控制系统的数学模型及传递函数

1、机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论2-1 2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换的数学方法2-2 2-2 系统的数学模型系统的数学模型 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2-1 2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换的数学方法 一、一、拉氏变换与拉氏及变换的定义拉氏变换与拉氏及变换的定义 二、二、典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换

2、三、三、拉氏变换的性质拉氏变换的性质 四、四、拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量数经拉氏变换后，变成复变量S S的乘积，的乘积，将时间表示的微分方程，变成以将时间表示的微分方程，变成以S S表示表示的代数方程。的代数方程。一、拉氏变换与拉氏及变换的定义一、拉氏变换与拉氏及变换的定义机机 械械 控控 制制 理

3、理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 拉氏变换的定义拉氏变换的定义设有时间函数设有时间函数F(t)F(t)，其中，其中，则则f(t)f(t)的拉氏变换记作：的拉氏变换记作： L L拉氏变换符号；拉氏变换符号；s-s-复变量；复变量； F(s)F(s)象函数。象函数。f(t)f(t)原函数原函数0t 0stdte ) t (f) s (F)t (f L机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 拉氏反变换的定义拉氏反变换的定义将象函数将象函数F(s)F(s)变换成与之相对变换成与之相对应的原函

4、数应的原函数f(t)f(t)的过程的过程 11( ) ( )( )2jwstjwf tLF sF s e dsj机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 1 1、单位阶跃函数、单位阶跃函数 10t10t0t s1es1dte0dte .t10t1L0ststst二、二、典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2 2、单位脉冲函数、单位脉冲函数 0t0t0t0st1dte ) t ()t (L机机 械械 控控 制制 理理

5、论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 3 3、单位斜坡函数、单位斜坡函数 0tt0t0tf 020011stststL ttedtteedtss 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 4 4、指数函数、指数函数 ate00t )as (statatas1edteee L机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 5 5、正弦函数正弦函数sinwtsinwt )ee (j21wtsinjwtjwt0()()0221sin()21(

6、)2111()2jwtjwtstsjw tsjw tLwteeedtjeedtjwj sjwsjwsw机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 6 6、余弦函数余弦函数coswtcoswt )ee (21wtcosjwtjwt22wsswtcosL机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 线线 性性 性性 质质若 有 常 数若 有 常 数 k k1 1， k k2 2, , 函 数函 数f f1 1(t),f(t),f2 2(t),(t),且且f f1 1(t),f(

7、t),f2 2(t)(t)的拉的拉氏变换为氏变换为F F1 1(s),F(s),F2 2(s),(s),则有：则有：此式可由定义证明。此式可由定义证明。 ) s (Fk) s (Fk)t (fk) t (fkL22112211三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 实实数数域域的的位位移移定定理理若若f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则对任一正实则对任一正实数数a a有有, ,其中，当其中，当t0t0时，时，f(t)=0f(t)=0，f(t-a)f(t-a)表表f(

8、t)f(t)延迟时间延迟时间a.a. ) s (Fe)at (f Las机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 复复数数域域的的位位移移定定理理若若f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),对于任一对于任一常数常数a,a,有有)as (F)t (fe Lat机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 微微分分定定理理设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则则其中其中f(0f(0+ +) )由正向使由正向使 时的时的f(t)f

9、(t)值。值。( )( )( )(0 )df tLL f tsF sfdt0t 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 积积分分定定理理 设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则则 其中其中 时的值。时的值。)0(fs1s) s (Fdt) t (fL)1(t0t00tdt) t (f是在机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 初初值值定定理理设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s)F(s)，则函，则函数数f(t)f(t)的初

10、值定理表示为：的初值定理表示为：证明技巧：可利用微分定理来进证明技巧：可利用微分定理来进行证明行证明) s (sFlim) t (flim)0(fs0t机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 终终值值定定理理若若f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则终值则终值定理表示为：定理表示为： 0lim( )lim( )tsf tsF s机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 卷卷积积定定理理设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),g(

