塑性力学之屈服条件与破坏条件

1、第三章 屈服条件(yield criteria)3.1 屈服条件的概念3.2 描述屈服条件的坐标体系3.3 屈服条件的研究历史3.4 常用的几种屈服条件图3.1 低碳钢的应力应变曲线e弹性极限弹性极限Ly屈服下限屈服下限Uy屈服上限屈服上限b强度极限强度极限强化段强化段软化段软化段弹性变形弹性变形残余变形残余变形卸载卸载 理想弹塑性力学模型理想弹塑性力学模型 理想弹塑性力理想弹塑性力学模型亦称为弹学模型亦称为弹性完全塑性力学性完全塑性力学模型，该模型抓模型，该模型抓住了韧性材料的住了韧性材料的主要变形特征。主要变形特征。其表达式为：其表达式为： )( )( 时当时当ssssEE1tanE 理想

2、线性理想线性强化弹塑性强化弹塑性力学模型亦力学模型亦称为弹塑性称为弹塑性线性强化材线性强化材料或双线性料或双线性强化模型。强化模型。其数学表达其数学表达式为：式为： )( )()( 1时当时当ssssEE 理想线性强化弹塑性力学模型理想线性强化弹塑性力学模型 理想刚塑理想刚塑性力学模型性力学模型亦称刚性完亦称刚性完全塑性力学全塑性力学模型，特别模型，特别适宜于塑性适宜于塑性极限载荷的极限载荷的分析。其表分析。其表达式为达式为: :)( 时当ss 理想刚塑性力学模型理想刚塑性力学模型 理想线理想线性强化刚性强化刚塑性力学塑性力学模型，其模型，其应力应变应力应变关系的数关系的数学表达式学表达式为：

3、为： 理想线性强化刚塑性力学模型理想线性强化刚塑性力学模型) 0( 1时当 EsnA 幂强化力学模型幂强化力学模型 为了避免在为了避免在 处的变化，有时可处的变化，有时可以采用幂强化力学以采用幂强化力学模型。模型。当表达式中当表达式中幂强化系数幂强化系数 n 分别分别取取 0 或或 1 时，就代时，就代表理想弹塑性模型表理想弹塑性模型和理想刚塑性模型。和理想刚塑性模型。其应力应变关系表其应力应变关系表达式为：达式为：s 强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。材料之所

4、以按某种方式破坏，是应力、应变或应变能密度等因素中某一因素引起的。即无论是简单或复杂应力状态，引起破坏的原因是相同的，与应力状态无关。强度理论 回顾 构件由于强度不足将引发两种失效形式(1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。 (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 关于屈服的关于断裂的强度理论：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论强度理论；最大切应力理论和最大畸变能密度理论。1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论

5、）（第一强度理论） 最大拉应力是引起材料断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大拉应力达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。01 构件危险点的最大拉应力1 极限拉应力，由单拉实验测得b 00 四种常见强度理论及强度条件四种常见强度理论及强度条件 nb1强度条件强度条件铸铁拉伸铸铁扭转3. 3. 最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论（第二强度理论）（第二强度理论） 最大伸长线应变是引起断裂的主要因素。即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大伸长线应变达到简单拉伸时破坏的极限值，就会发生脆性断裂。01 构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0 E/

6、)(3211 Eb/0 实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。强度条件)(321nb 最大切应力是引起材料屈服的主要因素。 即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大切应力达到了简单拉伸屈服时的极限值，材料就会发生屈服。0max3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得0 2/0s 2/ )(31max强度条件实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：

7、 2、不能解释三向均拉下可能发生断裂的现象。1、未考虑 的影响，试验证实最大影响达15%。2 13ssn 最大畸变能密度是引起材料屈服的主要因素。 即认为无论材料处于什么应力状态,只要最大畸变能密度达到简单拉伸屈服时的极限值,材料就会发生屈服。0ddvv 4. 最大畸变最大畸变能密度理论能密度理论（第四强度理论）（第四强度理论）213232221d)()()(61Ev 构件危险点的形状改变比能d20261sdEv 形状改变比能的极限值，由单拉实验测得0d屈服条件22132322212)()()(s 强度条件 ss213232221)()()(21n实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符

