建筑力学之材料力学第2章(华南理工)

1、第第2章章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2-1 轴向拉伸、压缩及工程实例轴向拉伸、压缩及工程实例 B C 起重机吊装重物起重机吊装重物 2-2 轴力和轴力图轴力和轴力图 mmNF=0:xF N=FFNF=0:xF N=FFABCFF2Fabl mmnnABF2FF当杆受多个力作用时当杆受多个力作用时: FN FN Fx=0, FN=F Fx=0, FN+2FF=0 FN=F x y F F FN图图 例例2-1 求图示杆各段内截面上的轴力。求图示杆各段内截面上的轴力。 FN Fx=0, 2kNFN=0 FN=2kN(压压) FN Fx=0, 2kN3kNFN=0 FN=1kN(拉拉) FN

2、Fx=0, 2kN3kN+4kNFN=0 FN=3kN(压压) FN FN=3kN(压压) 2kN 3kN 1kN 基线基线 FN图图 2-3 横截面上的应力横截面上的应力 ABl 由实验可观察到由实验可观察到: 变形前变形前 的两条轮廓线变形后相对地位的两条轮廓线变形后相对地位 移了移了l, 但仍为平面曲线但仍为平面曲线,且其且其 所在的平面仍垂直于杆轴。所在的平面仍垂直于杆轴。 平面假设平面假设: 变形前原是平变形前原是平 面的截面面的截面, 在变形后仍然是平面在变形后仍然是平面(只是相对地位移了一段距离只是相对地位移了一段距离)。 根据材料均匀性假设根据材料均匀性假设, 变形相同时变形相

3、同时, 受力也相同受力也相同, 因此在截面因此在截面 的周界上的周界上, 内力的大小是相同的。内力的大小是相同的。 将这一结论推广到杆件内部将这一结论推广到杆件内部, 即可得到即可得到, 横截面上所有各点受力横截面上所有各点受力 均相等均相等, 即内力是均匀分布在横截即内力是均匀分布在横截 面上面上, 其集度为其集度为: N=FA N=FA 例例2-2 求截面求截面1-1和和2-2上的应力。上的应力。 解解: 求截面求截面1-1和和2-2的轴力的轴力. N1F截面截面1-1: Fx=0, FN1+F+P1=0 FN1=15kN2.5kN=17.5kN(压压) 截面截面2-2: N2FFx=0,

4、 FN2+F+P1+P2=0 FN2=15kN2.5kN10kN=27.5kN(压压) 求截面求截面1-1和截面和截面2-2的应力的应力. 截面截面1-1: 3N11117.5 10 N=0.438MPa0.2m0.2mFA 截面截面2-2: 3N22227.5 10 N=0.172MPa0.4m0.4mFA 例例2-3 试分析钻杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布试分析钻杆由自重引起的横截面上的应力沿杆长的分布 规律。规律。 N=FA 解解: 用截面法在距自由端为用截面法在距自由端为x的截面处将杆截开的截面处将杆截开, 取下段为脱取下段为脱 离体离体, 设设P(x)为该段杆的重量为该段杆

5、的重量, 则则: ( )=P xA gx 设设F(x)代表截开截面处的轴力代表截开截面处的轴力, 则由平衡条件则由平衡条件, 得得: ( )= ( )=F xP xA gx 可见可见, 当当x=0时时, FN(0)=0 求截面的应力求截面的应力: N( )( )=FxxgxA( )P xN( )FxxN( )FxAlg FN图图 nn当当x=l 时时, NNmax( )=FlFA gl 可见可见, 当当x=0时时, (0)=0 当当x=l时时, max( )=lgl2-4 斜截面上的应力斜截面上的应力 F F mmnn 斜截面上的应力斜截面上的应力: N=FpA =cosAA N=cosFpA

6、 =cosp 通常将应力分解为垂直于通常将应力分解为垂直于 斜截面的正应力和平行于斜截斜截面的正应力和平行于斜截 面的切应力面的切应力: =cos=sinpp 2=cos1=sin22 0max=()= max4=()=2 p NFp 例例2-4 两块钢板由斜焊缝焊接成整体两块钢板由斜焊缝焊接成整体, 受拉力受拉力F作用作用. 已知已知: F=20kN, b=200mm, t=10mm, =30o. 求斜焊缝求斜焊缝内的应力。内的应力。 解解: 先求横截面上的正应力先求横截面上的正应力. 2=cos1=sin22 3N6220 10 N=10MPa200 10 10 mFFAb t 求斜截面求

