导数的四则运算

1、一、导数的四则运算一、导数的四则运算5.2 5.2 求导法则求导法则 导数很有用，但全凭定义来计算导 四、基本求导法则与四、基本求导法则与公式 三、复合函数的导数三、复合函数的导数 二、反函数的导数二、反函数的导数求导法则, 使导数运算变得较为简便.数是不方便的. 为此要建立一些有效的一、导数的四则运算一、导数的四则运算000( ( )( )()().(1)x xu xv xu xv x 在点在点 x0 也可导也可导, , 且且( )( )( )f xu xv x00000( ( ) ( )() ()() ().(2)x xu x v xu x v xu x v x 推论推论 若若 u (x)

2、 在点在点 x0 可导可导, ,c 是常数是常数，则则 在点在点 x0 也可导也可导, , 且且( )( ) ( )f xu x v x 定理定理 2 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导, , 则函数则函数( ), ( )u x v x定理定理 1 若函数若函数 在点在点 x0 可导可导, , 则函数则函数( ), ( )u x v x( )().( )003xxcu xcux ().uvwu vwuv wuvw 定理定理 2 可推广到任意有限个函数相乘的情形可推广到任意有限个函数相乘的情形, , 如如 下面证明乘积公式下面证明乘积公式 (2), 请读者自行证明公式请读者自行证明公式 (1

3、) .() ()() ()()lim000000 xu xx v xxu xv xfxx 00000( ) ( )() ( )limxu xx v xxu xv xxx 证证 (2) 按定义可得按定义可得 0000() ()() ()u xv xxu xv xx 0000()()lim()xu xxu xv xxx 注意注意: ,: ,千万不要把导数乘积公式千万不要把导数乘积公式 (2)()uvu v 记错了记错了. .0000() ()()().u xv xu xv x 0000()()lim()xv xxv xu xx 例例1 1011( ).nnnnf xa xa xaxa 求求的的导导

4、数数1011( )()()()() nnnnfxa xa xaxa解解 因此因此, 对于多项式对于多项式 f 而言而言, 总是比总是比 f 低一个幂次低一个幂次. .f 例例2 sinln.yxxx 求求在在处处的的导导数数解解 由公式由公式 (2)，得，得 12011(1). nnnna xna xaln.xy 1(sin ) lnsin (ln )coslnsin,yxxxxxxxx 0000020() ()() ()( ).(4)( )()x xu x v xu x v xu xv xvx 在点在点 x0 也可导也可导，且且( )( )( )u xf xv x 则则定理定理3 若函数若函

5、数 在点在点 x0 可导可导, ,( ), ( )u x v x0()0,v x 证证1( )( )( ) ( ).( ),( )g xf xu x g xg xv x 设设，则则对对有有000011( )()( )()v xxv xg xxg xxx 0000( )()1.( )()v xxv xxv xxv x 由于由于 在点在点 x0 可导可导, , 因此因此0()0,v x ( )v x对对 应用公式应用公式 (2) 和和 (5), 得得( )( ) ( )f xu x g x 0000200()()()()lim,()xg xxg xv xg xxvx 0020()1.( )()x

6、xv xv xvx 亦亦即即(5)00000()() ()()() ,fxu xg xu xg x 0000020() ()() ()( ).( )()x xu xv xu xv xu xv xvx 即即例例3 求下列函数的导数：求下列函数的导数：22222cossin1sec.coscosxxxxx (i),;nxn 是是正正整整数数(ii) tan, cot;xx(iii) sec , csc.xx解解1121(i) ().nnnnnnxxnxxx 2sin(sin ) cossin (cos )(ii) (tan )coscosxxxxxxxx 同理可得同理可得 sectan .xx 2

7、21(cos )sin(iii)(sec)coscoscosxxxxxx (csc )csccot .xxx 221(cot)csc.sinxxx 同理可得同理可得001().(6)()fxy 证证00,xxxyyy 设设则则00()(),xyyy 00()() .yf xxf x 定理定理 4 设设 为为 的反函数，在的反函数，在( )yf x ( )xy 由由假设假设, , 在点在点1f 0 x的某邻域内连续的某邻域内连续, ,且严格且严格二、反函数的导数二、反函数的导数f00()xy 则则 在点在点 可导可导, 且且0y0()0,y 点点 的某邻域内连续，严格单调的某邻域内连续，严格单调

8、, 且且00;00.xyxy 000011lim.()limxyyfxxxyy 例例4 求下列函数的导数：求下列函数的导数：,0)(0 y 便可证得便可证得注意到注意到单调单调, , 从而有从而有(i) arcsinarccos;xx和和(ii) arctanarccot.xx和和解解(i)arcsin ,( 1, 1)sinyxxxy 是是在在2111(arcsin ),( 1,1).(sin )cos1xxyyx 21,(arccos ),( 1, 1).1xxx 同同理理上的反函数，故上的反函数，故()22 ，yyyx22tan11sec1)(tan1)(arctan ).,(,112

9、xx同理有同理有21(arccot ),1xx (,).x 的反函数，故的反函数，故(ii)arctantanyxxy 是是在在上上()22 ，定理定理 5 0( )( )uxxyf u 设设在在点点可可导导，在在点点00()uxf 可可导导，则则复复合合函函数数在点在点 x0 可可这个定理一般用有限增量公式来证明这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与但为了与 00000() ()()()()(). (7)fxfuxfxx 导，导，且且三、复合函数的导数三、复合函数的导数证法证法, 为此需要先证明一个引理为此需要先证明一个引理.今后学习向量函数相联系今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新

