第三章水动学

1、回到总目录第三章第三章 水动力学水动力学【教学基本要求】【教学基本要求】【学习重点】【学习重点】 一、拉格朗日法（一、拉格朗日法（LagrangeLagrange）：（质点法）：（质点法） Lagrange法是以研究每个质点的运动全过程为基础，通过对每个质点运动的研究来了解整个液体运动的规律性。 系统：在质点法中，所有的以某些确定的流体质点所组成的流体团（质点系），这个确定的流体团称为系统。 Lagrange法在概念上拉法较直观，但在数学处理上较为复杂。所以很少用，本书主要采用Euler法。 二、欧拉法（二、欧拉法（EulerEuler）：（流场法）：（流场法） Euler法是考察通过固定空间

2、位置点的不同液体质点的运动状态，来了解整个运动空间内的流动情况，汇总这些情况即可了解整个液流的运动变化规律。 设在某一瞬时，观察到流场中各空间点上液体质点的流速，将这些流速综合在一起就构成了一个流速场，若求得各瞬时的流速场，就可得流速场随时间的变化。因此，流速应该是空间点坐标（x、y、z）和时间t的函数，即： （3.1） 其分量为： （3.2） 其它各运动参量也可用类似的方法来表示。 变量x、y、z、t统称为Euler变量。 ),(tzyxuu ),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzyx三、质量加速度公式三、质量加速度公式 或 即: (3.3)也就是 (3.4) (3.5)

3、22tsadtdua . .dtduadtduadtduazzyyxxttzyxuttzzyyxruazyxt).(),(lim0, 00, 0).(),(tzyxuttzzyyxruzzuyyuxxuttu 故 （3.8） 加速度a在各方向上的分量： (3.9)(lim0, 00, 0tzzutyyutxxutuazyxtzyxutzutyutxlimlimlimzuuyuuxuutuazyxzuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx 式中： 表示在某一固定空间点上，液体质点速度对时间的变化率。也就是在同一地点，由

4、于时间的变化而引起的加速度，称为当地加速度。 其余几项表示液体质点在同一时刻因地点变化而引起的加速度，称为迁移加速度。 现举例说明这两个加速度的物理意义。如图3-1所示， 应用欧拉法时，常在流场中选取一固定空间区域来观察流体的运动。这个固定空间称为控制体，它的边界称为控制面。控制体的位置、形状，体积相对于坐标系均固定不变，流体质点可以流进或流出控制面。tu返回本章首页图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动一、恒定液与非恒定流一、恒定液与非恒定流 划分依据：Euler变量中的时间变量对运动要素的影响。 若在流场中所有空间上的运动要素均不随时间而改变，这种流动；称为恒定流（如图3-2）。 反

5、之，则称为非恒定流。二、迹线与流线二、迹线与流线 迹线： 是某一液体质点运动轨迹线,它是流体质点运动的几何描述。 流线： 是速度场的向量线，它是某一固定时刻的空间曲线,该曲线上任意一点的切向量与当地的速度向量重合。图 3-2 流体的出流 作法：在某一瞬时，取流场上的某一点1，画出其速度向量v1，在v1上靠近点取点，经过点引同一瞬时的速度向量v2，便可得该瞬时的折线、，当各点都无限靠近时，折线便成为光滑的曲线，这条就是该瞬时经过点的流线。如图3-3所示。 流线和迹线是描述流体运动的不同几何特性，它们的最根本差别是： 迹线是同一质点不同时刻的位移曲线。 流线则是同一时刻，不同质点连接起来的速度场向

6、量线。图 3-3 流线的概念 简言之，迹线是描述指定质点的运动过程，流线是描述给定瞬间的速度场状态。 流线的特点： 流线代表流速方向的矢量线，其流、疏密程度代表流速的大小。 流线不能相交。 流线为光滑曲线。 三、流管、元流、总流 流管（如图3-4）： 在液流在任取一微小封闭曲线，从曲线上的每一点作流线，这些流线所组成的一个封闭管状曲线称为流管。 元流： 充满在流管中的液流称为元流。 总流： 由无数元流组成的整个液流。图 3-4 流管和流束图 3-5 过水断面 四、过水断面、流量与断面平均流速 过水断面：（） 垂直于元流或总流流向的横截面（如图3-5）。 流量：（） 单位时间内通过某一过水断面的

