 正弦序列的由来正弦序列的由来v对连续时间正弦信号取样

21、可以得到正弦序列。对连续时间正弦信号取样可以得到正弦序列。 tsin0 v取取 样样nTt 00 nsinnTsinT00 v其中，其中， ，T T是取样间隔是取样间隔( (取样周期取样周期) )。v 0 0称为数字域频率，称为数字域频率， 0 0称为模拟域频率。称为模拟域频率。 数字域频率和模拟域频率数字域频率和模拟域频率v 数字域频率是模拟域频率的数字域频率是模拟域频率的T T倍，以后我们就以倍，以后我们就以 表示数表示数 字域频率，字域频率， 表示模拟域频率（表示模拟域频率（ 也也表示模拟域角频率表示模拟域角频率 ， 2 2 f f，f f表示模拟域线频率）。表示模拟域线频率）。 v 当

22、序列是周期的时，表示正弦序列的序列值重复变化的当序列是周期的时，表示正弦序列的序列值重复变化的 快慢。快慢。 例：例： 0.010.01 ，则序列值每，则序列值每200200个重复一次正弦循环个重复一次正弦循环 0.10.1 ，则序列值每，则序列值每2020个重复一次正弦循环个重复一次正弦循环 v 的量纲为弧的量纲为弧/ /秒，秒， 的量纲为弧。的量纲为弧。v5 5、复指数序列、复指数序列 Complex-valued exponential sequencensinjncose)n(xnj v 当当 0时，时，|x(n)|=1，arg|x(n)|= n 。v 复指数序列复指数序列ej n 作

23、为序列分解的基单元，作为序列分解的基单元， 在序列的傅里叶分析中起着重要的作用。在序列的傅里叶分析中起着重要的作用。 五、五、序列的周期性序列的周期性 1 1、定义、定义v 如果对于所有如果对于所有n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，使得使得： x(n) = x(n+N)成立，则称成立，则称x(n)为周期序列，周期为为周期序列，周期为N。 2 2、正弦序列的周期性、正弦序列的周期性 v正弦信号：正弦信号：)nsin(A)n(x 0sin)sin()(000 nNANnANnxv 若若 N 02k ，当当k为整数时为整数时(即即N 0为为2 的整数的整数倍倍)，则有：，则有：x(n)=

24、x(n+N)，x(n)为周期信号。为周期信号。 观察观察 N 02k ： (即即 )kN 02v(1) 当当 2 / 0 为整数时：为整数时：v k=1，则则N= 2 / 0 为最小整数，且保证为最小整数，且保证x(n)=x(n+N)。v(2) 当当 2 / 0 为有理数时为有理数时(有理数可表示成分数有理数可表示成分数)：kN 02v 若若N、k互素互素，则此时，则此时N取得最小整数，使取得最小整数，使x(n)=x(n+N)。v(3) 当当 2 / 0 为无理数时：为无理数时：v 任何任何k都不能使都不能使N为整数，此时为整数，此时x(n)不是周期性的。不是周期性的。v 注：此时注：此时k1

25、。3 3、讨论、讨论 一个正弦序列若由一个连续正弦信号抽样而得，那么抽一个正弦序列若由一个连续正弦信号抽样而得，那么抽样时间间隔样时间间隔 T T 和连续正弦信号的周期和连续正弦信号的周期 T T0 0 之间应该是之间应该是什么关什么关系系才能使所得到的才能使所得到的抽样序列仍为周期序列抽样序列仍为周期序列？ 设连续正弦信号为设连续正弦信号为x(t)x(t)： )sin()(0 tAtx 连续信号连续信号x(t)x(t)的角频率为的角频率为002 f 连续信号连续信号x(t)x(t)的周期为的周期为00021 fT若对若对x(t)x(t)抽样，设抽样时间间隔为抽样，设抽样时间间隔为T T，有：

