§82数量积向量积

1、§8. 2 数量积向量积一、两向量的数量积数量积的物理背景: 设一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2. 以s表示位移. 由物理学知道, 力F所作的功为W = |F| |s| cosq, 其中q为F与s的夹角. 数量积: 对于两个向量a和b, 它们的模 |a|、|b| 及它们的夹角q的余弦的乘积称为向量a和b的数量积, 记作a×b, 即a·b=|a| |b| cosq. 数量积与投影: 由于|b| cosq=|b|cos(a, b), 当a¹0时, |b| cos(a, b) 是向量b在向量a的方向上的投影, 于是a·b = |a| P

2、rjab. 同理, 当b¹0时, a·b = |b| Prjba. 数量积的性质: (1) a·a = |a| 2. (2) 对于两个非零向量a、b, 如果a·b =0, 则ab; 反之, 如果ab, 则a·b =0. 如果认为零向量与任何向量都垂直, 则ab Û a·b =0. 数量积的运算律: (1)交换律: a·b =b·a; (2)分配律: (a+b)×c=a×c+b×c. (3) (la)·b =a·(lb) =l(a·b), (la)

3、·(mb) =lm(a·b), l、m为数. (2)的证明:分配律(a+b)×c=a×c+b×c的证明: 因为当c=0时,上式显然成立;当c¹0时,有 (a+b)×c=|c|Prjc(a+b)=|c|(Prjca+Prjcb)=|c|Prjca+|c|Prjcb=a×c+b×c.例1 试用向量证明三角形的余弦定理.证: 设在ABC中, BCA=q (图7-24), |BC|=a, |CA|=b, |AB|=c,要证c 2=a 2+b 2-2 ab cos q .记=a, =b, =c, 则有 c=a-b,

4、从而 |c|2=c×c=(a-b)(a-b)=a×a+b×b-2a×b=|a|2+|b|2-2|a|b|cos(a,b),即c 2=a 2+b 2-2 ab cos q . 数量积的坐标表示: 设a=(ax,ay,az ), b=(bx,by,bz ),则a·b=axbx+ayby+azbz .提示:按数量积的运算规律可得 a·b =( ax i +ay j +az k)·(bx i +by j +bz k)=axbxi·i +ax by i·j +ax bz i·k+aybxj ·i

5、 +ay by j ·j +ay bz j·k+azbxk·i +az by k·j +az bz k·k= axbx+ ay by+ az bz . 两向量夹角的余弦的坐标表示: 设q=(a, b),则当a¹0、b¹0时, 有. 提示:a·b=|a|b|cosq. 例2 已知三点M (1, 1, 1)、A (2, 2, 1)和B (2, 1, 2), 求ÐAMB. 解从M到A的向量记为a,从M到B的向量记为b,则ÐAMB就是向量a与b的夹角. a=1, 1, 0, b=1, 0, 1. 因为a

6、×b=1´1+1´0+0´1=1, , . 所以. 从而. 例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为（常向量)v. 设n为垂直于S的单位向量（图7-25(a)）,计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P(液体的密度为). 解 单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b).这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n的夹角q , 所以这柱体的高为| v |cosq, 体积为 A| v |cos q=A v ·n.从而, 单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体

7、的质量为P=rAv ·n.二、两向量的向量积在研究物体转动问题时, 不但要考虑这物体所受的力, 还要分析这些力所产生的力矩. 设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处. F与的夹角为q. 由力学规定, 力F对支点O的力矩是一向量M, 它的模, 而M的方向垂直于与F所决定的平面, M的指向是的按右手规则从以不超过p的角转向F来确定的. 向量积: 设向量c是由两个向量a与b按下列方式定出: c的模 |c|=|a|b|sin q, 其中q为a与b间的夹角;c的方向垂直于a与b所决定的平面, c的指向按右手规则从a转向b来确定. 那么, 向量c叫做向量a与b的向量积, 记作a&

8、#180;b, 即c =a´b. 根据向量积的定义,力矩M等于与F的向量积, 即. 向量积的性质: (1) a´a =0; (2) 对于两个非零向量a、b, 如果a´b = 0, 则a/b; 反之, 如果a/b, 则a´b =0. 如果认为零向量与任何向量都平行, 则a/b Û a´b = 0. 数量积的运算律: (1) 交换律a´b = -b´a; (2) 分配律: (a+b)´c = a´c + b´c. (3) (la)´b = a´(lb) = l(a

9、80;b) (l为数). 数量积的坐标表示: 设a = ax i +ay j +az k, b = bx i +by j +bz k. 按向量积的运算规律可得a´b = ( ax i +ay j +az k) ´ ( bx i +by j +bz k)= axbxi´i +ax by i´j +ax bz i´k+aybxj´i +ay by j´j +ay bz j´k+azbxk´i +az by k´j +az bz k´k. 由于i´i = j´j = k&

10、#180;k = 0, i´j = k, j´k =i, k´i = j, 所以a´b = ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. 为了邦助记忆, 利用三阶行列式符号, 上式可写成=aybzi+azbxj+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi= ( ay bz- az by) i + ( azbx- ax bz) j + ( ax by- aybx) k. . 例4 设a=(2, 1,-1),b=(1,-1, 2), 计算a´b. 解=2i-j-2k-k-4j

11、-i=i-5j -3k. 例5 已知三角形ABC的顶点分别是A (1, 2, 3)、B (3, 4, 5)、C (2, 4, 7), 求三角形ABC的面积. 解根据向量积的定义, 可知三角形ABC的面积. 由于=(2, 2, 2), =(1, 2, 4), 因此 =4i-6j+2k.于是. 例6 设刚体以等角速度w绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度. 解刚体绕l轴旋转时, 我们可以用在l轴上的一个向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手规则定出: 即以右手握住l轴, 当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时, 大姆指的指向就是w的方向. 设点M到旋转轴l的距离为a, 再在l轴上任取一点O作向量r =, 并以q表示w与r的夹角, 那么a = |r| sinq. 设线速度为v, 那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知, v的大小为|v| =| w|a= |w| |r| sinq ; v的方向垂直于通过M点与l轴的平面, 即v垂直