7、液体量。 根据流量的单位不同，可分为： 体积流量（m3/s）或（l/s）、重量流量rQ （KN/h）和质量流量Q（Kg/h） 元流的流量： （3.10） 总流的流量： (3.11) 断面平均流速（） 在工程计算中为简化问题，常把过流断面上不均匀的流速看成是均匀分布的，并以这个均匀分布流速所通过的流量与实际流量相等，流速就称为平均流速。udAdQ AAudAdQQ即： （3.12）或 （3.13） 五、有压流和无压流 具有自由液面的液流称为无压流或明渠流，反之，则为无压流或管流。 六、均匀流和非均匀流 （按速度大小和方向是否沿程变化） 流速沿程不变的流动称为均匀流（如图3-6），反之，称非均匀流

8、（如图37）。 在均匀流时不存在迁移加速度，即，其流线簇为彼此平行的直线簇。 非均匀流按流速的大小和方向沿流线变化的缓、急程度又可分为缓（渐）变流和急变流两种（图3-8）。流速的大小和方向沿流线逐渐改变的非均匀流，称为缓（渐）变流。 七、一元流、二元流和三元流vAudAQAAQv 划分依据：运动要素与Euler变量中坐标变量的关系。 一元流：若某种液流，在一个方向流动最为显著，而在其余两个方向的流动可忽略，称为一充流。 一元流时运动要素只与一个位置坐标有关。 二元流：即液流主要表现为两个方向的流动，而第三个方向的流动可以忽略。（平面流）（如图3-9） 其运动要素只与两个位置坐标有关。 三元流：

9、当三个方向的流动都不能忽略的液流，即空间任何一点的运动要素均不相同。（空间流）其运动要素是三个位置坐标的函数。返回本章首页回到总目录回到总目录图 3-6 均匀流图 3-7 非均匀流急变流缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流图 3-8 缓变流和急变流图 3-9管内流动速度分布 连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。我们认为液体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场。在这个前提下，当研究液体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的液体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有液体密度的变化，以便使液体仍然充满整个封闭曲面内的空间

10、；如果流体是不可压缩的，则流出的液体质量必然等于流入的液体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。 一、直角坐标系下连续性微分方程式一、直角坐标系下连续性微分方程式 设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、dy和dz，如图3-10所示。 假设微元平行六面体形心的坐标为x、y、z，在某一瞬时t经过形心的流体质点沿各坐标轴的速度分量为u、v、w，流体的密度为。现讨论流体经六面体各面的流动情况。 先分析x轴方向，由前面分析可知，u和都是坐标和时间的连续函数，即u=u (x，y，z，t)和 = (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式，略去高于一阶的无穷小量，得在d时间内

11、，沿轴方向从左边微元面积dydz流入的流体质量为图 3-10 流场中的微元平行六面体 同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为 (3-14) 上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即 (3-15)tzytzyxxutzyxxddd,2d,2dtzyxtuuxttzyxtutzyxuxttzyxddd2d2dddd2d),(2d),(tzyxtuuxtddd2d2dtzyxuxtzyxxuxxudddd)(ddddd 同理可得，在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为： 因此，在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为 (3-16) 由于流体是作为连续介

12、质来研究的，所以式(3-16)所表示的六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因为六面体内流体密度的变化而引起的。因此式(3-16)应和由于流体密度的变化而产生的六面体内的流体质量变化相等。 设开始瞬时流体的密度为，经过dt时间后的密度为tzyxvydddd)(tzyxwzdddd)(tzyxzwyvxuddddttttzyxd)d,( 则可求出在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为 (3-17) 根据连续性条件，式(3-16)和式(3-17)应相等，经简化得到 (3-18) 式（3-18）为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。 若流体是定常流动，则 ，上式成为 (3-19) 式