10、的这里采用另一种新的引理引理 f 在点在点 x0 可导的充要条件是可导的充要条件是: : 在在 x0 的的某邻某邻00()( ),U xxH x域域上上存存在在一一个个在在连连续续的的函函数数使使证证 设设 f (x) 在点在点 x0 可导可导, , 且令且令00000( )(),()( )(),.f xf xxUxxxH xxxfx 00()().fxH x 且且),)()()(00 xxxHxfxf 000000( )()lim( )lim()(),xxxxf xf xH xfxH xxx 因因0( )H xx故故在在连连续续，且且00,( ) (),H xxU xx 反反之之设设存存在在

11、在在点点连连续续且且000( )()( )(),() .f xf xH xxxxU x ),()(limlim00000 xHxHxxxfxfxxxx 得得 f (x) 在点在点 x0 可导可导, ,).()(00 xHxf 且且下面证明定理下面证明定理 5 ( 公式公式 (7) ) .).(),)()()(000 xUxxxxHxfxf 根据极限根据极限),(0uFu 连续的函数连续的函数个在点个在点且且使使)()(00uFuf 同理，同理，,)(0可可导导在在点点 xxu 则存在一个在点则存在一个在点 x0).(),)()()(000uUxuuuFufuf 0000( )()( )(),(

12、).uuxxxxxxU x 于是当于是当 有有),(0 xUx 由引理的必要性由引理的必要性,)(0可导可导在点在点及及uuf知存在一知存在一(),x 00()(),xx 使使且且连续的函连续的函数数00( ( )( ()( ( ) ( )().fxfxFxxx x 公式公式(7)改写为改写为00000()( ()()()().H xFxxfux ddd,dddxyuyux 0,x 由由于于在在点点连连续续)(00 xuF 在点在点连续，连续，0( )( ( )( ).H xFxxx 所所以以在在点点连连续续根据引根据引 理的充分性理的充分性,0,fx 在点可导 且在点可导 且)()(0 xf

13、 ( ),( ),yf u ux 其其中中这样就容易理解这样就容易理解 “链链” 的的复合函数求导公式复合函数求导公式 (7) 又称为又称为 “链式法链式法则则”.若将若将( ( ( )( ( )( ).fxfxx 与的不同含义与的不同含义例例5.sin2yxy 的导数的导数求函数求函数在链式法则中一定要区分在链式法则中一定要区分( )( ( )( )|uxfxfu 22dd d(sin ) ()cos22 cos.dd dyyuuxuxxxxu x 意义了意义了.解解分解成分解成 这两个这两个2sinyx 将将2sinyuux与与于是由链式法则于是由链式法则, 有有基本初等函数的复合，基本初

14、等函数的复合，例例6(,0 ).yxx 求求幂幂函函数数是是实实数数的的导导数数解解lneelnxuyxyux 由由与与复合而成复合而成,ln1()(e)e.xuxxx 故故例例7求下列函数的导数求下列函数的导数: :2(i)1;x 21(ii);1x 2(iii) ln(1).xx 解解 运用复合求导法则运用复合求导法则, , 分别计算如下分别计算如下: :122221(i)()(1)(1)12xxx 2.1xx 23 22211(ii)(1)(1)21xxx 2 3.(1)xx 2(iii)ln(1)xx 221( 1)11xxxx221(1)1xxxx 21.1x 例例8 8 求下列函数

15、的导数求下列函数的导数: :21(i)( )arctan(tan) ;332xf x 1,0,1e(ii)( )0,0.xxxg xx 解解222111(i)( )sec133221tan92xfxx 2211.54cos9cossin22xxx (ii)0 x 当时,当时,111211ee( ).(1e)xxxxg x 0 x 当当时时, ,因因为为101(0)lim00,1exxxgx 所以所以 在在 处不可导处不可导. .g0 x 101(0)lim01,1exxxgx 化某些连乘、连除式的求导化某些连乘、连除式的求导.( )( )ln ( )( )ln ( )( ( )(e)e( (

16、)ln ( )v xv xu xv xu xu xv xu x ( )( )( )( )ln ( )( ).( )v xu xu xv xu xv xu x 例例923142 5(1) (2),.(59)xxyyx 设设求求对数求导法对数求导法( )0,( )u xu x 设设 均可导均可导, 则则( )v x与与( )( )v xu x对数求导法不仅对幂指函数对数求导法不仅对幂指函数有效有效, ,也能简也能简解解 先对函数两边取对数先对函数两边取对数, 得得再对上式两边求导再对上式两边求导, 又得又得于是得到于是得到).95ln(52)2ln(41)1ln(3ln2 xxxy26125.4(2)5591yxyxxx 2314225(1) (2)612.4(2)59(59)1xxxyxxxx 求导法则：求导法则：);()( ,)()2(为常数为常数cuccuvuvuuv d1(4);dddyxxy 反反函函数数的的导导数数;1,)3(22vvvvvuvuvu ;)()1(vuvu 四、基本求导法则与公式四、基本求导法则与公式基本初等函数的导数公式：基本初等函数的导数公式：(1)( )0 ();cc 为为