材料力学 第九章

1、12391 概述概述 92 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图93 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律94 圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转横截面上的应力95 极惯性矩与抗扭截面系数极惯性矩与抗扭截面系数96 圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件97 圆轴扭转的变形圆轴扭转的变形 刚度条件刚度条件第九章第九章 扭扭 转转 45受扭转载荷的构件受扭转载荷的构件16 受扭转载荷的构件受扭转载荷的构件2汽车中的转向轴汽车中的转向轴7受扭转载荷的构件受扭转载荷的构件3机器中的传动轴机器中的传动轴8 受扭转载荷的构件受扭转载荷的构件4991 引引 言言

2、 轴：轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、 石油钻机中的钻杆等。石油钻机中的钻杆等。扭转：扭转：外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线外力的合力为一力偶，且力偶的作用面与直杆的轴线 垂直，杆发生的变形为扭转变形。垂直，杆发生的变形为扭转变形。ABOmmOBA10扭转角（扭转角（ ）：）：任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。剪应变（剪应变（ ）：）：直角的改变量。直角的改变量。mmOBA11工工 程程 实实 例例1292 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩 扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、

3、传动轴的外力偶矩一、传动轴的外力偶矩 传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系传递轴的传递功率、转数与外力偶矩的关系：m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.mm)(kN1217nP.m其中：其中：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW） n 转速，转转速，转/分（分（rpm）其中：其中：P 功率，功率，公制马力（公制马力（PS） n 转速，转转速，转/分（分（rpm）其中：其中：P 功率，马力（功率，马力（HP） n 转速，转转速，转/分（分（rpm）1PS=735.5Nm/s , 1HP=745.7Nm/s , 1kW=1.36PS133 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截

4、面外法线方向满足右手螺旋规则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩mmmTmTmTmx00 x144 扭矩扭矩图图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置 强度计算强度计算(危险截面危险截面)。xT15例例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500k

5、W，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m16nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN78. 4 0 , 02121mTmTmxmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0-4243mTmTx17绘制

6、扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.371893 切应力互等定理与剪切胡克定律切应力互等定理与剪切胡克定律 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。192.实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线纵向线变成斜直线。3.结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴

7、线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。20各横截面的大小形状间距不变，并仍然保持为平面。可假设各各横截面的大小形状间距不变，并仍然保持为平面。可假设各横截面绕轴线发生刚性转动。所以横截面上无正应力，只有切横截面绕轴线发生刚性转动。所以横截面上无正应力，只有切应力并且切应力与圆周相切。由于壁比较薄，可认为切应力和应力并且切应力与圆周相切。由于壁比较薄，可认为切应力和切应变沿壁厚均匀分布。由于沿周向变形无变化，可认为切应切应变沿壁厚均匀分布。由于沿周向变形无变化，可认为切应

8、力沿周向也不发生变化。力沿周向也不发生变化。切应力分布规律和变形规律已经得到切应力分布规律和变形规律已经得到, , 切应力和扭转变形分别为多大切应力和扭转变形分别为多大? ?T21 acddxbdy 无正应力无正应力 横截面上各点处，只产横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪生垂直于半径的均匀分布的剪应力应力 ，沿周向大小不变，方，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。向与该截面的扭矩方向一致。4. 与与 的关系：的关系：LRRL 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：L22二、薄壁圆筒剪应力二、薄壁圆筒剪应力 大小：大小： tATtrTTtrrArTrAAA 2 2

9、2d d 0 200000A0：平均半径所作圆的面积。：平均半径所作圆的面积。23三、剪应力互等定理：三、剪应力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式称上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。 该定理表明：该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz24四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只

10、有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。l25 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。26G 式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确定，值可通过实验确定，钢材的钢材的G值约为值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的

11、三剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。)1 ( 2EG27由于由于G是材料常数，薄壁圆筒的扭转角和剪应变可以通过扭矩表示出是材料常数，薄壁圆筒的扭转角和剪应变可以通过扭矩表示出来：来：02GATGrGATLrL02薄壁圆筒求解小结薄壁圆筒求解小结实验观察实验观察几何特征几何特征周向线大小形状间距均