13、（3-19）为可压缩流体定常三维流动的连续性方程。 若流体是不可压缩的，不论是定常或非定常流动均tzyxtzyxzyxttddddddddddd0zwyvxut0t0zwyvxu 为常数，故式(3-19)成为 (3-20) 式（3-20）为不可压缩流体三维流动的连续性的方程。它的物理意义是：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。 在流体力学中时常讨论所谓平面（二维）流动，即平行任何一个坐标平面的流动。若这种流动的流动参数（如速度、压强）只沿x、y两个坐标轴方向发生变化，则式（3-20）可以写成 (3-21) 由于在推导上述

14、连续性方程时，没有涉及作用力的问题，所以不论是对理想流体还是实际流体都是适用的。0zwyvxu0yvxu 二、微元流束和总流的连续性方程二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题，所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一微元流束(图3-11)。假定流体的运动是连续的、定常的，则微元流管的形状不随时间而改变。又根据流管的特性，流体质点不能穿过流管表面，因此在单位时间内通过微元流管的任一有效截面的流体质量都应相

15、等，即 1V1dA1= 2V2dA2= VdA=常数 （3-22） 式中 dA1 、dA2分别为1、2两个有效截面的面积，m2；图 3-11 流场中的微元流束 V1 、V2分别为dA1和dA2上的流速，也称为真实流速，m/s； 1 、 2分别为和处的流体密度，kg/m3。 对于由无限多微元流束所组成的总流（例如流体在管道中的流动），可对式（3-22）进行积分得 （3-23） 式中 A1 和A2分别为总流1和2两个有效截面的面积，m2。 式（3-23）为一维流动积分形式总流的连续性方程。设 和 是总流两个有效截面l和2上的平均流速，则式（3-23）可写成 (3-24)常数AAAAVAVAVddd

16、212221111V2V222111AVAV 式中1和2分别代表截面和上的平均密度，kg/m3。 式（3-32）表示当流动为可压缩流体定常流体动时，沿流动方向的质量流量为一个常数。 对不可压缩均质流体常数，则式（3-24）成为 (3-25) 式（3-25）为不可压缩流体一维定常流动的总流连续性方程。该式说明一维总流在定常流动条件下，沿流动方向的体积流量为一个常数，平均流速与有效截面面积成反比，即有效截面面积大的地方平均流速小，有效截面面积小的地方平均流速就大。 2211AVAV例题例题3-13-1例题例题3-23-2例题例题3-33-3返回 注意： 对于有固定边界的管流，即使是非恒定流，对于同

17、一时刻的两过水断面仍然适用。 即适用于理想液体，也可用于实际流体。 若沿流有流量的流进或流出，则应相应地加上或减去。返回本章首页回到总目录回到总目录 在流动的理想流体中，取出一个微元平行六面体的微团，它的各边长度分别为dx、dy和dz，如图3-12所示。由于是理想流体，没有黏性，运动时不产生内摩擦力，所以作用在流体微团上的外力只有质量力和压强。该压强与静压强一样，垂直向内，作用在流体微团的表面上。假设六面体形心的坐标为x、y、z，压强为p。 先分析x方向的运动，在垂直于x轴的左右两个平面中心点上的压强各等于 由于是微元面积，所以这些压强可以作为各表面上的平均压强。设在六面体形心上的单位质量的质

18、量力分量为2dxxpp2dxxpp图 3-12 推导欧拉运动微分方程用图 fx、fy和fz ，则作用在微元平行六面体的流体微团上的质量力在轴方向的分量为 fxdxdydz 又流体微团的加速度在x轴上的投影为 ，则根据牛顿第二定律得x轴方向的运动微分方程 将上式各项除以流体微团的流体质量dxdydz，化简后得： 同理 （3.26） DtDuDtDuzyxzyxxppzyxxppzyxfxddddd2ddd2ddddDtDuxpfx1DtDvypfy1DtDwzpfz1 这就是理想流体的运动微分方程，早在1755年就为。对于静止的流体u=v=w=0，则由式（3-26）可以直接得出流体平衡微分方程，

