1、因式分解1(提套)

1、第1讲因式分解(1)【竞赛导航】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。本讲主要涉及用提公因式法和公式法分解因式一、提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：(1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。(2) 系数取各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。二、把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2推广公式：a+b2+

2、c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+cf立方和、立方差公式:a3±b3=(a±b)(a2-ab+b2)和(差)的立方公式：a3_3a2b3ab2一b3=(a_b)3补充：欧拉公式：a3+b3+c3222=(a+b+c)(a+b+c-ab-ac-bc)+3abc1 222=2(a+b+c)a_b)+(b_c)+(c_a)+3abc特别地：(1)当a+b+c=0时，有a3+b3+c3=3abc(2)当c=0时，欧拉公式变为两数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求

3、代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。【典例解析】例1.把下列各式因式分解(1)-a2xm2abxm1-acxm-axm3；(2)a(a-b)32a2(b-a)2-2ab(b-a)例3.不解方程组2xy-3，求代数式(2xy)(2x3y)3x(2xy)的值。5x3y=-2例2.计算：123987268987456987521987例4.证明：对于任意自然数n,3n2-2n'232n一定是10的倍数。例5.已知：x2bxc(b、c为整数)是x46x225及3x44x228x5的公因式，求b、c的值。例6.设x

4、为正整数，试判断105xx(x2)是质数还是合数，请说明理由。例7.分解因式a22a_b2_2b=例&已知多项式2x3-x2m有一个因式是2x1，求m的值。例9.已知a、b、c是ABC的三条边，且满足a2b2cabaO，试判断ABC的形状。例10.两个连续奇数的平方差一定是8的倍数例11.已知ab0，a3b3c0，求证：a5b5c0【沙场练兵】1、因式分解(1)3x(x-2)-(2-x)=(2) 4q(_p)32(1)2=.(3) -4m2n312m3n2_2mn=.(4) x3_4xy2=.(5) 2x3y8x2y28xy3=.(6) (a2)2-(3a-1)2=.(7) x5(x-

5、2y)x2(2y_x)=.2. 计算：200020012001-200120002000=.3. 计算：(-2)11(-2)1°的结果是()A.2100B.-210已知x、y都是正整数，且x(x-y)-y(y-x)=12，求x、y.5.证明：817-279-913能被45整除.的值.6.已知：111222asm1bm2,cjm3,求a2abb-2a-c-2bc7.若x3，y3=27,x2-xyy2=9，求x2y2的值.18.已知：x3，求x1衣X4的值.x【冲刺金牌】1、因式分解：(1) a2xn2abxn1_acxn_adxnJ(n为正整数)二(2) a(ab)+2a2(ba)22

6、ab(ba)2=.2234(3) a(xy)2a(xy)(x一y)=.2 20122. 化简：1xx(1x)x(1x)亠亠x(1x)若a,b,c是三角形的三条边，求证：a2-b2-c2-2bc：03. 已知：2亠心亠1=0,求2013的值。4. 已知a，b，c是不全相等的实数，且abc=0，a3b3c3abc，试求111111（1）abc的值；（2）a（）b（）c（）的值.bccaab求证：n35n是6的倍数.（其中n为整数）3 o33（法一：若n5n是6的倍数，贝Un5n-6也是6的倍数；法二：n5n=n-n6n）.7已知：a、b、c为三角形的三边，比较a2b2-c2和2ab的大小.1111

7、11&已知：a、b、c是非零实数，且a2b21,a()b()c()=-3,bccaab求a+b+c的值.111111a()','b()c()i-3两边乘abcbccaab222a(c+b)+b(a+c)+c(a+b)+3abc=0ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=O(a+b+c)(ac+bc+ab)=0又因为(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ca=1+2(ab+bc+ca)所以(a+b+c)不可能等于0则ab+bc+ac=0所以a+b+c=1继续追问：aA2(c+b)+bA2(a+c)+cA2(a+b)+3abc=0这一步到这一步怎

8、么来的ac(a+b+c)+ab(a+b+c)+cb(a+b+c)=0继续追问：a+b+c=±1都行？1/b+1/c中就缺a/a就可因式分解了同理得：a(1/b+1/c)+a/a+b(1/a+1/c)+b/b+c(1/a+1/b)+c/c=0a(1/a+1/b+1/c)+b(1/a+1/b+1/c)+c(1/a+1/b+1/c)=0(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0这就好办了a+b+c=0或1/a+1/b+1/c=0通分(ab+bc+ac)/abc=0因为abc不等于0贝Uab+bc+ac=02(a+b+c)=aA2+bA2+cA2+2ab+2bc+2ac=1a+b+c=1,-1所以a+b+c=0,+1,-1a(1/c+1/b)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=3两边乘abcaA2(c+b)+bA2(a+c)+cA2(a+b)+3abc=0ac