11、t)F(s),g(t)的拉的拉氏变换为氏变换为G(s)G(s)， 则有则有 式中，式中，称为称为f(t)f(t)与与g(t)g(t)的卷积。的卷积。 t0Lf(t)g( )dF(s)G(s) t0f(t)g( )df(t) g(t) 机机 械械 控控 制制 理理 论论 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换在已知象函数在已知象函数F(s),F(s),求求f(t)f(t)时，对于简时，对于简单的象函数，可直接查单的象函数，可直接查拉氏变换表拉氏变换表，但对于复杂的，可利用部分分式展开但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之

12、和，函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数总的原函数 。第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 四、四、拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 部分分式展开法部分分式展开法 对于象函数对于象函数F(s),F(s),常可写成如下形式：常可写成如下形式： mm 1mm 10nn 1nn 1012m12nb sbsbB(s)F(s)A(s)a sasak(sz )(sz )(sz )(sp )(

13、sp )(sp )式中，式中，p1,p2p1,p2,pn,pn称为称为F(s)F(s)的极点，的极点， p1,p2p1,p2,pn,pn称为称为F(s)F(s)的零点。的零点。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 F(s)F(s)总能展开成下面的部分分式之和总能展开成下面的部分分式之和 其中，分子为待定系数。其中，分子为待定系数。1 1、F(s)F(s)无重极点的情况无重极点的情况12n12nB(s)kkkA(s)spspspiiiis piB(s)B(p )k(sp )A(s)A(p )机机 械械 控控 制制 理理 论论第二

14、章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 解一解一 求求F(s)F(s)的拉氏变换的拉氏变换 122s3kkF(s)s3s2s1s21s12s3k(s1)2s3s22s22s3k(s2)1s3s2 t2t21F(s)f(t)2ees1s2 例例解解二二 A(s)2s3A( 1)1A( 2)1B( 1)2B( 2)1 12B( 1)B( 2)k2k1A( 1)A( 2) t2t21F(s)f(t)2ees1s2机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 设设F(s)F(s)有有r r个重极点个重极点p p1

15、1, ,其余极点均不相同，则其余极点均不相同，则 2 2、F(s)F(s)有重极点的情况有重极点的情况rn1r 1n11121rr 1nrr 1r111r 1nB(s)B(s)F(s)A(s)a (sp ) (sp)(sp )kkkkk(sp )(sp )(sp )(sp)(sp )1111r111s pr121s p2r131s p2r 1r1r1s pr 1kF(s)(sp )dkF(s)(sp ) ds1 dkF(s)(sp ) 2!ds1dkF(s)(sp ) (r1)!ds1111r111s pr121s p2r131s p2r 1r1r1s pr 1kF(s)(sp )dkF(s)

16、(sp ) ds1 dkF(s)(sp ) 2!ds1dkF(s)(sp ) (r1)!ds机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 解解 例例求求 的拉氏反变换的拉氏反变换 23s2s3F(s)(s1)2131112332as2s3aaF(s)(s1)(s1)(s1)(s1)2311s132312s1322313s123s2s3a(s1)2(s1)d s2s3a(s1) 0ds(s1)1 ds2s3a(s1) 12!ds(s1)12tt2t321f(t)L t ee(t1)e(s1)s1机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第

17、二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2-2 2-2 系统的数学模型系统的数学模型 一、概述一、概述 二、二、系统微分方程的建立系统微分方程的建立 三、传递函数三、传递函数 四、四、方框图及动态系统的构成方框图及动态系统的构成 五、五、信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 一、概述一、概述机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 建立控制系统数学模型的方法建立控制系统数学模型的方法 对系统各部分的运动

18、机理对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。中进行必要的简化。 分析法分析法根据系统对某些典型输入根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为据建立数学模型。即人为施加某种测试信号，记录施加某种测试信号，记录基本输出响应。基本输出响应。 实验法实验法机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 线线性性系系统统与与非非线线性性系系统统1 1、线、线 性性 系系

19、统统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统; 如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统;线性系统线性是指系统满足叠加原理 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 线线性性系系统统与与非非线线性性系系统统2 2、非、非 线线 性性 系系 统统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例，其中，其中,a,b,c,d,a,b,c,d均为常数。均为常数。 ax(t)bx(t)cx(t