12、不发生变化周向线大小形状间距均不发生变化. .纵向纵向线发生小角度倾斜线发生小角度倾斜. .倾斜角度沿圆周相同倾斜角度沿圆周相同. .端部仍然为平面端部仍然为平面. .无正应力无正应力, ,只有切应力且与圆周相切只有切应力且与圆周相切. .切应力沿圆周均匀分布切应力沿圆周均匀分布. .各横截面发生各横截面发生刚性转动刚性转动. .薄壁圆筒薄壁圆筒, ,可认为应力可认为应力, ,应变沿厚度无变应变沿厚度无变化化. .静力平衡求得切应力静力平衡求得切应力( (扭矩已知扭矩已知) )剪应变和扭转角之间的关系剪应变和扭转角之间的关系. .物性实验得到扭矩和扭转角之物性实验得到扭矩和扭转角之间的线性关系

13、间的线性关系. .对于线性材料引入剪切模量对于线性材料引入剪切模量( (材料常数材料常数, ,需事先给定需事先给定) )变形大小变形大小2894 圆轴扭转截面上的应力圆轴扭转截面上的应力扭转圆轴横截面应力扭转圆轴横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：29二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGddd

14、tg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与该点到圆心的距离与该点到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率。扭转角沿长度方向变化率。302. 物理关系：物理关系：虎克定律：虎克定律：代入上式得：代入上式得：GxGxGGddddxGdd 313. 静力学关系：静力学关系：AxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式代入物理关系式 得：xGdd pITOpdA32pIT横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点剪应力计算公式。处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料

15、，在小变形时的等圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。截面极惯性矩，纯几何量，无物理意义。33 确定最大剪应力：确定最大剪应力：pIT由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量），抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：几何量，单位：mm3或或m3。34 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程

16、上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。35静力方程静力方程 ATdA)(ApdAI2RIWpTpGITdxdpITTWTmax物理方程物理方程 G几何方程几何方程 dxd变形计算公式变形计算公式 应力计算公式应力计算公式 最大应力公式最大应力公式 结结 论论横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最横截面外圆周上点的剪应力和剪应变最大大 圆轴扭转时，横截面上一点剪应力和圆轴扭转时，横截面上一点剪应力和剪应变与该点的极坐标呈比例剪应变与该点的极坐标呈比例 横截面最大剪应力与横截面的抗扭截横截面最大剪应力

17、与横截面的抗扭截面模量成反比面模量成反比扭转刚度扭转刚度 横截面扭转变形（单位长度扭转角）横截面扭转变形（单位长度扭转角）与横截面的扭转刚度成反比与横截面的扭转刚度成反比抗扭截面模量抗扭截面模量36ApdAI2RIWpT)/(1800mGITdxdppIT TWTmaxmax画轴的扭矩图画轴的扭矩图极惯性矩和抗扭截面模量的计算极惯性矩和抗扭截面模量的计算 确定可能的危险截面确定可能的危险截面计算危险（最大）点应力计算危险（最大）点应力求出最大剪应力求出最大剪应力计算两截面相对扭转角计算两截面相对扭转角计算最大单位长度扭转角计算最大单位长度扭转角lpGIdxxT)(pGIlTpiiiGIlT 3

18、7例例2 一空心圆轴如图一空心圆轴如图2.13（a）所示，在）所示，在A、B、C处受外力处受外力偶作用。已知偶作用。已知 ， ， ，材料，材料G=80Gpa，试求（，试求（1）轴内的最大）轴内的最大剪应力剪应力 ；（；（2）C截面相对截面相对A截面的扭转角截面的扭转角 150N mAM 50N mBM 100N mCM maxAC画轴的扭矩图画轴的扭矩图解：解：A、B可能为危险截面可能为危险截面max150kN m, 100kN mABMMM计算危险（最大）点应力计算危险（最大）点应力TAAAWTmax)24/18(1 (024. 0161015043380.8MPa38max86.7MPa8

19、6.7MPa.0.069radTBBBWTmax)22/18(1 (022. 01610100433所以，所以，计算扭转角计算扭转角21 ipiiiACGIlT例例2 一空心圆轴如图一空心圆轴如图2.13（a）所示，在）所示，在A、B、C处受外力处受外力偶作用。已知偶作用。已知 ， ， ，材料，材料G=80Gpa，试求（，试求（1）轴内的最大）轴内的最大剪应力剪应力 ；（；（2）C截面相对截面相对A截面的扭转角截面的扭转角 150N mAM 50N mBM 100N mCM maxAC39单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面

20、杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDApa. 对于实心圆截面：DdO95极惯性矩与抗扭界面系数极惯性矩与抗扭界面系数40b. 对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd41Ipd 432Wp=d 316IpD 432( 1- 4 )Wp=D 316( 1- 4 )=d / D对于实心圆截面对于实心圆截面对于圆环截面对于圆环截面42低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。96圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转破坏与强度条件一、扭转