8、合试验结果，在工程中得到了广泛应用。11 , r)(3212, r )()()(212132322214, r强度理论的统一表达式： r313 ,r塑性模型三要素屈服条件流动法则硬化规律判断何时达到屈服屈服后塑性应变增量的方向，也即各分量的比值决定给定的应力增量引起的塑性应变增量大小弹塑性计算分弹塑性计算分析的首要条件析的首要条件判断何时达到屈服3.1. 屈服条件的概念 3.1.1 屈服 3.1.2 屈服条件 3.1.3 屈服函数 3.1.4 屈服曲面 3.1.5 子午线与平面上屈服线3.1.1 屈服 加载路径 物体受到荷载作用后，随着荷载增大，由弹性状态到塑性状态的这种过渡，叫做屈服。 物体

9、内某一点开始产生塑性应变时，应力或应变所必需满足的条件，叫做屈服条件。屈服条件是判断材料处于弹性还是塑性的准则。3.1.2 屈服条件Twist and extension only twist屈服点图3.2 著名的Taylor-Quinney铜管拉扭屈服试验(1931)3.1.3 屈服函数 在各向同性的情况下，可以用三个主应力分量或应力不变量表示： 一般情况下，屈服条件与应力、应变、时间、温度等有关，而且是它们的函数，这个函数F称为屈服函数。0)(ijF123123123(,)0( ,)0( ,)0( , ,)0FF I IIF I JJF p q 在不考虑时间效应(如应变率)和温度的条件下：

10、(, )0(, , )0(, , )0(, )0ijijijijijijpijijpijijijijFTFt TFt TFT3.1.4 屈服面 在应力空间内屈服函数表示为屈服面。 根据不同的应力路径实验，在应力空间将这些屈服点连接起来，就形成一个区分弹性和塑性的屈服面。图3.3 屈服曲面主应力空间与主应力空间与 平面平面等顷线平面应力点应力点图1.13 应力空间 各剪应力与J2广义剪应力2Jq八面体剪应力平面上的剪应力分量应力偏量第二不变量8纯剪应力s2Js8qq23q13q213q83288328328322ss2ss23s33213122122J2J223J23JijS32ijijS S1

11、3ijijS S12ijijS SijijS S12ijijS S表1.3 各剪应力与应力偏量第二不变量J2之间的关系23q22J图3.5 p ,q,空间金属材料屈服面图3.4主应力空间金属材料屈服面0),(),(),(),(232321321JFqFJJFF传统塑性力学中与I1无关pq3.1.5 子午线与平面上的屈服线 屈服面在平面上的迹线一般称为 平面上的屈服曲线；而屈服面与子午平面的交线称为子午平面上的屈服曲线。图3.6 屈服曲线与屈服面子午面与平面上的屈服线图3.7不同屈服条件下平面上的屈服曲线子午平面上二次式屈服曲线的三种形式：(a)双曲线(b)抛物线 (c)椭圆图3.8 子午平面二

12、次式屈服曲线的三种形式3.1 基本概念小结屈服条件屈服函数屈服曲面屈服曲线以应力(应变)函数形式表达在应力空间内的表示在平面或子午面上的投影屈服弹性到塑性的过渡应力(应变)满足条件3.2 描述屈服条件的坐标体系 (1,2,3) ： 力学(土力学)(p, q, )： 土力学1232221223311213131()31()()()221tan ()3pq1232221223311213131()31()()()321tan ()3mr图3.9表示屈服面的常用坐标系3.3 屈服条件的研究历史 Coulumb (1773) 把土及岩石看成磨擦材料 Tresca (1864) 作了一系列的挤压实验，发