7、斜截面(斜焊缝内斜焊缝内)的应力的应力: 230=10MPa cos 30 =7.5MPa 301=10MPa sin 2 30=4.33MPa2 2-5 拉、压杆的变形拉、压杆的变形 实验表明实验表明, 杆件在轴向拉力或压力的作用下杆件在轴向拉力或压力的作用下, 沿轴线方向将发沿轴线方向将发 生伸长或缩短生伸长或缩短, 同时同时, 横向横向(与轴线垂直的方向与轴线垂直的方向)必发生缩短或伸长必发生缩短或伸长. 1d1l1d1l1=l ll长度改变量长度改变量: 1=d dd直径改变量直径改变量: 轴向线应变轴向线应变: =ll 横向线应变横向线应变: =dd 在弹性变形范围内在弹性变形范围内

8、: =FllEA 以内力以内力FN换换F, 即即: N=F llEA N=,=FllA =,=EE 胡克定律胡克定律: N=F llEA =ll N=F llEA =ll 例例2-5 已知钢杆的弹性模量已知钢杆的弹性模量E=210GPa, 求求: 每段的伸长每段的伸长; 每段的线应变每段的线应变; 全杆总伸长。全杆总伸长。 NABFNBCF解解: 先求各段轴力先求各段轴力, 作轴力图作轴力图. NAB=0,=8kNxFF NAB=0,=8kN+2kN=10kNxFF FN 各段的伸长各段的伸长: NAB ABAB=FllEA 92628000N2m=1210 10 Pa810 m4 =0.00

9、152mNBC BCBC=FllEA 926210000N3m=1210 10 Pa810 m4 =0.00284mAB=0.00152ml BC=0.00152ml N=F llEA =ll 例例2-5 已知钢杆的弹性模量已知钢杆的弹性模量E=210GPa, 求求: 每段的伸长每段的伸长; 每段的线应变每段的线应变; 全杆总伸长。全杆总伸长。 解解: 先求各段轴力先求各段轴力, 作轴力图作轴力图. NAB=0,=8kNxFF NAB=0,=8kN+2kN=10kNxFF NABFNBCFFN AB=0.00152ml BC=0.00152ml 各段的线应变各段的线应变: 4ABABAB0.0

10、0152m=7.6 102mll 4BCBCBC0.00284m=9.47 103mll 全杆总伸长全杆总伸长: ACABBC=+=0.00152m+0.00284m=4.36mmlll 例例2-6 等截面直杆等截面直杆, 长长l, 截面积截面积A, 材料密度材料密度。试求整个杆件试求整个杆件 由自重所引起的伸长由自重所引起的伸长l。 N=F llEA 等截面直杆自重所引起的伸长等于把自重当作集等截面直杆自重所引起的伸长等于把自重当作集 中荷载作用在杆端所引起的伸长的二分之一。中荷载作用在杆端所引起的伸长的二分之一。 N( )FxdPN( )+dFxP 解解: 在自重作用下在自重作用下, 不同

11、截面上的不同截面上的 轴力是变量轴力是变量, 所以不能直接应用公式所以不能直接应用公式 计算计算, 而取一微段杆来考虑而取一微段杆来考虑. N( )=AFxgx 微段以下杆自重微段以下杆自重: d =dPx Ag 微段的自重微段的自重: dP与与FN(x)相比是微量相比是微量, 可忽略不计可忽略不计. ( )()=NFx dxgxdxdxEAE 微段的伸长微段的伸长: 整个杆件的伸长整个杆件的伸长: 200=()=2llgxdxglldxEE把此结果改写为把此结果改写为: ()1=22gAl lllEA 2-6 材料在拉伸、压缩时的力学性质材料在拉伸、压缩时的力学性质 低碳钢拉伸时的力学性质低

12、碳钢拉伸时的力学性质 强度性质强度性质. 根据应力根据应力-应变图应变图, 应力与应变的关系可分为应力与应变的关系可分为: 弹性阶段弹性阶段: Oa段段, 应力值应力值e, 在在Oa段段=E; 屈服阶段屈服阶段: abc段段; 应力值应力值s; 强化阶段强化阶段: cd段段; 局部变形阶段局部变形阶段: d点以后点以后. 材料屈服时材料屈服时, 若试样表面磨光若试样表面磨光, 则可见到则可见到 一些与试样轴线成一些与试样轴线成45角的条纹角的条纹, 称为滑移线称为滑移线 。它是由塑性变形造成的。它是由塑性变形造成的。 试样从开始变形到应力试样从开始变形到应力-应变曲线的应变曲线的 顶点顶点d时