19、即欧拉平衡微分方程式（2-3）。因此欧拉平衡微分方程只是欧拉运动微分方程的一个特例。如果把加速度写成展开式，可将欧拉运动微分方程写成如下形式 (3-27)zwwywvxwutwzpfzvwyvvxvutvypfzuwyuvxuutuxpfzyx111 在一般情况下，作用在流体上的质量力fx、fy和fz 是已知的，对理想不可压缩流体其密度为一常数。在这种情况下，式（3-27）中有四个未知数u、v、w和p，而式（3-27）中有三个方程，再加上不可压缩流体的连续性方程（3-20），就从理论上提供了求解这四个未知数的可能性。一、理想流体微元流束的伯努利方程一、理想流体微元流束的伯努利方程 1.公式推导

20、公式推导 理想流体的运动微分方程（3-27）只有在少数特殊情况下才能求解。在下列几个假定条件下： (1)不可压缩理想流体的定常流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。 假定流体是定常流动，则有 ，0t0zwyvxu 因此式(3-27)可写成 (3-28) 假如流体微团沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz。现用dx、dy和dz分别乘以式（3-28）的第一式、第二式和第三式，则可得到zwwywvxwuzpfzvwyvvxvuypfzuwyuvxuuxpfzyx111 (3-29) 由流线微分方程（3-1

21、5）有 udy=vdx ydz=wdy (3-30) wdx=udz 将式（3-30）代入式（3-29）中的对应项，则得zzwwzywvzxwuzzpzfyzvwyyvvyxvuyypyfxzuwxyuvxxuuxxpxfzyxdddd1ddddd1ddddd1d (3-31) 将式（3-31）的三个方程相加，得到 (3-32) 由于式（3-32）中的dx、dy和dz是流体微团沿流线微小位移ds的三个分量，所以要沿流线（或微元流束）进行积分。wwzzwwyywwxxwwzzpzfvvzzvvyyvvxxvvyypyfuuzzuuyyuuxxuuxxpxfzyxddddd1dddddd1dddd

22、dd1dwwvvuuzzpyypxxpzfyfxfzyxdddddd1)ddd( 式（3-32)中的 假设质量力只有重力，fx=0，fy=0，fz=-g，即z轴垂直向上，oxy为水平面。则式(3-32)可写成 又假设为不可压缩均质流体，即=常数，积分后得 或 (3-33) 式（3-33）称为理想流体微元流束的伯努利方程。方程右边的常数对不同的流线有不同的值。pzzpyypxxpdddd2222d21)(d21dddVwvuwwvvuu0d21d1d2Vpzg常数22Vpgz常数gVgpz22 该方程的适用范围是：理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动，并沿同一流线（或微元流束）。若1、2为

23、同一条流线（或微元流束）上的任意两点，则式（3-33）也可写成 (3-34)在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(3-34)可以得到静力学基本方程 2. 方程的物理意义和几何意义方程的物理意义和几何意义 为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方程的物理意义和几何意义。 1 1）物理意义）物理意义 理想流体微元流束的伯努利方程式（3-34）中，左端gVgpzgVgpz2222222111常数gpz 前两项的物理意义，在静力学中已有阐述，即 第一项z表示单位重量流体所具有的位势能； 第二项p/(g)表示单位重量流体的压强势能； 第三项V2/(2g)理解如下：由物理学可知，质量为m

24、的物体以速度V运动时，所具有的动能为Mv2/2，则单位重量流体所具有的动能为V2/(2g)即(mV2/2)/(mg)= V2/(2g) 。所以该项的物理意义为单位重量流体具有的动能。位势能、压强势能和动能之和称为机械能。 因此，伯努利方程可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线（或微元流束）上各点的单位重量流体所具有的位势能、压强势能和动能之和保持不变，即机械能是一常数，但位势能、压强势能和动能三种能量之间可以相互转换，所以伯努利方程是能量守恒定律在流体力学中的一种特殊表现形式。 2 2）几何意义图）几何意义图 理想流体微元流束的伯努利方程式（3-34）中，左端前两项的几