13、现金属材料在屈服时，可以看到有很细的痕纹；而这些痕纹的方向接近于最大剪应力方向13max2ktannfc 3.3 屈服条件的研究历史-2(续上) Mises (1913) Mises指出Tresca试验结果在平面上得到六个点，六个点之间的连线是直线？曲线？还是圆？Mises采用了圆形，并为金属材料试验所证实 Drucker and Prager (1952) Drucker和Prager首先把不考虑2影响的Coulomb屈服准则与不考虑静水压力p影响的Mises屈服准则联系在一起，提出了广义的Mises模型，后被称为D-P模型。3.3 屈服条件的研究历史-3(续上) Drucker(1957年

14、) 指出岩土材料在静水压力下可以屈服，历史上的屈服面在主应力空间是开口的，不符合岩土材料特性，应加帽子，俗称“帽子模型”。 Rscoe(1958-1963年) 针对剑桥软土进行三轴及压缩试验，在e-p-q空间中获得临界状态线，在p-q平面上得出子弹形屈服曲线，获得了“帽子模型”的实验证实及函数表达。3.3. 屈服条件的研究历史-4(续上) Roscoe and Burland(1968) 修正了子弹头形屈服面，改为椭球形屈服面，并编入剑桥大学CRISP有限元软件，风行欧美，成为软粘土弹塑性模型的经典作品。 下面将逐一重点介绍Tresca、Mises、Mohr-Coulomb、Drucker-P

15、rager和Cam Clay模型。13max2k Tresca (1864) 假设当最大剪应力达到某一极限值k时，材料发生屈服：3.4.1 Tresca(屈雷斯加)条件和Mises(米赛斯)条件 在一般情况下，即1,2,3不按大小 次序排列，则下列表示最大剪应力的六条件中任一个成立，材料就开始屈服122331222kkk 或222222122331322246232244404273696640kkkJJk Jk Jkmax132k 使用不变量I2和J2的公式 太复杂，如果知道主应力的大小，则应用下式最方便13213221313213132221321232123132222132123132

16、12313131322232132123321tancos33233232331222JJ1322cos0kJk3030其中主应力空间平面图3.10 Tresca屈服面和屈服线k的试验确定： 简单拉伸试验：12313,0, /2sssk 故123,0, sssk 故 纯剪试验：在应力空间中1-2=2k表示一对平行于2及等倾线的平面，因此可以建立三对相互平行的平面组成，为垂直于平面的正六柱体，在平面上屈服曲线如右图所示。2 23k122 23k2 23kTresca屈服面不能反映球应力张量对材料屈服的影响，为了反映球应力张量对材料屈服的影响，将Tresca屈服条件推广为广义Tresca屈服条件：

17、31312aIk1311212312220aIkaIkaIk如不清楚 主应力的大小顺序，上式可写成：广义Tresca屈服面在应力空间的屈服曲面为一正角棱锥体面，中心轴与等倾线重合，在平面上的屈服曲线为正六角形，形状和Tresca屈服条件相同。222,333kkkaaa图3.11 广义Tresca屈服面CJ)()()(612132322212 Tresca屈服条件有以下问题：没考虑中主应力的影响；当应力处在屈服面的棱线上时，处理会遇到数学上的困难；主应力大小未知时，屈服条件十分复杂。因此， Mises(1913)提出了 上式称为Mises条件，是屈服条件中一种最简单的形式，因为在这一条件中只含有

18、J2。222rO PJC 根据平面上应力矢径的表达式，进一步有：因此，在平面上，Mises条件必为一圆。2rC图3.12 Mises屈服面同样为了反映球应力张量的影响，Drucker(德鲁克)和Prager(普拉格)(1952)首先提出在应力空间中为一圆锥 形屈服面的屈服条件。2rC12IJK图3.13 广义Mises屈服面C的试验确定： 简单拉伸试验：1s232s2,0 3CJ 故1s23s22s,0, CJ 故纯剪试验：k的试验确定： 简单拉伸试验：12313,0, /2sssk 故123,0, sssk 故 纯剪试验：对于这两种特殊情况，Tresca条件和Mises条件是重合的。Mise