21、失效与扭转极限应力一、扭转失效与扭转极限应力43在扭转实验中，塑性材料试件受扭时，首先屈服，在试在扭转实验中，塑性材料试件受扭时，首先屈服，在试件表面出现横向与纵向的滑移线，继续增大扭转力偶，件表面出现横向与纵向的滑移线，继续增大扭转力偶，试件沿横截面剪断；脆性试件没有变形很小，最后会在试件沿横截面剪断；脆性试件没有变形很小，最后会在与轴线成与轴线成4545o o角的螺旋面发生断裂。角的螺旋面发生断裂。扭转破坏扭转破坏：标志：屈服或是断裂扭转屈服应力：扭转屈服应力：扭转极限强度：扭转极限强度：扭转极限应力扭转极限应力统称为44二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力二、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳

22、钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。451. 点M的应力单元体如图(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：(d) x46(d) xnt转角规定：x轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 472cos ; 2sin 分析：当 = 0时，max00 , 0当 = 45时，0 , 45min45当 = 45时，0 , 45max45当 = 90时

23、，max9090 , 0 45 由此可见：圆轴扭转时，在横截由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角方向角 = 45 的斜截面上作用有最的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。论，就可解释前述的破坏现象。48s对于塑性材料对于塑性材料, ,当横截面上的切应力达到当横截面上的切应力达到 时时, ,试件发生显著的试件发生显著的塑性变形塑性变形, , 称为扭转屈服极限。称为扭转屈服极限。ss对于脆性材料，试件在破坏前扭转变形很小对于脆性材料，试件在破坏前扭转变形很小, ,

24、当切应力达到当切应力达到 时时, , 材料沿材料沿4545度螺旋面断开度螺旋面断开。 称为扭转强度极限称为扭转强度极限。b b 49三、圆轴扭转时的强度计算三、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用剪应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt50四、圆轴的扭转的强度条件四、圆轴的扭转的强度条件 nu材料的扭转许用剪应力材料的扭转极限剪应力 安全系数对于塑性材料， 对于脆性材料， 6 . 05 . 0 t0 .

25、 18 . 0对于塑性材料, 极限切应力一般取扭转屈服极限; 对于脆性材料, 则一般取扭转强度极限。51 例例22 功率为功率为150kW150kW，转速为，转速为15.415.4转转/ /秒的电动机转子轴如图，秒的电动机转子轴如图，许用剪应力许用剪应力 =30M Pa, =30M Pa, 试校核其强度。试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN551m)(N4151432101503.Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa23160701055133max.WTt52例例汽车传动轴由汽车传动轴由4545无缝钢管制成

26、。已知：无缝钢管制成。已知：=60MPa=60MPa，若钢管的，若钢管的外径外径D D90mm90mm，管壁厚，管壁厚t=2.5mmt=2.5mm，轴所传动的最大扭矩，轴所传动的最大扭矩M=1.5kN.m. M=1.5kN.m. 试：试：1 1、校核传动轴的强度；、校核传动轴的强度；2 2、与同性能实心轴的重量比。、与同性能实心轴的重量比。解：解：1 1、校核强度、校核强度)(1 2 . 0105 . 1)1 (2 . 0423643maxDtDPDDMWT代入数据后得：代入数据后得：maxmax50.33MPa50.33MPa60MPa;60MPa;强度足够强度足够2 2、设计实心轴直径、设

27、计实心轴直径D1D1（两轴的最大工（两轴的最大工 作切应力相等作切应力相等) )max316331max0.21.5 1053.030.20.2 50.3PTTWDTDmm；即3 3、两轴重量比、两轴重量比21. 3859053222222121dDDLALAGG空心轴实心轴D1Dt53例例3 3图示芯轴图示芯轴ABAB与轴套与轴套CDCD的轴线重合，二者在的轴线重合，二者在B B、C C处连成一体；在处连成一体；在D D处无接触。已知芯轴直径处无接触。已知芯轴直径d d = 66mm = 66mm；轴套的外径；轴套的外径D D = 80mm = 80mm，壁厚，壁厚= 6mm= 6mm。若二

28、者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T T。 解：解：芯轴与轴套只在下面部分芯轴与轴套只在下面部分B处相连接，在上部处相连接，在上部D处，二者互不接触，所以，芯轴与轴套都是在两端承处，二者互不接触，所以，芯轴与轴套都是在两端承受扭矩。受扭矩。1. 芯轴横截面上的最大切应力为：芯轴横截面上的最大切应力为：6311pmax106016dTWMx轴 根据对最大切应力切应力的限制，有根据对最大切应力切应力的限制，有1max3116xpMTdW54图示芯轴图示芯轴A