25、何意义，同样在静力学中已有阐述，即第一项z表示单位重量流体的位置水头，第二项p/(g)表示单位重量流体的压强水头，第三项V2/(2g)与前两项一样也具有长度的量纲。它表示所研究流体由于具有速度V，在无阻力的情况下，单位重量流体所能垂直上升的最大高度，称之为速度水头。位置水头、压强水头和速度水头之和称为总水头。由于它们都表示某一高度，所以可用几何图形表示它们之间的关系，如图3-13所示。 因此伯努利方程也可叙述为：理想不可压缩流体在重力作用下作定常流动时，沿同一流线(或微元流束)上各点的单位重量流体所具有的位置水头、压强水头和速度水头之和保持不变，即总水头是一常数。图 3-13(a) 总水头线和

26、静水头线二、由功能原理推导恒定流实际液体元流的能量方程二、由功能原理推导恒定流实际液体元流的能量方程 如图3-14 ：在恒定流中取一段元流，任截取其中断面与断面之间的流段来研究，各参数标于图上。 据功能原理，外力对物体所做的功等于物体动能的增量。 动能的增量 由于是恒定流，在时段内，这部分的质量和各点流速都没有变化，即动能的变化为零，所以整个流段的动能增量可看作是段的动量和段动能的差值。 因为流体不可压缩：d返回本章首页图3-14 这块水体的质量： 因为体积微小，可以认为和各点流速是均布的，分别为 、 ，则动能的增量为： (3.35) 外力作功 a表面力作功（包括动水压与摩擦阻力作功） 断面和

27、上的动水压力与水流方向平行，所以要做功；而元流侧壁上的动水压力由于与流动方向相垂直，所以不做功，两断面上动水压力所做的功为： (3.36)grdVdVdm1u2u)(2)(2121222122uugrdVuudmdVppdsdApdsdAp)(21222111 液流的摩擦阻力由于与流动方向相反，所以对液流做负功，以表示摩阻力对单位重量的液流所做的功，则对重为dV的水体来说，摩阻力所做的功是： b质量力作功（作用在液体上的质量力只有重力） 重力作功可视为从移至时重力所做的功，因而重力作功 （重力做正功） (3.37) 应用功能原理得 (3.38) 两边除以 ，并移项得 (3.39) 单位重量不可

28、压缩的实际液体恒定元流能量方程whdV )(21zzdVwhVdzzdVdVppuugdV)()()(221212122dVwhguzgupz2222222111 三、渐变流用渐断面压强分布规律三、渐变流用渐断面压强分布规律 1.渐变流与急变流 渐变流（缓变流）： 在实际水流中，若流线之间的夹角很小而近于平行或流线弯曲的曲率很小，流速在大小和方向上都变化很缓慢，这种流动称之为缓变流。 反之，则称为急变流。 2.渐变流过水断面上动水压强的分布规律 渐变流和急变流的比较，最大的差别是动水压强分布规律不同。对渐变流，在缓变流过水断上任一两相邻流线间取一微分柱体（如图3-15） 作用在该微小柱体上的力

29、： 表面力：柱体两端的动水压强和； 与柱体轴nn垂直的柱体侧面的动水压强； 柱体侧面和两端的摩擦力，（垂直于nn轴）。 质量力：只有重力图3-15 因为渐变流的流线是几乎平行的直线，则沿n向的加速度 ，于是，微小液柱沿n向的运动方程为： (3.40) 整理得： (3.41) 积分（3.41）得： （3.42） 上式说明，缓变流过水断面方向上 。但沿流程各断面的势能不可能是同一常数，这是由于液流摩阻力耗能，运动过程中一部分势能转化为其它形式的能。 在急变流断面上，由于流线弯曲大或相互不平行，在过水断面向上存在离心力，即沿n方向的加速度不能忽略，因而断面上各点的单位势能不等于常数。0na0cos)