26、有： )sin(| )()(0 nTAtxnxnTt若令若令 0 0为数字频率，它满足：为数字频率，它满足：00000221TTfffTss 其中其中f fs s是抽样频率，是抽样频率， 0 0是相对频率，是连续信号角频是相对频率，是连续信号角频率率 0 0相对抽样频率相对抽样频率f fs s的频率。的频率。)sin(| )()(0 nTAtxnxnTt)sin(0 nA在分析一个序列的周期性时，是通过分析在分析一个序列的周期性时，是通过分析2 2 / / 0 0的值来实现的。的值来实现的。v(1) (1) 当当 2 2 / / 0 0 为整数时：为整数时：TTT00022 v说明说明: :连

27、续正弦信号连续正弦信号x(t)x(t)的周期的周期T T0 0是抽样间隔的整数倍，是抽样间隔的整数倍，或或 者说，是在者说，是在一个一个连续信号的周期连续信号的周期T T0 0内内以以T T为采样间隔为采样间隔 采样了采样了N N个点个点。NTT 002v(2) (2) 当当 2 2 / / 0 0 为有理数时：为有理数时：KNTT 0020KTNT v说明说明: : 在在K K个个连续正弦信号连续正弦信号x(t)x(t)的周期的周期T T0 0内内以以T T为采样间隔为采样间隔 采样了采样了N N个点个点。v例如：序列例如：序列)73sin()(nnx vx(n)x(n)的周期是的周期是14

28、14，在，在3 3个连续信号周期个连续信号周期T T0 0内采样了内采样了1414个点个点。314200 TTKN1.2 1.2 离散时间系统离散时间系统离散时间系统离散时间系统T(T(运算运算) )vx(x(n)n)v输入序输入序列列vy(y(n)n)v输出序输出序列列一、一、线性系统线性系统v 概念概念：满足叠加原理的系统为线性系统。满足叠加原理的系统为线性系统。v (1) (1)可加性可加性v 设设y y1 1(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)(n)，y y2 2(n)=Tx(n)=Tx2 2(n)(n)v 如果如果y y1 1(n)+y(n)+y2 2(n)=Tx(n)=Tx1 1(

29、n)+Tx(n)+Tx2 2(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)+ x(n)+ x2 2(n)(n)v 说明系统说明系统TT满足可加性。满足可加性。v(2)(2)比例性比例性( (齐次性齐次性) )v 设设y y1 1(n)=Tx(n)=Tx1 1(n)(n)v 如果如果 a a1 1y y1 1(n) = a(n) = a1 1TxTx1 1(n) =Ta(n) =Ta1 1x x1 1(n)(n)v 说明系统说明系统TT满足比例性或齐次性。满足比例性或齐次性。v综合综合(1)(1)、(2)(2)，得到叠加原理的一般表达式：，得到叠加原理的一般表达式： NiiiNiiinxaTnya11)(

30、)(v说明：说明：v(1)(1)叠加原理的一个直接结果是叠加原理的一个直接结果是零输入产生零输出零输入产生零输出。v(2)(2)在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既在证明一个系统是否为线性系统时，应证明系统既 满足满足可加性可加性，又满足，又满足比例性比例性。v例：验证下面的系统是否为线性系统：例：验证下面的系统是否为线性系统：y(n)=4x(n)+6y(n)=4x(n)+6v方法一：验证系统是否满足叠加原理。方法一：验证系统是否满足叠加原理。 可加性分析：可加性分析：若：若：x x1 1(n)= 3(n)= 3，则：则：y y1 1(n)=4(n)=4 3+6=183+6=18 x

31、x2 2(n)= 4(n)= 4，则：则：y y2 2(n)=4(n)=4 4+6=224+6=22而：而：x x3 3(n)= x(n)= x1 1(n)+x(n)+x2 2(n)=7 (n)=7 ，有：有：y y3 3(n)=4(n)=4 7+6=34407+6=3440得到：得到：y y1 1(n)+ y(n)+ y2 2(n)=18+22=40(n)=18+22=40得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。得证：由于该系统不满足可加性，故其不是线性系统。v方法二：利用线性系统的方法二：利用线性系统的“零输入产生零输出零输入产生零输出”的特性验证的特性验证。 因为当因为当x(n)

