第二节二重积分的计算法(一)

1、第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法一、直角坐标系下的计算法一、直角坐标系下的计算法二、极坐标系下的计算法二、极坐标系下的计算法为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积以以曲曲面面为为底底，的的值值等等于于以以),( ),(yxfzDdyxfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积体求体积”的方法的方法, ,axb),( yxfzzyxVdyxfD ),( badxxA)()(xA基本思路：化为定积分基本思路：化为定积分 一、一、 直角坐标系下的计算法直角坐标系下的计算法.yxoab)(2xy)(1xyDyxoabD)(1xy)(2xyyxoabD)(2xy

2、)(1xy1. X型积分区域型积分区域D: 1(x)y 2(x) , a xb 特点特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y轴的直线与区域边轴的直线与区域边界相交不多于两个交点界相交不多于两个交点.zxoaby),(yxfz )(2xy)(1xyx+dxxdyyxfxx )()(21),( A( x) Ddyxf ),( ),( )()(21 baxxdyyxfdx A( x) 1(x) 2(x)z=f (x, y)yz baxxdxdyyxf),( )()(21 Ddyxf ),( badxxA)(后积分的先定限后积分的先定限, ,先积分的后定限先积分的后定限, ,限内作条线限内作条线,

3、,先交的为下限先交的为下限, ,后交的为上限。后交的为上限。 ),( )()(21 baxxdyyxfdx Ddyxf ),(D是是X型区域，二重积分化为先对型区域，二重积分化为先对y， 后对后对x的二次积分。的二次积分。关键：确定各积分变量的积分限。关键：确定各积分变量的积分限。例例1,d Dxy 计算计算其中其中D为为y2 =x 和和y =x2 所围的闭区域所围的闭区域.yxoy=x2 xy 11解解: : D D为为X型区域型区域 102dd d xxDyxyxxy xyxxxd21022 xxxd)(211052 10636321 xx121 xyxxD 2, 102. Y型积分区域型

4、积分区域D： 1(y)x 2(y) , c ydyxocdDx= 1( y)x= 2( y)yxoDx= 1( y)x= 2( y)cd dcyyDyxyxfyxfdd),( d),()()(21 dcyyxyxfy)()(21d),(d yxocdDx= 1( y)x= 2( y)后积分的先定限后积分的先定限, ,先积分的后定限先积分的后定限, ,限内作条线限内作条线, ,先交的为下限先交的为下限, ,后交的为上限。后交的为上限。D是是Y 型区域，二重积分化为先对型区域，二重积分化为先对x， 后对后对y的二次积分。的二次积分。关键：确定各积分变量的积分限。关键：确定各积分变量的积分限。 d)

5、,( Dyxf dcyyxyxfy)()(21d),(d yxox=y2 yx 11D D也为也为Y型区域型区域 10dd d 2xxyyxyyyD 121 例例1,d Dxy 计算计算其中其中D为为y2 =x 和和y =x2 所围的闭区域所围的闭区域. yxyyD 2, 10例例2,2 Dydx计算计算其中其中D为由为由 x=0 和和 y=0 及及 y = 2 2x所围成闭域所围成闭域. .y yx xo o2 21 1y y = 2= 2 2 2x x解解: : D为为X型区域型区域 1022022dd dyyxxyxxD xyxxd21022022 xxxxd )484(2110432

6、105435423421 xxx151 yxo2121yxD也为也为Y型区型区域域 2021022dd dxyxyyxyD 151 xyo X型区域的特点：型区域的特点： 穿过区域且平行于穿过区域且平行于y y轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. . Y型区域的特点：型区域的特点：穿过区域且平行于穿过区域且平行于x x轴的轴的直线与区域边界相交不多于两个交点直线与区域边界相交不多于两个交点. .3. 若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321DDDD 则必须分割则必须分割.y yx

7、xo oyx1x= =y 例例3 计算计算 2112222dddyyDxyxyyx ,d22 Dyx 其中其中D由由y =2, y=x及及xy=1所围闭区域所围闭区域2 21 1解解: D为为Y型区域型区域 21132d31yxyyy 215d)1(31yyy214241231 yy19281 若先对若先对y再对再对x积分积分 21ddd 222222DDDyxyxyx 212221212122ddddxxyyxxyyxx19281 yxo21xy1x=y21D1D2 D也为也为X型区域型区域例例4 改换二次积分改换二次积分 xyyxfx010d),(d的积分次序的积分次序.解：解： D：0y

8、 x, 0 x 1D D1 1y yy y= =x xx x0 01 1 xyyxfx010d),(dyxyxfDdd),( 110d),(dyxyxfy例例5 改换二次积分改换二次积分 22010),(yydxyxfdy的积分次序的积分次序. .解：解：10,20:2 yyyxD22yyx D D1 1y yx x2 21 10 0 x2+ ( y 1 )2= 1211xy 22010),(yydxyxfdydxdyyxfD ),( 111102)(xdyx,yfdx 1210sinxdyydx计计算算yxoy=xy=1x=0D解解区域区域D既是既是X型，又是型，又是Y型的型的可积，可积，由

9、一元积分学知由一元积分学知 102sin dyy但但siny2的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数原积分不能直接得到原积分不能直接得到Idyydxx 1210sin ydxydy0210sin 102sindyyy 1cos121 先交换交换顺序先交换交换顺序例例6,22dxdyexIDy 计计算算围围成成。为为其其中中xyyxD , 1,0yxoy=xy=1x=0D解解区域区域D既是既是X型，又是型，又是Y型的型的。的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数2ye yydxexdyI02102 313102yoyxdye 1022261ydeyye3161 例例7求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的求两个底面半径相等的直交圆柱所围成立体的