30、(2rdndwdAddAucosdndz 0 dzdp常数pz常数pz四、恒定总流能量方程四、恒定总流能量方程 如图3-14所示，元流的流量 （3.43） 则 时段流过元流的液体重量为： (3.44) 因为元流能量方程： 表示元流单位重量液体的能量守恒关系，对元流能量方程两边都乘上 后，可得时段 内，通过元流总的能量守恒关系为： （3.45） 总流是由无数元流组成的，对上式在两边水断面A1、A2上分，便得到时段内通过总流的液体的2211dAudAudQdtdtdAudtdAudQdt2211whgupzgupz2222222111dQdtdtdQdtwhdtdAugupzdtdAugupz22

31、2222112111)2()2(能量守恒关系为: (3.46) 总流是由无数元流组成的，对上式在两边水断面A1、A2上积分，便得到 时段内通过总流的液体的能量守恒关系为： (3.47)设总流的流量为，则时段通过总流的液体重量为 ，将上式除以 ，即得： dQdtwhdtdAugupzdtdAugupz222222112111)2()2(dt12222212112111)2()2(AAQdQdtwhdtdAugupzdtdAugupzQdtQdt11131111121)(1AAdAguQdAupzQ 单位时间内通过总流的单位液体重量的能量关系（3.47）共含三种类型积分：1 总流过水断面上的平均单

32、位势能若取过水断面均为均匀流或渐变流，则断面上 故： （3.49）11131111121)(1AAdAguQdAupzQ 22121)(12322212AAQwdQhQdAguQdAupzQAudApzQ)(1常数pzAApzudApzQudApzQ)(1)(1（3.48） 总流过水断面上的平均单位动能 取断面平均流速 ，并引入修正系数 ，则： （3.50）其中： 值是大于的数，其大小取绝于断面上的流速分布不均匀程度。 总流断面与之间能量损失的平均值。 用 表示该值，则： (3.51) ：总流水头损失。 将以上各积分结果代入（3.48）得： （3.52）AdAguQ213vgVdAguQA22

33、123AVdAuA33QwdQhQ1whwhQwhwdQhQ1hwgVpzgVpz222222211 理想流体微元流束的伯努利方程，在工程中广泛应用于管道中流体的流速、流量的测量和计算，下面以应用最广泛的皮托管和文特里流量计为例，介绍它们的测量原理和伯努利方程的应用。 一、皮托管一、皮托管 在工程实际中，常常需要来测量某管道中流体流速的大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量，要测量管道中流体的速度，可采用皮托管来进行，其测量原理如图3-16所示。 在液体管道的某一截面处装有一个测压管和一根两端VBAZZ图 3-16 皮托管测速原理 开口弯成直角的玻璃管（称为测速管）。将测速管（又称

34、皮托管）的一端正对着来流方向，另一端垂直向上，这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h。这是由于当液流流到测速管入口前的A点处，液流受到阻挡，流速变为零，则在测速管入口形成一个驻点A。驻点A的压强PA称为全压，在入口前同一水平流线未受扰动处（例如B点）的液体压强为 PB，速度为V。应用伯努利方程于同一流线上的、两点，则有 则 (3-53) 022gpzgVgpzABgVgpgphBA22ghppvBA22 式（3-53）表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用式(3-53)计算出的要小，因此，实际流速

35、为 (3-54) 式中 流速修正系数，一般由实验确定， =0.97。 如果测定气体的流速，则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来，必须把两根管子连接到一个形差压计上，从差压计上的液面差来求得流速，如图3-17所示，则 用式(3-53)，则得 （3-55）ghV2)(液液ghppBA122液液液液ghhgV图 3-17 用皮托管和静压管测量气体流速 考虑到实际情况， (3-55a) 在工程应用中多将静压管和皮托管组合成一件，称为皮托静压管，又称动压管，习惯上常简称它为皮托管，其示意图如图3-18所示。图中1点为总压测点，2点为静压测点，将总静压孔的通路分别连接于差压计的两端，则差压计的指示为总