32、=0 x(n)=0时，时，y(n)=60y(n)=60，这不满足线性系统的这不满足线性系统的“零零输入产生零输出输入产生零输出”的特性，因此它不是线性系统。的特性，因此它不是线性系统。 n=0:19; T=0.05;x1=sin(2*pi*n*T);x2=sin(4*pi*n*T);x3=x1+x2;subplot(331)stem(n,x1);title(x1);subplot(334)stem(n,x2);title(x2);subplot(337)stem(n,x3);title(x3); y1=-0.5*x1;y2=-0.5*x2;y3=-0.5*x3;subplot(332)stem

33、(n,x1);title(y1);subplot(335)stem(n,x2);title(y2);subplot(338)stem(n,x3);title(y3); f1=fft(y1);f2=fft(y2);f3=fft(y3);subplot(333);stem(n,abs(f1);title(Y1);subplot(336);stem(n,abs(f2);title(Y2);subplot(339);stem(n,abs(f3);title(Y3);01020-101x101020-101x201020-202x301020-0.500.5y101020-0.500.5y201020-

34、101y3010200246Y10102005Y20102005Y3 n=0:19; T=0.05;x1=sin(2*pi*n*T);x2=sin(4*pi*n*T);x3=x1+x2;subplot(331)stem(n,x1);title(x1);subplot(334)stem(n,x2);title(x2);subplot(337)stem(n,x3);title(x3); y1=x1.*x1;y2=x2.*x2;y3=x3.*x3;subplot(332)stem(n,x1);title(y1);subplot(335)stem(n,x2);title(y2);subplot(338

35、)stem(n,x3);title(y3); f1=fft(y1);f2=fft(y2);f3=fft(y3);subplot(333);stem(n,abs(f1);title(Y1);subplot(336);stem(n,abs(f2);title(Y2);subplot(339);stem(n,abs(f3);title(Y3);01020-101x101020-101x201020-202x30102000.51y10102000.51y201020024y3010200510Y1010200510Y20102001020Y3二、二、时不变系统时不变系统( (移不变系统移不变系统)

36、)v 概念概念：若系统的若系统的响应响应与与激励加于系统的时刻激励加于系统的时刻无关无关，则，则该该 系统为时不变或移不变系统。系统为时不变或移不变系统。v 即即：若有：若有y(n)=Tx(n)y(n)=Tx(n)，则则y(n-m)=Tx(n-m)y(n-m)=Tx(n-m)成立。成立。v例：证例：证y(n)=4x(n)+6y(n)=4x(n)+6是移不变系统。是移不变系统。v证：证：y(n-m)=4x(n-m)+6y(n-m)=4x(n-m)+6 Tx(n-m)=4x(n-m)+6 Tx(n-m)=4x(n-m)+6 y(n-m)=Tx(n-m) y(n-m)=Tx(n-m) 该系统是移不变

37、系统该系统是移不变系统v说明：乍一看该例，似乎说明：乍一看该例，似乎y(n-m)y(n-m)和和Tx(n-m)Tx(n-m)很容易就得很容易就得 到了一样的结果，而实际上它们是通过到了一样的结果，而实际上它们是通过不同的途不同的途 径径得到的。得到的。y(n-m)y(n-m)是将是将y(n)=4x(n)+6y(n)=4x(n)+6表达式中的所表达式中的所 有出现有出现n n的地方用的地方用n-mn-m去替换；而去替换；而Tx(n-m)Tx(n-m)是将所是将所 有有x x函数的函数的自变量自变量替换为替换为自变量自变量- -m m。v例：验证以下两个系统的移不变特性。例：验证以下两个系统的移不

