相似矩阵与矩阵对角化

1、 一、一、相似矩阵与相似变换的概念相似矩阵与相似变换的概念 二、二、相似矩阵与相似变换的性质相似矩阵与相似变换的性质 三、三、方阵可对角化的条件方阵可对角化的条件., , 11相相似似与与或或说说矩矩阵阵的的相相似似矩矩阵阵是是则则称称使使若若有有可可逆逆矩矩阵阵阶阶矩矩阵阵都都是是设设定定义义BAABBPAPPnBA .,1换换矩矩阵阵的的相相似似变变变变成成称称为为把把可可逆逆矩矩阵阵相相似似变变换换进进行行称称为为对对进进行行运运算算对对BAPAAPPA 记作记作AB.1. 等价关系等价关系 . 22111211PAPPAPPAAP ., . 3为为正正整整数数相相似似与与则则相相似似与

2、与若若mBABAmm.本本身身相相似似与与AA.,相相似似与与则则相相似似与与若若ABBA.,相似相似与与则则相似相似与与相似相似与与若若CACBBA反反身身性性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3( PAPkPAPkPAkAkP21211122111. 4 .,21是是任任意意常常数数其其中中kk5. 若若AB,则则 |A| = |B|.6. 若若AB,则则A与与B同时可逆或同时不可逆同时可逆或同时不可逆;当可逆时当可逆时,有有 A-1B-1.)()(,)(,. 7 相相似似与与则则是是一一多多项项式式而而相相似似与与若若BfAfxfBA., 1的的特特征征值值亦亦相相同同与与从从而而式

3、式相相同同的的特特征征多多项项与与则则相相似似与与阶阶矩矩阵阵若若定定理理BABABAn证明证明相相似似与与BABAPPP 1,使得使得可逆阵可逆阵 PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA 注意注意: 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立,即有相同特征多项式即有相同特征多项式的矩阵不一定相似的矩阵不一定相似. 例如例如:.10011011 EA和和推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵n n 21.,21个个特特征征值值的的即即是是则则相相似似nAn 利用对角矩阵计算矩阵多项式利用对角矩阵计算矩阵多项式,1PPBA 若若PPEaPPBaPBPaPBPannnn1

4、1111110 Ak的多项式的多项式AEaAaAaAaAnnnn 1110)( .)(1PBP .1PBPk 则则PEaBaBaBaPnnnn11110)( PPB1 PPB1 PPB1 PPB1 k个个,1为为对对角角矩矩阵阵使使若若可可逆逆矩矩阵阵特特别别地地 APPP, 1PPAkk 则则.)()(1PPA 有有对于对角矩阵对于对角矩阵, ,21 knkkk,)()()()(111 利用上利用上述结论可以述结论可以很方便地计很方便地计算矩阵算矩阵A 的的多项式多项式 .)(A .)(,)(OAfAf 则则的的特特征征多多项项式式是是矩矩阵阵设设 定理定理证明证明.与对角矩阵相似的情形与对

5、角矩阵相似的情形只证明只证明A使使则有可逆矩阵则有可逆矩阵与对角矩阵相似与对角矩阵相似若若,PA),(11 ndiagAPP . 0)(, iifA的特征值的特征值为为其中其中有有由由,1PPA )(Af.1OPPO PPf1)( PffPn11)()( ., 1可对角化可对角化则称方阵则称方阵为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn 证明证明,1为为对对角角阵阵使使假假设设存存在在可可逆逆阵阵 APPP .,21npppPP 用用其其列列向向量量表表示示为为把把.)( 2个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有的的充充分分必必要要条条件件是是能能

6、对对角角化化即即与与对对角角矩矩阵阵相相似似阶阶矩矩阵阵定定理理nAAAn nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nipApiii 于于是是有有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命题得证命题得证., PAPPnnnA使使阵阵个特征向量即可构成矩个特征向量即可构成矩这这个特征向量个特征向量得得并可对应地求并可对应地求个

7、特征值个特征值恰好有恰好有由于由于反之反之说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论推论nAAn如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量， 还是能对角化还是能对角化AAnnA.)( 3个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量恰恰有有重重特特征征值值的的特特征征方方程程的的的的充充分分必必要要条条件件是是对对应应能能对对角角化化即即与与对

8、对角角矩矩阵阵相相似似阶阶矩矩阵阵定定理理kkAAAn例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得 得得方方程程组组代代入入将将, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,10221 , 0, 73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,321线性无关线性无关所以所以 .,3 化化可可对对角角因因而

9、而个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有即即AA,同理同理 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的的特特征征值值为为所所以以A , 01 xEA 代代入入把把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A 得得方方程程组组代代入入将将0121 xEA 06306

10、3063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线线性性无无关关由由于于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A你能求你能求A100吗吗?注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P,00111100 xA设设问问x为何值时为何值时,矩阵矩阵A可对角化可对角化?,111111111 A.00100100 nB.,是是否否相相似似判判断断下下列列两两矩矩阵阵BA. 0,)( )()det( 211 nnnAnEA的的特特征征值值为为因因解解使使得得矩矩阵阵存存在在可可逆逆是是实实对对称称矩矩阵阵又又, 1PA),0 , 0 ,(111ndiagPAP