36、压和静压的差值，从而可由式(3-35)求得测点的流速。皮托-静压管的构造尺寸及使用时的连接方式如图3-19所示。12液液ghV图 3-18 皮托-静压管图 3-19 皮托-静压管构造及连接方式 二、文特里二、文特里(Venturi)流量计流量计 文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量，主要是由收缩段、喉部和扩散段三部分组成，如图3-20所示。它是利用收缩段，造成一定的压强差，在收缩段前和喉部用形管差压计测量出压强差，从而求出管道中流体的体积流量。 以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面。列截面1-1，2-2的伯努利方程 (3-56) 由一维流动连续性方程 (3-57)gVgpgVgp202

37、02222112121VAAV 图 3-20 文特里流量计原理图 将式(3-57)代入到式(3-56)，整理得 (3-58) 由流体静力学 (3-59) 将式(3-59)代入到式(3-58)，则 (3-60) 式(3-60)表明，若液， ，A2，A1已知，只要测量出h液，就可以确定流体的速度。流量为： (3-61)/(1 )(2212212AAppV液液ghpp)(21)/(1 )(22122AAhgV液液)/(1 )(242122222AAhgdVAqV液液 考虑到实际情况 (3-62) 式中Cd为流量系数，通过实验测定。 文特里流量计是节流装置中的一种，除此之外还有孔板，喷嘴等，其基本原理

38、与文特里流量计基本相同，不再叙述。 三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题三、伯努利方程应用时特别注意的几个问题 伯努利方程是流体力学的基本方程之一，与连续性方程和流体静力学方程联立，可以全面地解决一维流动的流速(或流量)和压强的计算问题，用这些方程求解一维流动问题时，应注意下面几点： )/(1 )(2421222AAhgdCqCqdVdV液液实 (1) 弄清题意，看清已知什么，求解什么，是简单的流 动问题，还是既有流动问题又有流体静力学问题。 (2) 选好有效截面，选择合适的有效截面，应包括问题中所求的参数，同时使已知参数尽可能多。通常对于从大容器流出，流入大气或者从一个大容器流入另一个大容

39、器，有效截面通常选在大容器的自由液面或者大气出口截面，因为该有效截面的压强为大气压强，对于大容器自由液面，速度可以视为零来处理。 (3) 选好基准面，基准面原则上可以选在任何位置，但选择得当，可使解题大大简化，通常选在管轴线的水平面或自由液面，要注意的是，基准面必须选为水平面。 (4) 求解流量时，一般要结合一维流动的连续性方程求解。伯努利方程的p1和p2应为同一度量单位，同为绝对压强或者同为相对压强，p1和p2的问题与静力学中的处理完全相同。 (5) 有效截面上的参数，如速度、位置高度和压强应为同一点的，绝对不许在式中取有效截面上点的压强，又取同一有效截面上另一点的速度。例题例题3-43-4

40、例题例题3-53-5 在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。 一、恒定总流的动量方程一、恒定总流的动量方程 将质点系动量定理应用于流体系统的运动，可以导出流体运动的动量方程。根据动量定理，流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即 设不可压缩流体在管中作定常流动，如图3-19所示。取有效截面1-1和2-2之间

41、的流段作为研究对象，两截面上的平均流速分别和，流段在质量力、两截面上的压强和管壁的作用力的作用下，经过dt时间后从位置1-2流到1-2。与此同时，流段的动量发生了变化，其变化等于流段在1-2和1-2位置时的动量之差。由于定常流动中流管内各空间点的流速不随时间变化，因此1-2这部分流体（图中阴影部分）的动量没有改变。于是在dt时间内流段的动量变化就等于2- 2段的动量和1- 1段的动量之差。 (3-63)tVmVmF1212dd)(dVtqVtqVmVV图 3-19 推导动量方程用图 由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数加以修正。根据实验