13、止时止, 在计算长度在计算长度l范围内范围内, 若纵向若纵向 变形是均匀伸长变形是均匀伸长, 沿横向的变形是均匀收沿横向的变形是均匀收 缩。但自缩。但自d点开始点开始, 到到e点断裂时止点断裂时止, 变形变形 将集中在试样的某一较薄弱的区域内将集中在试样的某一较薄弱的区域内, 该该 处形成所谓处形成所谓“颈颈”, 这一现象称为这一现象称为“颈缩颈缩”现现 象象, 这一阶段称为这一阶段称为“局部变形现象局部变形现象”。 变形性质变形性质: 弹性变形和塑性变形弹性变形和塑性变形: 弹性变形弹性变形: 卸载后无残余变形卸载后无残余变形. 塑性变形塑性变形: 卸载后有残余变形卸载后有残余变形. 冷作硬

14、化冷作硬化: 通过卸载改变材料性质通过卸载改变材料性质. 其他几种材料拉伸时的力学性质其他几种材料拉伸时的力学性质 铸铁铸铁 玻璃钢玻璃钢 玻璃钢受力方向与玻玻璃钢受力方向与玻 璃钢纤维方向间的夹角改璃钢纤维方向间的夹角改 变时变时, 强度极限的变化曲线。强度极限的变化曲线。 低碳钢及其他材料压缩时的力学性质低碳钢及其他材料压缩时的力学性质 低碳钢拉压的低碳钢拉压的-图图 2-7 强度计算、许用应力和安全因数强度计算、许用应力和安全因数 危险应力危险应力0(极限应力极限应力): 材料丧失正常工作能力时的应力。材料丧失正常工作能力时的应力。 构件工作应力的最大值应低于危险应力构件工作应力的最大值

15、应低于危险应力, 同时同时, 考虑到设计计考虑到设计计 算时的一些近似因素算时的一些近似因素, 应把危险应力打一折扣应把危险应力打一折扣, 其许用应力其许用应力: 0 =n 对于塑性材料对于塑性材料: ss =n 对于脆性材料对于脆性材料: bb =n 式中式中ns, nb分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。分别为塑性材料和脆性材料的安全因数。 安全因数安全因数 强度条件强度条件: max 对于等截面杆件对于等截面杆件: Nmaxmax= FA 强度校核强度校核: Nmaxmax= FA 设计截面设计截面: Nmax AF 确定许用荷载确定许用荷载: Nmax FA Nmaxmax=FA Nm

16、axmax=FA解解: 求支座反力求支座反力. 42kN 求拉杆内力求拉杆内力: 42kNHCFVCFC=0,M NABFNAB42 4.2=02 4qllFhNAB=63kNF 求拉杆的应力求拉杆的应力: 3NAB263 10 N=165.7MPa0.022m4FA 170MPa安全安全! 42kN解解: 计算活塞杆计算活塞杆AB的轴力的轴力. 2-329=(560 10 )2.5 10 Pa=615800N44FDp(不计活塞杆的面积不计活塞杆的面积), 故活塞杆的轴力故活塞杆的轴力: NAB=615.8kNF Nmaxmax=FA 计算活塞杆计算活塞杆AB所需面积所需面积: Nmax A

17、F 329615.8 10 N=0.002053m300 10 Pa 所需直径所需直径: 244 0.002053m0.051m51mmAd Nmaxmax=FA解解: 求两杆轴力与荷载求两杆轴力与荷载F的关系的关系. NABFNBCFNABNBCNAB=0,cos=6=0,sin=6xyFFFFFF 联立求解联立求解, 得得: NABNBC=2 (),= 3FFFF拉拉(压压) 设先让设先让杆充分发挥作用杆充分发挥作用, 即即: 使其应力达到许用值使其应力达到许用值, 求得求得 相应的最大轴力为相应的最大轴力为: 662N 111 = =160 10 Pa 600 10 m =96kNFA 1N 111 = =96kN=48kN22FF 许用荷载许用荷载: (强度条件强度条件) Nmaxmax=F