38、变特性。v(1)(1) nmmxny)()( nmkmxknxT)()( knmknmmxmxkmm)() (令令 knmmxkny)()(v因为因为y(n-k)y(n-k)与与Tx(n-k)Tx(n-k)相同，所以该系统是移不变系统相同，所以该系统是移不变系统。v说明：在该例题中可以清楚地看到，说明：在该例题中可以清楚地看到，y(n-k)y(n-k)和和Tx(n-k)Tx(n-k)是是 从两条不同的途径得到了相同的结果。从两条不同的途径得到了相同的结果。 m=m-km=m-k，m m从从- - n n m m应从应从- - - -k kn-kn-k由于由于- - 是很大很大的，是很大很大的，

39、所以所以- - - -k k就相当于就相当于- - v(2)(2) nmmxny0)()( nmkmxknxT0)()( knkmknkmmxmxkmm)() (令令 knmmxkny0)()(v因为因为y(n-k)y(n-k)与与Tx(n-k)Tx(n-k)不相同，所以该系统不是移不变系统不相同，所以该系统不是移不变系统。v说明：从上面两个类似的例题中，我们除了知道移不变系统说明：从上面两个类似的例题中，我们除了知道移不变系统的的 证明方法外，还可以学习到一些基本的换元方法。证明方法外，还可以学习到一些基本的换元方法。 m=m-km=m-k，m m从从0 0n n m m应从应从- -k k

40、n-kn-kv例：验证系统例：验证系统y(n)=nx(n)y(n)=nx(n)的移不变特性。的移不变特性。v法一：用概念法一：用概念vTx(n-k)=nx(n-k)Tx(n-k)=nx(n-k)vy(n-k)=(n-k)x(n-k)y(n-k)=(n-k)x(n-k)v因为因为y(n-k)y(n-k)与与Tx(n-k)Tx(n-k)不同不同，故不是移不变系统。故不是移不变系统。v法二：找反例法二：找反例v设：设：x x1 1(n)=(n)= ( (n)n)，则则TxTx1 1(n)=n(n)=n ( (n)=0n)=0v x x2 2(n)=(n)= ( (n-1)n-1)，则则TxTx2 2

41、(n)(n) =n=n ( (n-1)= n-1)= ( (n-1)n-1)v 可以看出，当输入移位可以看出，当输入移位 ( (n)n) ( (n-1)n-1) 时，输出并不时，输出并不是是也移位了，而是也移位了，而是 0 0 ( (n-1)n-1) ，故不是移不变系统。，故不是移不变系统。三、三、单位抽样单位抽样( (冲激冲激) )响应响应h(n)h(n)v 概念概念：同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为LSILSI系统系统。 LSI(Linear Shift Invariant)SystemLSI(Linear Shift Invariant)S

42、ystem 线性移不变离散时间系统线性移不变离散时间系统v 单位抽样单位抽样( (冲激冲激) )响应响应h(n)h(n)： 当输入为当输入为 ( (n)n)时，系统的输出用时，系统的输出用h(n)h(n)表示。表示。 h(n)=Th(n)=T ( (n)n)v 卷积卷积： 当一个系统是当一个系统是LSILSI系统时，它的输出系统时，它的输出y(n)y(n)可以用输入可以用输入x(n)x(n)与与 单位抽样响应单位抽样响应h(n)h(n)的卷积来表示。的卷积来表示。 y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n)h(n)v 证明证明：在前面我们学过，任一序列：在前面我们学过，任一序列x(n)

43、x(n)可以写成：可以写成： mmnmxnx)()()(v系统的输出为：系统的输出为： mmnmxTny)()()( )()(mnTmxm 利利用用线线性性的的特特性性)()(mnhmxm 利利用用移移不不变变的的特特性性)()(nhnx v 说明说明：注意在证明：注意在证明y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n)h(n)的过程中用到了线性和移的过程中用到了线性和移不不 变的特性，这说明只有变的特性，这说明只有LSILSI系统才有上式。系统才有上式。四、四、线性移不变系统的性质线性移不变系统的性质v 1 1、交换律、交换律vy(n) = x(n)y(n) = x(n)* *h(n)

