42信号频域分析周期信号频域分析

1、12 3 ，将信号表示为不同频率，将信号表示为不同频率的线性组合，为不同信号之间进行比较的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。提供了途径。，已知单频正弦信号激励下的，已知单频正弦信号激励下的响应，利用响应，利用可求得多个不同频率可求得多个不同频率正弦正弦信号信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。过系统后，是衰减还是增强一目了然。4 周期信号周期信号f(t)可以分解为可以分解为不同频率虚指数信号不同频率虚指数信号之和之和 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频

2、率变化的规律，称的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数频谱函数。tnnnCtf0j=e )( 不同的时域信号，只是不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数傅里叶级数的系数Cn不同，不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。5 直接画出信号各次谐波对应的直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图线状分布图形，这种图形称为信号的形，这种图形称为信号的频谱图频谱图。nnnCCje幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱6At)(tfT-T0例例1 周期矩形脉冲信号的周期矩形脉冲信号的频谱图频谱图nC0nTA /T/2022)2(Sa0nTACn7例例2 2

3、 已知连续周期信号的频谱如图，试写出已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的信号的Fourier级数表示式。级数表示式。40C31C12C23C由图可知由图可知tnnnCtf0je)()ee (2)ee ()ee ( 34000000j3j3j2j2jjtttttt)3cos(4)2cos(2)cos(64000ttt2nCn01123343311228周期信号的频谱是由周期信号的频谱是由的谱线组成的。的谱线组成的。 信号周期信号周期T越大，越大， 0就越小，则谱线越密。就越小，则谱线越密。反之，反之，T越小，越小， 0越大，谱线则越疏。越大，谱线则越疏。910 02 / 这段频率范围称为周期

4、矩形脉冲信号这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的的, ,即即 2B即即 越大，其越大，其 B越小；反之，越小；反之， 越小，其越小，其 B 越大。越大。11 物理意义：物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配匹配”。12幅频不变，零相位幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变幅频为常数，相位不变132222d)(1nnT

5、TCttfTP 物理意义：物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。 周期信号的功率频谱周期信号的功率频谱： |Cn|2 随随n 0 分布情况称为分布情况称为周期信号的周期信号的功率频谱功率频谱，简称，简称功率谱功率谱。 帕什瓦尔帕什瓦尔( (Parseval) )功率守恒定理功率守恒定理14例例3 3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 / )内内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比

6、。其中的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 解：解： 周期矩形脉冲的傅里叶系数为周期矩形脉冲的傅里叶系数为 )2(Sa0nTACn将将A=1，T=1/4， = 1/20， 0= 2 /T = 8 代入上式代入上式)5/(Sa2 . 0)40/(Sa2 . 00nnCn22TAtT)(tf15例例3 3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /t)内内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 包含在包含在有效带宽有效带宽(0 2 / )内的各谐波

7、平均功率为内的各谐波平均功率为41=22044=21 |2 |nnnnCCCP1806. 0%90200. 01806. 01PP信号的信号的平均功率平均功率为为2 . 0d)(12/2/2TTttfTP22TAtT)(tf16例例3 3 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02 /t)内内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中的百分比。其中A=1，T=1/4， =1/20。 2nC0n84040251周期信号的周期信号的功率谱功率谱 )5(Sa25122nCn22TAtT)(tf)5/(Sa2 . 0n

8、Cn17 tttttf0000j2jjj2e2e34e3e2)(求求f (t)的功率。的功率。22/2/2d)(1nnTTCttfTP40C31C22C422343222222Ptttf002cos4cos64)(424216214222P18 用有限次谐波分量来近似原信号，用有限次谐波分量来近似原信号，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且且 。 时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在在傅里叶级数出现傅里叶级数出现。 19-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-

9、1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.60.811.2N=5N=15N=50N=5002021 22mkNNmWmFNmFkf1)(IDFS10mkNNkWkfkfmF)(DFS10 IDFS DFSNNW2je式中23 周期为周期为N的任意序列可分解为基本序列的任意序列可分解为基本序列mkN2je的和的和mkNNmemFNmFkf2j101)(IDFSmFkf一一对应24mkNNNkNWkkmFDFS1025周

10、期序列周期序列 fk = cos( k/6) 的频谱的频谱12/2 j12/2 j21e21kkekfkkWW1212661211, 65016mmmmF0,102011, 16mmmmF11m6023Fm111126当当m=0, N, 2N, 时有时有Mk10fkMNNMNMN+MkmNMMkemF2jmNMmNmMNee2j) 1(2j2je1NmMNmsin12sin12 MmF27- 3 0- 2 0- 1 001 02 03 0- 1012345mF m - 3 0- 2 0- 1 001 02 03 0- 5051 01 52 02 5mF m N=30M=2N=30 M=1228DFSDFSDFS2121kfbkfakbfkaf29 1 4 k f k 0 1 2 3 DFSmFWnkfmnNDFSlmFkfWlkNk-4 -3 -2 -1012345674kf30DFSmFkfDFSmFkf fk为实序列为实序列mFmF fk为偶对称实序列为偶对称实序列 fk为奇对称实序列为奇对称实序列Fm为奇对称虚序列为奇对称虚序列 (实部为零实部为零) Fm为偶对称实序列为偶对称实序列310 1 2 3kN=40 1 2 3kN=54偶对称kNfkfkf奇对称