29、BAB与轴套与轴套CDCD的轴线重合，二者在的轴线重合，二者在B B、C C处连成一体；在处连成一体；在D D处处无接触。已知芯轴直径无接触。已知芯轴直径d d = 66mm = 66mm；轴套的外径；轴套的外径D D = 80mm = 80mm，壁厚，壁厚= = 6mm6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa60MPa。试。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T T。6311pmax106016dTWMx轴 根据对最大切应力切应力的限制，有根据对最大切应力切应力的限制，有 因此得到芯轴所能承受的

30、最大扭矩因此得到芯轴所能承受的最大扭矩36916660 10103387N m16T55解：解：2. 轴套横截面上的最大切应力为：轴套横截面上的最大切应力为：4322pmax)8068(116 dTWMx套64322pmax1060)8068(116dTWMx套根据对最大切应力的限制，有根据对最大切应力的限制，有 因此得到轴套所能承受的最大扭矩因此得到轴套所能承受的最大扭矩2883)2017(1101680106049362TNm图示芯轴图示芯轴ABAB与轴套与轴套CDCD的轴线重合，二者在的轴线重合，二者在B B、C C处连成一体；在处连成一体；在D D处处无接触。已知芯轴直径无接触。已知芯

31、轴直径d d = 66mm = 66mm；轴套的外径；轴套的外径D D = 80mm = 80mm，壁厚，壁厚= = 6mm6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa60MPa。试。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T T。563. 结构所能承受的最大扭转力偶：结构所能承受的最大扭转力偶： 根据上述结果，根据上述结果，整个结构所能承受的最大扭转力偶为整个结构所能承受的最大扭转力偶为33871TNm28832TNmmax122min,2883TT TTNm图示芯轴图示芯轴ABAB与轴套与轴套CDCD

32、的轴线重合，二者在的轴线重合，二者在B B、C C处连成一体；在处连成一体；在D D处处无接触。已知芯轴直径无接触。已知芯轴直径d d = 66mm = 66mm；轴套的外径；轴套的外径D D = 80mm = 80mm，壁厚，壁厚= = 6mm6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa60MPa。试。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T T。57例例4 4 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T T = 3kN = 3kNm m。试求：。试求：1 1轴横截面上

33、的最大切应力；轴横截面上的最大切应力；2 2轴横截面上半径轴横截面上半径r r = 15mm = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r r = 15mm = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比解：解：1轴横截面上的最大切应力轴横截面上的最大切应力PP1WTWMxmax3333 101670.7MPa 0.0616Td58 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T T = 3kN = 3kNm m。试求：。试求：1 1轴

34、横截面上的最大切应力；轴横截面上的最大切应力；2 2轴横截面上半径轴横截面上半径r r = 15mm = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r r = 15mm = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比解：解： 2. 轴横截面上半径轴横截面上半径r = 15mm以内部分承以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：1drAMA 0p2 drxMI 4p24xMrI59解：解： 2. 轴横截面上半径轴横截面上半径r

35、 = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比：横截面上扭矩的百分比：104224rxrApxpMMrtdArrprdrIpMrI444p224432rxMrrdMI4441615116 ()6.25%6016rd 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T T = 3kN = 3kNm m。试求：。试求：1 1轴横截面上的最大切应力；轴横截面上的最大切应力；2 2轴横截面上半径轴横截面上半径r r = 15mm = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；

36、3 3去掉去掉r r = 15mm = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比60 解解 : 3去掉去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比：加的百分比：采用圆环截面的扭转最大切应力公式采用圆环截面的扭转最大切应力公式2max341-16xpMTdW3016022max3411-( )162xpMTdW442max1max441max1( )-126.67%11-151-( )2 图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T T = 3kN = 3kNm m

37、。试求：。试求：1 1轴横截面上的最大切应力；轴横截面上的最大切应力；2 2轴横截面上半径轴横截面上半径r r = 15mm = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的上扭矩的 百分比；百分比；3 3去掉去掉r r = 15mm = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比61思考问题思考问题 1去掉去掉r = 15mm以内部分，以内部分，所用材料将会减少多少？所用材料将会减少多少？ 2如果中心如果中心r = 15mm以内部以内部分所用的是另一种材料，这时，分所用的是另一种材料，这时，横截面上的最大切

38、应力将发生在横截面上的最大切应力将发生在哪里？计算这时的最大切应力，哪里？计算这时的最大切应力，还需要什么条件？还需要什么条件？r = 15mm6297 圆轴扭转变形与刚度条件圆轴扭转变形与刚度条件一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp63二、单位长度扭转角二、单位长度扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件或GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变

