现代控制理论第4讲

1、现代控制理论第四讲现代控制理论第四讲 王王 凯凯 明明长安大学数学与信息科学系长安大学数学与信息科学系16 从状态空间表达式求传递函数阵从状态空间表达式求传递函数阵一、传递函数阵一、传递函数阵1、单输入、单输入单输出系统单输出系统ducxybuAxx设初始条件为零设初始条件为零,两边做拉氏变换可得两边做拉氏变换可得)()()(sbUsAXssX)()()(sbUsXAsI)()()(1sbUAsIsXbAsIsUsXsWux1)()()()()()()()()()(1sdUsbUAsIcsdUscXsYdbAsIcsUsYsW1)()()()(2、多输入、多输入多输出系统多输出系统DuCxyB

2、uAxx设初始条件为零设初始条件为零,两边做拉氏变换可得两边做拉氏变换可得)()()(1sBUAsIsX)()()()(1sDUsBUAsICsYBAsIsUsXsWux1)()()()(DBAsICsUsYsW1)()()()()()()()()()()()()()(212212111211sWsWsWsWsWsWsWsWsWsWmrmmrrDBAsIAsICDBAsICsWadj)()()(1)(1)(AsIDBAsICAsIsWadj对于同一个系统对于同一个系统,传递函数阵是唯一的传递函数阵是唯一的!证明证明:假设对原状态空间表达式作任意空间变换假设对原状态空间表达式作任意空间变换,即即

3、xTzTzx1则变换后的状态空间表达式为则变换后的状态空间表达式为DuCTzyBuTATzTz11其对应的传递函数矩阵为其对应的传递函数矩阵为:)()()()()()(11111111111sWDBAsICDBATTTTTsITCDBTATTsITCDBTATTsICTsW二、子系统在各种连接时的传递函数阵二、子系统在各种连接时的传递函数阵1、并联、并联联结联结设子系统设子系统1为为1111111111uDxCyuBxAx设子系统设子系统2为为2222222222uDxCyuBxAx2121yyyuuu系统状态空间表达式为系统状态空间表达式为uDDxxCCyuBBxxAAxx212121212

4、1212100)()()()()()()(00)()()()(2121212211112121121121sWsWDDBAsICBAsICDDBBAsIAsICCsUsYsW221121( )( )( )( )( )( )( )( )( )Y sY sY sW sW sW sU sY sU s2、串联连接、串联连接3、具有输出反馈的系统、具有输出反馈的系统系统状态空间表达式为系统状态空间表达式为111112222221111)(xCyyxCBxAxxCuBxAx2111212122112100 xxCyuBxxACBCBAxx00)(112122111BAsICBCBAsICsW矩阵块求逆矩阵

5、块求逆IIAsICBCBAsIFFFFFFFFAsICBCBAsI00212211222112112221121112122110)()(21221111212111AsIFCBFICBFAsIF1112111 11 12122( )00FFBW sCCF BFF 21112121212111)()(CBFAsIFCBFIAsIF122111121112121111)()()(AsICBFFAsICBFAsIF11121221111111)()()(AsICBAsICBFAsIF)()()()()()()()(1211111212211111111sWsWsWsWBAsICBAsICBFCBA

6、sICsW)()()()()(112sWsWsWsWsW)()()()(112sWsWsWIsW1121)()()()(sWsWIsWsW同理可证明同理可证明:)()()()(1121sWsWsWIsW17 离散时间系统的状态空间表达式离散时间系统的状态空间表达式离散系统差分方程：离散系统差分方程：系统脉系统脉冲传递冲传递函数函数状态空间表状态空间表达式：达式：模拟模拟结构结构图图)() 1() 1()()() 1() 1()(011011kubkubnkubnkubkyakyankyankynnn01110111)(azazazbzbzbzbzWnnnnnnn)() 1()()() 1(ku

7、dkxCykuhkxGkx)(kx) 1( kx离散系统较简单的实现的模拟结构图离散系统较简单的实现的模拟结构图状态空间表达式矢量矩阵形式的离散状态空间表达式矢量矩阵形式的离散状态空间表达式)()()()() 1()()() 1()()() 1()()() 1(01211011232121kuhkxakxakxakxkuhkxkxkuhkxkxkuhkxkxnnnnnnn)()(0001)()()(100001000010) 1(0111210kuhkxkykuhhhhkxaaaakxnnnn匹配系数的求法匹配系数的求法多变量离散状态空间表达式多变量离散状态空间表达式)() 1()()() 1

8、(kuDkxCykuHkxGkx11011110001111niininnnnnnnnnhabhahahabhhabhbh18 时变系统和非线性系统的状态空间表达式时变系统和非线性系统的状态空间表达式一、线性时变系统一、线性时变系统线性时变系统的状态空间表达式线性时变系统的状态空间表达式)()()()()()()()()()(212222111211tatatatatatatatatatAnnnnnn)()()()()()()()()()(212222111211tbtbtbtbtbtbtbtbtbtBnrnnrr)()()()()()()()()()(212222111211tctctctc

9、tctctctctctCmnmmnn)()()()()()()()()()(212222111211tdtdtdtdtdtdtdtdtdtDmrmmrrutDxtCyutBxtAx)()()()(二、非线性系统二、非线性系统非线性系统动态特性的一阶微分方程描述非线性系统动态特性的一阶微分方程描述向量矩阵表示形式：向量矩阵表示形式：时不变非线性系统时不变非线性系统mjtuuuxxxgynituuuxxxfxrnjjrnii,2,1);,;,(,2,1);,;,(21212121),(),(tuxgytuxfx 矢量函数矢量函数),(),(uxgyuxfx 不显含不显含t非线性系统的线性化非线性系

10、统的线性化设设000,yux和是时不变非线性系统的一组解是时不变非线性系统的一组解,即即),(),(000000uxgyuxfx 将将f和和g在在 的邻域作泰勒级数展开的邻域作泰勒级数展开00ux 和),(),(),(),(),(),(0, 00, 0000, 00, 000uxuugxxguxguxguxuufxxfuxfuxfuxuxuxuxnnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111rnnnrrufufufufufufufufufuf212221212111线性化表达式线性化表达式nmmmnnxgxgxgxgxgxgxgxgxgxg212221212111

11、rmmmrrugugugugugugugugugug212221212111uugxxgyyyuufxxfxxxuxuxuxux0, 00, 000, 00, 000, 00, 00, 00, 0uxuxuxuxugDxgCufBxfA；令uDxCyuBxAx例例112试求下列非线性系统22122212212xxyuxxxxxx在在 处的线性化状态空间表达式处的线性化状态空间表达式00 x解解:2212122212122211),(2),(),(xxuxxguxxxuxxfxuxxf0211)31(;1;10020201022022012021011xxxxxxxxxxgxgxxfxfxfxf

12、；0012011100000 xxxxugDxgCufBxfA；由非线性系统的模拟结构图建立状态空间表达式由非线性系统的模拟结构图建立状态空间表达式xyuxx012011101221121;)()(;xyuxxxxx1212211221122110),(),(10)()(xyuxxfxxfuxxxxx由非线性微分方程求取状态空间表达式由非线性微分方程求取状态空间表达式uyyyy)()( dyydFydyyyF)()()(即）（令yyyFdtdydyydFdtydF)()()()(即则121212211121),()(),()(xyuxxfuxxuxxfxFxx 作作 业业n1、P49 17 由状态空间表达式求