20、)dy(t)线性定常系统线性定常系统a(t)x(t)b(t)x(t)c(t)x(t)d(t)y(t)线性时变系统线性时变系统2y(t)x (t)非线性系统非线性系统机机 械械 控控 制制 理理 论论本课程涉及的数学模型形式本课程涉及的数学模型形式 时间域：微分方程（一阶微分方时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程程组）、差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图复数域：传递函数、结构图频率域：频率特性频率域：频率特性 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学

21、模型及传递函数 二、系统微分方程的建立二、系统微分方程的建立1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；元件或系统的输入量和输出量；2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。3）将所有方程联解，消去中间变量，得

22、出系统输入输出的标准方程。）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：所谓标准方程包含三方面的内容：将与输入量有关的各项放在方程的右边，将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；与输出量有关的各项放在方程的左边；各导数项按降幂排列；各导数项按降幂排列；机机 械械 控控 制制 理理 论论 机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写 机械系统中部件的运动有直线和转动机械系统中部件的运动有直线和转动两种。机械系统中以各种形式出现的两种。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和物理现象，都可简化为质量、弹簧和

23、阻尼三个要素。列写其微分方程通常阻尼三个要素。列写其微分方程通常用用达朗贝尔原理。即：作用于每一个达朗贝尔原理。即：作用于每一个质点上的合力，同质点惯性力形成平质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。衡力系。 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2oooi2ddmx (t)Cx (t)Kx (t)f (t)dtdt 例例直线运动（机械平移系统）直线运动（机械平移系统） 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的

24、数学模型及传递函数 例例转动系统转动系统 0020220002( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )KicKciTtKttdT tCtdtdJtTtT tdtddJtCtKtKtdtdt机机 械械 控控 制制 理理 论论电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。学模型。1 1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电）

25、基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于流之代数和应等于0 0（即流出节点的电流之和等（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。于所有流进节点的电流之和）。1 21 2）基尔霍夫电压定律）基尔霍夫电压定律电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。的电压降的代数和。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例0200021( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )iidu iRi tLi ti t dtdtCu ti t dtCdd

26、LCu tRCu tu tu tdtdt机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 小结小结物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究。析研究。 从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。理

27、论中进行实验模拟的基础。 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的中所包含的独立独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。及其参数。 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传

28、递函数控制系统的数学模型及传递函数 三、传递函数三、传递函数传递函数的基本定义传递函数的基本定义 ： 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。变换之比。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 传递函数的一般形式传递函数的一般形式 设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述阶线性常微分方程描述 nn 1mm 1nn 10mm 10nn 1mm 1d y(t)dy(t)d x(t)dx

29、(t)aaa y(t)bbb x(t)dtdtdtdt式中，式中，n mn m，当初始条件全为零时，对上式，当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式： mm 1mm 10nn 1nn 10b sbsbY(s)G(s)X(s)a sasa机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 传递函数的主要特点传递函数的主要特点 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关与大小）无关 G(s)虽然描述了输出

30、与输入之间的关系，但它不提供任何该系虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构统的物理结构 传递函数是复变量传递函数是复变量s的有理真分式函数，的有理真分式函数，mn，且所具有复变量，且所具有复变量函数的所有性质函数的所有性质 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定，可有可无传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定，可有可无 机机 械械 控控 制制 理理 论论 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 具有某种确定信息传递关系的元件、具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个元件组或元件的一部分称为一个环节环节 任何复杂系统可看做由一些基本的环任何复杂系统可

31、看做由一些基本的环节组成，控制系统中常用的典型环节节组成，控制系统中常用的典型环节有：有：比例环节、惯性环节、微分环节、积比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等分环节、振荡环节和延迟环节等 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 1 1、比例环节、比例环节输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：其运动方程为：x xo o(t)=Kx(t)=Kxi i(t) (t)