39、形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。圆轴的抗扭刚度。 称为许用单位长度扭转角。 (rad/m) maxmaxpGIT /m)( 180 maxmaxpGIT 64刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中查得。各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中查得。对精密机器的轴对精密机器的轴 =(0.250.50)0/m；一般传动轴一般传动轴 =(0.51.0)0/m；精度要求不高的轴精度要求不高的轴 =(1.02.5)0/m。 65

40、 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用剪应力 =30MPa，试设计杆的外径；若=2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD66314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT6740NmxT180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D右端面转角为：弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdx

41、GITPPLP68 例例66 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如 图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN0247nN.m6916 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp mm8010701

42、43702416163631.Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm)70 mm47411080143180421032 3249242.GTd mm8411080143180702432 3249241 .GTd mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同一直径时 mm851 dd71 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81472圆轴扭转的强度设计的简化公式圆轴扭转的强度设计的简化公式实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴163maxmax

43、dMT)1 (1643maxmaxDMT3max16TMd 34max)1(16TMD33 10. 0954916nNnNd例如：富康轿车额定功率65kW，2500转为设计工况mmd30250065 10. 03v承受同样最大扭矩的相同材料制成的等强度圆轴，谁重谁轻？73圆轴扭转的刚度设计简化公式圆轴扭转的刚度设计简化公式实心圆轴实心圆轴空心圆轴空心圆轴4max18032GMdT44 09. 0180954932nNnGNd例如：富康轿车额定功率65kW，2500转为设计工况mmd36250065 09. 04v承受同样最大扭矩的相同材料制成的等刚度圆轴，谁重谁轻？)/(1803204maxm

44、dGMT)/(180)1 (32044maxmDGMT44max180)1(32GMDT74补充补充：扭转超静定问题扭转超静定问题 密圈弹簧变形密圈弹簧变形 非圆截面杆扭转非圆截面杆扭转 薄壁杆件扭转薄壁杆件扭转7576本章结束本章结束7799 等直圆杆的扭转超静定问题等直圆杆的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。78 例例77长为 L

45、=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固定端反力偶。解解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：02BAmmmAB79几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另另: :此题可由对称性直接求得结果。此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm809-10 9-10 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形计算 811. 1. 弹簧丝横

46、截面上的应力弹簧丝横截面上的应力 由由Q Q引起的剪应力引起的剪应力 由由T T引起的最大剪应力引起的最大剪应力 横截面上的内力横截面上的内力其中其中由由82对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，对某些工程实际问题，如机车车辆中的重弹簧，的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的的值并不太小，此时不仅要考虑剪力，还要考虑弹簧丝曲率的影响，进一步理论分析和修正系数影响，进一步理论分析和修正系数k k的选取可见有关参考书。的选取可见有关参考书。 密圈弹簧丝的强度条件是密圈弹簧丝的强度条件是 83设弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，轴线方向的总缩短（或伸长）量为 ，这是弹簧的整体的压缩

47、（或拉伸）变形变形。如图4-16a、b，外力对弹簧做功 。簧丝横截面上，距圆心为 的任意点的扭转剪应力为2. 弹簧的变形弹簧的变形如认为簧丝是纯扭转，则其相应的单位体积变形能变形能是84由，则得到是弹簧圈的平均半径。若引入记号则上式可写成代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。可见与成反比，越大则越小。 其中85【例9-5】 某柴油机的气阀弹簧，簧圈平均半径 ，簧丝直径 ，有效圈数 ， 材料的 。弹簧工作时受 KN，求此弹簧的最大压缩量与最大剪应力(略去弹簧曲率的影响)。【解】：由变形公式求最大压缩量 考虑剪切力时 不考虑剪力影响时，相差5.9% 。由于，还应考虑曲率影响，此处从略。 86 9-11 9-11 非圆截面杆扭转的概念非圆截面杆扭转的概念 杆件受杆件受扭转力偶扭转力偶作用发生变形，变形后其横截作用发生变形，变形后其横截面将不再保持平面，而发生面将不再保持平面，而发生“翘曲翘曲” ” 87 扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时扭转时，若各横截面翘曲是自由的，不受约束，此时相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无相邻横截面的翘曲处处相同，杆件轴向纤维的长度无变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种变化，因而横截面上，只有剪应力没有正应力，这种扭转称为自由扭转。此时横截面上剪应力规律如下扭转称为自由扭转。此时