44、= h(n)h(n) = h(n)* *x(n)x(n)h(n)h(n)vx(x(n)n)vy(y(n)n)x(n)x(n)vh(h(n)n)vy(y(n)n)v等效等效于于v 2 2、结合律、结合律vx(n)x(n)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n) (n) = x(n)= x(n)* *h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)= x(n)= x(n)* *h h2 2(n)(n)* *h h1 1(n) (n) = x(n)= x(n)* *hh1 1(n)(n)* *h h2 2(n) (n) h h1 1(n)(n)vx(x(n)n)vy(y(n)n)

45、h h2 2(n)(n)h h2 2(n)(n)vx(x(n)n)vy(y(n)n)h h1 1(n)(n)h h1 1(n)(n)* *h h2 2(n)(n)vx(x(n)n)vy(y(n)n)v三者等三者等效效v 3 3、分配律、分配律vx(n)x(n)* *hh1 1(n)+h(n)+h2 2(n) = x(n)(n) = x(n)* *h h1 1(n)+x(n)(n)+x(n)* *h h2 2(n)(n)h h1 1(n)+h(n)+h2 2(n)(n)vx(x(n)n)vy(y(n)n)v两者等两者等效效h h1 1(n)(n)vx(x(n)n)vy(y(n)n)h h2 2(

46、n)(n)v例：例：x(n)=u(n)x(n)=u(n)，h h1 1(n)=(n)= ( (n)-n)- ( (n-4)n-4)，h h2 2(n)=a(n)=an nu(n)u(n)，求：求： y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h h1 1(n)(n)* * h h2 2(n)(n)v 解：解：)()4()()4()()4()()()()()()()(4011nRnunumnmnmnmnmumnhmxnhnxnwmmm )3()2()1()()3()2()1()()(*)3()2()1()()(*)4()()(*)()()()(321222222242 nuanuanuanuanh

47、nhnhnhnhnnnnnhnununhnRnhnwnynnnnv 结果：结果：v 0 0 n0 n0 1 1 n=0 n=0 y(n)= 1+a y(n)= 1+a n=1 n=1 1+a+a 1+a+a2 2 n=2 n=2 a an n+a+an-1n-1+a+an-2n-2+a+an-3n-3 n3 n3v 说明：说明： 0000)()()()()()()(mmmnmnnnumnnumnmxnx1)()()()()(*)(00000 nmnnnmnnxnmnmxnnnxm时时，因因为为只只有有当当五、五、因果系统因果系统v1 1、定义、定义 因果系统是指：因果系统是指：某时刻的输出只取

48、决于此时刻和此时刻以前某时刻的输出只取决于此时刻和此时刻以前 的输入的系统。的输入的系统。v即：即：n=nn=n0 0时的输出时的输出y(ny(n0 0) )只取决于只取决于nnnn0 0的输入的输入x(n)|x(n)|nn0nn0的的系系 统为因果系统，否则为非因果系统。统为因果系统，否则为非因果系统。v例：判断下面的系统是否为因果系统。例：判断下面的系统是否为因果系统。v(1) (1) y(n)=nx(n)y(n)=nx(n)v是是v(2) (2) y(n)=x(n+2)+ax(n)y(n)=x(n+2)+ax(n)v不是不是v(3) (3) y(n)=x(ny(n)=x(n3 3) )v

49、不是不是v(4) (4) y(n)=x(-n)y(n)=x(-n)v不是不是v(5) (5) y(n)=x(n)sin(n+2)y(n)=x(n)sin(n+2)v是是v2 2、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是：、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是： h(n)=0h(n)=0，n0n0v证：充分条件证：充分条件v若若n0n0时，时，h(n)=0h(n)=0，有：有： 0)()()()()()()()(00nmnmmmnhmxnymnhmxmnhmxnyv 从上式看出，从上式看出，y(ny(n0 0) )只与只与m nm n0 0时刻的时刻的x(m)x(m)有关有关，这满足因果系统

