多边形的外角和 (2)

1、多边形的内角和与外角和多边形的内角和与外角和第二课时第二课时问题的指出问题的指出 大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持大家清晨跑步吗？小明就有每天坚持跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是跑步的好习惯，他怎样跑步呢？右图就是小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，小明清晨沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步的效果图按逆时针方向跑步的效果图. 请你观察并请你观察并思考如下几个问题思考如下几个问题:(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？在图中标出它们体转过的角是哪个角？在图中标出它们.123ABCDE45(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之

2、和是多少？他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？(3)在上图中，你能求出在上图中，你能求出1+2+3+4+5的大小的大小吗？你是怎样得到的？吗？你是怎样得到的？ 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做成的角叫做这个多边形的外角这个多边形的外角。CABD1234 在每个顶点处取这个多在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的叫做这个多边形的外角和外角和。如：四边形如：四边形ABCD的外角和是的外角和是1+1+2+2+3+3+4 4 如图如图(1)四边形四边形ABCD，1、2、3、4分别分别是四个外角，

3、求：是四个外角，求：1+2+3+4的度数的度数.CABD1234因为因为1+DAB1+DAB2+CBA2+CBA3+DCB3+DCB4+ADC4+ADC180180 所以所以1+2+3+4=360.又因为又因为DAB+CBA+DCB+ADC=360（四边形内角和等于（四边形内角和等于360）四边形的外角和等于四边形的外角和等于360. 探索探索: :分别求出下列多边形的外角和的度数分别求出下列多边形的外角和的度数.360 360 360 360 321432154321654321多边形的多边形的外角和外角和多边形的多边形的内角和内角和多边形的多边形的内角与外内角与外角的总和角的总和n543多

4、边形的多边形的边数边数3180540(n2)180n18041807205180900180360540360360360360结论结论：n边形的内角与外角的总和为边形的内角与外角的总和为n180； n边形的内角和为边形的内角和为(n-2)180；那么多边形的外角和为那么多边形的外角和为 n180(n2)180因此，因此，任意多边形的外角和都为任意多边形的外角和都为360.注：多边形的外角和与边数无关注：多边形的外角和与边数无关. =n180n180+360=360例例1一个多边形的内角和等于它的一个多边形的内角和等于它的外角和的外角和的3倍，它是几边形倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是解：

5、设这个多边形是n边形，则它的内角和是边形，则它的内角和是 例题赏析例题赏析(n2)180,外角和等于外角和等于360，所以：所以：(n2)180=3360解得：解得：n=8答答: :这个多边形是八边形这个多边形是八边形. 例例2 一个正多边形的一个内角比相邻外角大一个正多边形的一个内角比相邻外角大36，求，求这个正多边形的边数这个正多边形的边数.分析分析 正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都正多边形的各个内角都相等，那么各个外角也都相等，而多边形的外角和是相等，而多边形的外角和是360.设一个外角为设一个外角为x，则内角为，则内角为(x+36)因为多边形的内角与相邻的外角互补；因为多边形

6、的内角与相邻的外角互补；所以所以 x+x+36=180解得解得 x=7236072=5答答 这个多边形的五边形这个多边形的五边形.解解练习：练习：1.一个多边形的外角都是一个多边形的外角都是45，则这个，则这个多边形是几边形？多边形是几边形？2多边形的每个外角都是相邻内角多边形的每个外角都是相邻内角的的 ，则此多边形是几边形？内角和、，则此多边形是几边形？内角和、外角和分别是多少？外角和分别是多少？ 13例例3 (1)四边形有几条对角线？四边形有几条对角线？(2)五边形有几条对角线？六边五边形有几条对角线？六边形呢？形呢？n边形呢？边形呢？(1)四边形有两条对角线，四边形有两条对角线，(2)如

7、图，以如图，以A为为端端点的对角线有两条点的对角线有两条AC、AD同样以同样以B为端点的对角线也有为端点的对角线也有2条，以条，以C为端点也有为端点也有2条，但条，但AC与与CA是同一条线段，以是同一条线段，以D为端点的两条为端点的两条DA、DB与与AD、BD分别表示同一条线段，所以只有分别表示同一条线段，所以只有5条，以此条，以此类推六边形有类推六边形有9条对角线，从以上分析可知从条对角线，从以上分析可知从n边形的边形的一个顶点引对角线，可以引一个顶点引对角线，可以引(n3)条，那么条，那么n个顶点个顶点就有就有n(n3)条，但其中每一条都重复计算一次，所条，但其中每一条都重复计算一次，所以

8、以n边形一共有边形一共有 条对角线条对角线.n(n3)2ABDEC解解:例例4 已知多边形的内角和等于已知多边形的内角和等于1440，求求(1)这个多边形的边数，这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数总对角线条数.答答 这个多边形是十边形，过一个顶点的这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有对角线有7条，共有条，共有35条对角线条对角线.(1)(n2)180=1440(2)n3=103=7(3)n(n3)210(103)235n=10解解 设这个多边形是设这个多边形是n边形边形1、一个十边形的每一个内角都相等，、一个十边形的每一个内角都相等，

9、那么这个十边形的每一外角等于那么这个十边形的每一外角等于( )A、144 B、 72 C、 36 D 、182、一个多边形每一个外角都等于、一个多边形每一个外角都等于45，则这个多边形的内角和等于则这个多边形的内角和等于( )A、 720 B、 675 C、 1080D、945CC巩固练习：巩固练习：3若一个凸多边形的内角和等于它的外角若一个凸多边形的内角和等于它的外角和，则它的边数是和，则它的边数是_4如果一个多边形的每一个外角都相等，如果一个多边形的每一个外角都相等，并且它的内角和为并且它的内角和为2880，那么它的内角为，那么它的内角为_5一个多边形的每个外角都是一个多边形的每个外角都是

10、12，则这，则这个多边形是个多边形是_边形边形6正正n边形的一个内角为边形的一个内角为120,那么那么n为为( ) A5 B6 C7 D8 自测题自测题:416030B在四边形的四个内角中，最多能有几个在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？钝角？最多能有几个锐角？ 解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角解：最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.思考题思考题设四边形的四个内角的度数分别为：设四边形的四个内角的度数分别为：,则则+=360，理由是：理由是：、的值最多能有三个大于的值最多能有三个大于90，否则否则、都大于都大于90.+360.同理最多能有三个角小于同理最多能有三个角

11、小于90. 课堂练习课堂练习:1.一个多边形的外角都等于一个多边形的外角都等于60，这个多边形，这个多边形是是几几边形？边形？ 解：因为多边形的外角和等于解：因为多边形的外角和等于360，所以根据题意，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：可知道这个多边形的边数是：36060=6 .答答: :这个多边形是六边形这个多边形是六边形. 2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？形？为什么？ 解：设这个正多边形的一个内角为解：设这个正多边形的一个内角为x， 由题图得：由题图得：3x=360. x=120. 再根据多边形的内角和公式得：再根据多边形的内角和公式得： n120=(n2)180. 解得解得n=6 . 答答:(略略)多边形的外角和都等于多边形的外角和都等于360 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个成的角叫做这个多边形的外角多边形的外角. 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，在每个顶点处取这