42、测定值约为1.021.05，近似于l，所以为计算方便，在工程计算中通常取 1。于是上式可改写成 (3-64) 根据不可压流体一维流动总流的连续性方程，流过截面1-1的流量和流过截面2-2的流量相等，即 或 （3-65） 方程(3-46)就是不可压缩流体定常流动的动量方程 111222dd)( dVtqVtqVmVVVVVqqq21tFVmVVtqVd)(d)(d1122FVVqV)(1122 把上式写成分量形式为 (3-66) 管流的定常动量方程常用于求解作用在管道上的动水反力等问题。由式(3-47)可知，在定常流动中，可以有某一段流体进、出口的流速变化，而不需要知道这一流段的内部情况，就可以

43、求出流体所受外力的合力，即管壁对流体的作用力，从而求出流体对管壁的作用力。由于动量方程是一个矢量方程，所以应用投影方程比较方便。应用时应注意，适当地选择控制面，完整地表达出控制体和控制面上的外力，并注意流动方向和投影的正负等。zVyVxVFwwqFvvqFuuq)()()(112211221122二、动量方程的应用二、动量方程的应用1液流对弯管的作用力 一渐缩弯管如图所示，求管壁所受到的流体作用力 （不计阻力）， 设弯管水平放置，为已知。(如图3-23) 解：由题意，因弯管水平放置，故不考虑重力作用。 对截面、写伯诺里方程，求出 即 取求水平面上的坐标轴xoy，应公式（3.66） 设管壁对水流

44、的作用力为，则有：212, 11,VVAA, 2pgvgvpp22222112)()(1212yyyxxxvvQFvvQF同理：则：的作用点：如图所示： 的方向与同，并过 、 的交点，又 也近似过此交点，形成一汇交力系，故 也过此点，通过该交点并与轴相交角的直线即为为的作用线，从而可得的作用点。 2求水流对挡水构物的作用力(如图3-24) 如图为一滚水坝，上游水位因坝的阻当而抬高，测得的水深为1.5m,下游水深为0.6m。略去水头损失，求水流对米坝宽的水平作用力。112212122211cos)cos()cos(cosAAvvQxRvxvQAAxRFxxRyRtgyRxRRApQvyR,)()

45、(sinsin22222F1v2v2211,APAP2211APAPFR 3射流对曲面壁的冲击力 如图3-25所示，射流沿方向水平射出，冲击到曲面壁后，即沿两个方向分流，这两个分流与原来流动的方向成 和 角度。 在主射流中取断面：（渐变流） 在分射流中取断面，； 相应各量标于图上： 沿方向写其动量方向，则： 即 式中 为曲面对射流的反作用力的合力 射流对平面壁的冲击力 如图3-26所示， 则 即有 或 方向向右 射流对固定曲面壁的冲击力1200222111coscoscosvmavmavmRXXXXvmvmvmF002211R00210,90000VQR00vmR20AvRRF 如图3-27（

46、a），若略去水头损失及忽略重力的情况下，在对称时有 ，设沿方向的总动量方程 若 时，如图3-27（b）所示，即 （ 为主射流断面面积） 上式说明， 时，射流冲击力为平面壁射流冲击力的2倍。002211coscosvmvmvmR)(cos)(cos00QvmR210vvv2021mmm1802000022vAvQR0A18021应用动量方程时应注意以下问题：1.先选坐标轴，并标明坐标轴的指向；2.计算动量增量时，一定是流出的动量减流进的动量;3.所选过水断面，应符合渐变流条件，即；4.外力包括重力和表面力（两端的液流压力及固体边壁对液流的压力），固体边界附近的液流阻力常忽略不计。5.用动量方程时

47、，常采用相对压强计算。ApPc例题例题3-63-6回到总目录回到总目录返回本章首页图图3-233-23图3-24图3-25 图3-26 图3-27221vppv 【例例3-1】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为）U=3（x+y3)，v=4y+z2，w=x+y+2z。试分析该流动是否连续。 【解解】 根据式（3-28） 所以 故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的 3xu4yv2zw09 zwyvxu 【例例3-2】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为u=x2siny，v=2xcosy，试分析该流动是否连续。 【解解】 根据式（3-29） 所以 故此流动是连续的。yxxusin2yxyvsin20)sin2(sin2yxyxyvxu 【例例3-3】 有一输水管道，如图3-14所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 为多少？ 【解解】 由式（