32、 拉氏变换为：拉氏变换为：X Xo o(s)=KX(s)=KXi i(s)(s)x xo o( (t t) )、x xi i( (t t) )分别为环节的输出和输入量；分别为环节的输出和输入量；K K比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量与输入量之比。与输入量之比。比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 oiX (s)G(s)KX (s)机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例求图示一齿轮传动副的传递函数求图示一齿轮传动副的传递函数, , 分别为输入轴分别为输入轴及输出

33、轴转速及输出轴转速,Z,Z1 1和和Z Z2 2为齿轮齿数为齿轮齿数,(,(当齿轮副无传当齿轮副无传动间隙动间隙, ,且传动系统刚性无穷大时且传动系统刚性无穷大时, ,为理想状态为理想状态).). 其拉换变换：其拉换变换：因为：因为：1i2oz n (t)z n (t)1i2oz N (s)z N (s)o1i2N (s)zG(s)KN (s)z机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2 2、惯性环节（非周期环节）惯性环节（非周期环节） 凡运动方程为一节微分方程：凡运动方程为一节微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：形

34、式的环节称为惯性环节。其传递函数为：式中式中: K: K环节增益（放大系数）；环节增益（放大系数）； T T时间常数，表征环节的惯性，和环节结构时间常数，表征环节的惯性，和环节结构 参数有关参数有关00( )( )( )idTx tx tKx tdt0( )( )( )1iXsKG sXsTs机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例此环节与比例环节相比，不能立即复现输出，而需要一定的时间。此环节与比例环节相比，不能立即复现输出，而需要一定的时间。说此环节具有说此环节具有“惯性惯性”，这是因为其中含有储能元件，这是因为其中含有

35、储能元件K K与阻能元件与阻能元件C C的原因。惯性大小由的原因。惯性大小由T T来决定。来决定。 KCT,1Ts1KCsK) s (G) t (Kx) t (Kxdt) t (dxCi00如：弹簧阻尼器环节如：弹簧阻尼器环节机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 3 3、微分环节、微分环节 输出量正比于输入量的微分。输出量正比于输入量的微分。运动方程为：运动方程为：传递函数为：传递函数为：式中：式中：微分环节的时间常数微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节

36、一起出现一起出现 0( )( )idx tx tdt0( )( )( )iXsG ssX s机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 4 4、积分环节、积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。输出量正比于输入量对时间的积分。运动方程为：运动方程为：传递函数为：传递函数为：式中，式中，T积分环节的时间常数。积分环节的时间常数。001( )( )tix tx t dtT0( )1( )( )iXsG sX sTs机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 5 5、振荡环节

37、、振荡环节 是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，其运动方程为够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，其运动方程为 传递函数：传递函数：220002( )2( )( )( ) , 0 1iddTx tTx tx tKx tdtdt022( )( )( )21iXsKG sX sT sTs机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 6 6、延迟环节（也称传输滞后环节）、延迟环节（也称传输滞后环节） 运动方程：运动方程：传递函数：传

38、递函数：式中，式中， 为纯延迟时间。为纯延迟时间。 )t (x) t (xi0se) s (G其输出滞后输入时间其输出滞后输入时间，但不失真地反映输入，延，但不失真地反映输入，延迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。 机机 械械 控控 制制 理理 论论延迟环节与惯性环节的区别延迟环节与惯性环节的区别 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 惯性环节从输入开始时刻起就已有输惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；间才接近所要求的输出值；延迟环节从输

39、入开始之初，在延迟环节从输入开始之初，在0 时间内时间内, ,没有输出，但没有输出，但t=之后，输出之后，输出完全等于输入。完全等于输入。 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 四四、方块图及动态系统的构成方块图及动态系统的构成1、方框图 系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 方框图的结构要素方框图的结构要素 信号引出点（线）：信号引出点（

40、线）：表示信号引出或测量的位置和传递方向。同表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 函数方框（环节）：函数方框（环节）：方框代表一个环节，箭头代表输入输出。方框代表一个环节，箭头代表输入输出。 表示输入到输出单向传输间的函数关系。表示输入到输出单向传输间的函数关系。信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。记信号的时间函数或象函数。 求和点（比较点、综合点）：求和点（比较点、综合点）：两个或两个以上的输入信号进行