50、的定义，这满足因果系统的定义我们将我们将n0n0，x(n)=0 x(n)=0的的序列称为因果序列序列称为因果序列n-m0,h(n)0n-m0,h(n)0 m=nm=nv 必要条件必要条件( (反证法反证法) )v 若已知一系统是因果系统，但当若已知一系统是因果系统，但当n0nn mn 时的一个时的一个x(m)x(m)值有关，而这又与设定的值有关，而这又与设定的另一个条件：因果系统相矛盾，所以说明设定条件有误。另一个条件：因果系统相矛盾，所以说明设定条件有误。mnmnn-m0n-m0mnmnn-m0n-m0v 注意：当利用该性质验证一个系统为因果系统时，应首先注意：当利用该性质验证一个系统为因果

51、系统时，应首先 确定系统是确定系统是LSILSI系统，并求出其单位冲激响应系统，并求出其单位冲激响应h(n)h(n)。六、六、稳定系统稳定系统v1 1、定义、定义 稳定系统是指：稳定系统是指：有界输入产生有界输出的系统。有界输入产生有界输出的系统。 即：即： 如果如果| |x(n)|x(n)|M ，则有：则有： | |y(n)|y(n)|P 。v2 2、一个、一个LSILSI系统是稳定系统的充分必要条件是：系统是稳定系统的充分必要条件是：单位抽样响单位抽样响应应 绝对可和。绝对可和。 qnhn)(v证明：充分条件：证明：充分条件：v若若| |h(n)|h(n)|q ，且且| |x(n)|x(n

52、)|M 则则y(n)y(n)为：为： MqkhMmnhMmnhmxmnhmxnynknmnmm)()()()()()()(v即证：若即证：若| |h(n)|h(n)|q ，且且| |x(n)|x(n)|M ，存在：存在： | |y(n)|y(n)| ， 即该即该LSILSI系统确实为稳定系统。系统确实为稳定系统。只有只有LSILSI系统才有系统才有y(n)=x(n)y(n)=x(n)* *h(n)h(n)v 必要条件：必要条件：( (反证法反证法) )v已知一已知一LSILSI稳定系统，设存在：稳定系统，设存在： mmh)(v我们可以找到一个我们可以找到一个有界的输入有界的输入x(n)x(n)

53、： 0)(10)(1)(nhnhnx mmmmhmhmhmxy)()()0()()0(v y(n) y(n)在在n=0n=0时为时为 ，即得到即得到无无界的输出界的输出y(n)y(n)，而这不符而这不符合稳定系统的假设，所以说明上面的假设不成立，故得证。合稳定系统的假设，所以说明上面的假设不成立，故得证。v3 3、证明一个系统是否稳定的方法：、证明一个系统是否稳定的方法：v 若若LSILSI系统的系统的h(n)h(n)已直接给出，或间接求出，则可以用已直接给出，或间接求出，则可以用 h(n)h(n)是否绝对可和是否绝对可和来证明系统的稳定性。来证明系统的稳定性。v 若系统是以若系统是以 y(n

54、)=Tx(n) y(n)=Tx(n) 的形式给出的，则应该直的形式给出的，则应该直接接 利用稳定系统的定义：利用稳定系统的定义：有界输入得到有界输出有界输入得到有界输出来证明。来证明。v 有时可利用有时可利用反证法反证法，只要找到一个有界的输入，只要找到一个有界的输入x(n)x(n)，若若 能得到无界的输出，则该系统肯定不稳定。能得到无界的输出，则该系统肯定不稳定。v例：验证系统例：验证系统 y(n)=nx(n)y(n)=nx(n)的稳定性。的稳定性。v反证：当反证：当x(n)=1x(n)=1时，时，y(n)=ny(n)=n，当当 nn ，y(n)y(n) ，此时此时， y(n)y(n)无界，