41、两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。加减比较的元件。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 G G( (s s) )R R( (s s) )C C( (s s) )图图2 2- -1 14 4 方方块块图图中中的的方方块块信信号号线线方方块块r(t)c(t)图图2 2- -1 16 6 分分支支点点示示意意图图P P( (s s) )P P( (s s) )R R( (s s) )C C( (s s) )(1sG)(2sG分支点分支点+ +1 11 1+ +2 22 2+ +求和点求和点进行相加减的量，必须具有相同的量纲

42、进行相加减的量，必须具有相同的量纲机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 相邻求和点可以互换、合并、分解相邻求和点可以互换、合并、分解相邻分支点可以互换相邻分支点可以互换求和点可以有多个输入，但输出是唯一的求和点可以有多个输入，但输出是唯一的 机机 械械 控控 制制 理理 论论 用方框图表示系统的优点用方框图表示系统的优点只要依据信号的流向，将各环节只要依据信号的流向，将各环节的方框连接起来，便可组成整个的方框连接起来，便可组成整个系统，简便，直观。系统，简便，直观。通过方框图，可提示和评价每一通过方框图，可提示和评价每一个环节

43、对系统的影响。个环节对系统的影响。第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 动态系统的构成动态系统的构成 串联连接串联连接 并联连接并联连接 反馈连接反馈连接机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。 )()()()()()()()()()()()()()()()(123231212211sRsGsGsGsUs

44、GsCsRsGsGsUsGsUsRsGsU123( )( )( )( )( )( )C sG s G s G sG sR sR R( (s s) )G G( (s s) )C C( (s s) )（b b） （1 1）串联连接）串联连接 R R( (s s) )C C( (s s) )（a a）)(1sU)(2sU)(1sG)(2sG)(3sGniisGsG1)()(结论：串联环节的等效传递函数结论：串联环节的等效传递函数 等于所有传递函数的乘积。等于所有传递函数的乘积。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 G G( (s s

45、) )（b b）R R( (s s) )C C( (s s) )特点：各环节的输入信号是相同的，输出特点：各环节的输入信号是相同的，输出C(s)为各环节的输出之和为各环节的输出之和（2）并联连接（ a a）R R( (s s) )C C( (s s) )(2sG)(1sG)(3sG)(2sC)(1sC)(3sC)()()()()()()()()()()()()()(321321321sRsGsGsGsRsGsRsGsRsGsCsCsCsC)()()()()()(321sGsGsGsGsRsC结论：并联环节的等效传递函数等于结论：并联环节的等效传递函数等于 所有并联环节传递函数的代数所有并联环节

46、传递函数的代数 和。和。)()(1sGsGnii机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 （3）反馈连接 （a a）C C( (s s) )R R( (s s) )G(s)H(s)E E( (s s) )B B( (s s) ) s (H) s (G1) s (G) s (C) s (H) s (G) s (C) s (C) s (B) s (E) s (C) s (R) s (C) s () s (C) s (H) s (B) s (B) s (R) s (E) s (E) s (G) s (C机机 械械 控控 制制 理理 论论

47、第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 方框图的简化是通过方框图的等效变换和方框图的运算法则来实现的。 等效变换主要是通过变换相加点和分支点的位置来实现的，变换中主要等效变换主要是通过变换相加点和分支点的位置来实现的，变换中主要掌握好如下两点：掌握好如下两点：前向通道中各传递函数的乘积不变；前向通道中各传递函数的乘积不变；回路中传递回路中传递 函数的乘积不变；函数的乘积不变； 通过等效变换将方框图变换成具有串联，并联和局部反馈连接的结构图通过等效变换将方框图变换成具有串联，并联和局部反馈连接的结构图G1( )R s( )C sG2G1 G2( )R s( )C

48、sG1( )R s( )C sG2G( )R s( )C sH( )R s( )C sG1 G2( )R s( )C s1GGH机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 求和点的移动求和点的移动 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 五、五、信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 节点：表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和节点：表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和支路：连接两个节点的定向线段，用传递函数表示方程式中两个变量的