55、故系统不稳定。无界，故系统不稳定。v例：验证系统例：验证系统 y(n)=ay(n)=ax(n)x(n) 的稳定性。的稳定性。v证：设证：设x(n)x(n)有界，有界，| |x(n)|Ax(n)|Av - -A |x(n)| AA |x(n)| Av a a- -A |y(n)| a |y(n)| aAv 当当x(n)x(n)有界时，有界时，y(n)y(n)也有界，故为稳定系统。也有界，故为稳定系统。v例：一个例：一个LSILSI系统的系统的 h(n)=ah(n)=an nu(n)u(n)，讨论其因果性和稳定性讨论其因果性和稳定性。v 因果性：因果性：v因为：当因为：当n0n0时，时，h(n)=

56、0h(n)=0，所以该系统为因果系统。所以该系统为因果系统。v 稳定性：稳定性： 1111)(0aaaanhnnnv当当| |a|1a|1时系统稳定，当时系统稳定，当| |a|1a|1时系统不稳定。时系统不稳定。v例：一个例：一个LSILSI系统的系统的 h(n)=-ah(n)=-an nu(-n-1)u(-n-1)，讨论其因果性和稳定性讨论其因果性和稳定性。v 因果性：因果性：v因为：当因为：当n0n1a|1时系统稳定，当时系统稳定，当| |a|1a|1时系统不稳定。时系统不稳定。 1111111aaaaa1.3 1.3 常系数线性差分方程常系数线性差分方程v1 1、形式：、形式： MmmN

57、kkmnxbknya00)()(v常系数常系数：是指方程中：是指方程中a a1 1、a a2 2、 a an n和和b b1 1、b b2 2、 b bm m为常数为常数。v阶数阶数： y(n)y(n)项中变量序号的最高值与最低值之差。项中变量序号的最高值与最低值之差。v线性线性： y(n-k)y(n-k)与与x(n-m)x(n-m)项都只有一次幂，且不存在相乘项项都只有一次幂，且不存在相乘项。该该“线性线性”与线性系统的与线性系统的“线性线性”含义不含义不同同线性常系数差分方程线性常系数差分方程一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：（1.3.1） )()()(10inyainxbnyNiiM

58、ii式中，式中，x(n)和和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，分别是系统的输入序列和输出序列，ai和和bi均为常数，式中均为常数，式中y(ni)和和x(ni)项只有一次幂，也没有项只有一次幂，也没有相互交叉相乘项，故称为线性常系数差分方程。差分方程相互交叉相乘项，故称为线性常系数差分方程。差分方程的阶数是用方程的阶数是用方程y(ni)项中项中i的取值最大与最小之差确定的。的取值最大与最小之差确定的。在（在（1.3.2）式中，）式中，y(ni)项项i最大的取值为最大的取值为N，i的最小的取的最小的取值为零，因此称为值为零，因此称为N阶的差分方程。阶的差分方程。（1.3.2） 或者1 )()

59、(000ainxbinyaMiiNiiv2 2、常系数差分方程的求解：、常系数差分方程的求解：v 经典解法：经典解法：类似于模拟系统求解微分方程的方法，要类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求求 齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。 由于计算复杂，较少使用。由于计算复杂，较少使用。v 递推递推( (迭代迭代) )法：法：简单、适于用计算机进行求解。但只简单、适于用计算机进行求解。但只能能 得到一系列数值解，不易得到封闭式得到一系列数值解，不易得到封闭式( (公公 式式) )解答。解答。v 变换域法：变换域法：将差分方程变换到将差分方程变换到z z域求解。

60、域求解。v 卷积法：卷积法：由差分方程求出系统的由差分方程求出系统的h(n)h(n)，再与已知的再与已知的x(n)x(n) 进行卷积，得到进行卷积，得到y(n)y(n)。v例：用迭代法求解差分方程例：用迭代法求解差分方程求单位抽样响应求单位抽样响应h(n)h(n) 设系统差分方程为：设系统差分方程为：y(n)-ay(n-1)=x(n)y(n)-ay(n-1)=x(n)，求求h(n)h(n)。v h(0) = ah(-1)+ h(0) = ah(-1)+ (0) = 0+1 = 1(0) = 0+1 = 1v h(1) = ah(0)+ h(1) = ah(0)+ (1) = a+0 = a(1