19、s屈服面(Mises圆)外切Tresca六边形内接Tresca六边形O312AB图3.14 Tresca屈服线和Mises屈服线的关系3=0平面MisesTresca12s2k131s232s3=0平面MisesTresca2s23J2s23J2s23J图3.15 Tresca屈服线和Mises屈服线的关系(续)对于3=0的平面应力情况下，Mises几何条件可描述为：222222212121122s136JCC 由于 222211221212221212221212134412322222222223 2 所以，3=0平面上的Mises屈服面为一椭圆。 Mises屈服条件是J2 的函数，而J2

20、与8、有关，还与物体形状改变的弹性比能有关，也就是说，当平面上的剪应力分量达到某一极限时，材料开始屈服。材料力学中，Mises屈服条件作为强度理论使用时，通常称为第四强度理论。 Tresca屈服条件是认为最大剪应力达到某一极限时，材料开始屈服。材料力学中，Tresca屈服条件作为强度理论使用时，通常称为第三强度理论。Mises & Tresca图3.16 Taylor-Quinney试验 Taylor-Quinney在1931年分别对铜、铝、软钢作成的薄圆筒，在拉伸和扭转联合作用下，进行试验，如2 . 16所示，对于这几种材料，Mises屈服条件比Tresca屈服条件更接近实验数据，因

21、而可认为Mises屈服条件来自试验。 上述这两种屈服条件都主要适用于金属材料，对于岩土类介质材料一般不能很好适用，因为岩土类材料的屈服与体积变形或静水应力状态有关。 下面我们就介绍在岩土材料中常用的一些屈服条件；并以重塑土试验为基础。在介绍屈服条件之前首先讲一个基本的概念：岩土材料的临界状态线。3.4.2 岩土材料的临界状态线 自1958年以来，英国剑桥大学Rosce(罗斯科)等人对剑桥重塑粘土进行了大量试验工作，并在此基础上提出了土的一些弹塑性特性和临界状态模型(剑桥模型)，为建立岩土塑性理论作出了开创性 贡献。 Rosce等人所作的试验主要是正常固结土和超固结土的排水和不排水常规三轴试验，

22、试验的参量是有效应力p,q和比容v，可以在一、三维空间图中描述。 v取决于孔隙比e或体应变v，因而也描述了孔隙比或体应变的变化，试验应用常规三轴试验，因而没有引入Lode参数。 对于正常固结土，进行三轴剪切不排水试验时，先使试样在不同的各项等压状态(a,2a,)下固结，然后，增加垂直偏压力q=1-3直到土样破坏。最后可给出一族不同的应力-应变曲线，如右图，由图可见，围压越高，其q也越高。将上述试验采用p-q坐标面内表示出来，可以发现这些不同应力路径的形状是相似的，这样就意味着若采用q/qc和p/pc坐标，所有的应力路径就会归一化为一条线。 正常固结试样不排水试验在v-p坐标平面上的应力路径如(

23、b)所示，可以看出正常固结线从A1、A2、A3出发，由于是不排水试验，所以在比容保持常量的情况下移动，直到B1、B2、B3各点破坏为止。试验表示在v-p坐标内B1、B2、B3连成一条光滑的曲线，曲线外观与正常固结线形状相似，而在(a)中为一条直线。 正常固结试样排水试验的曲线与不排水情况相似，根据在q-p和v-p平面内的应力路径，可以看出，所有试验路径的破坏点在q-p平面内都是直线，从各试样的平均固结应力p开始，以斜率3上升，达到qf,pf时破坏，构成q-p坐标内的B1、B2、B3破坏线，这些路径在v-p平面内都是曲线。各试样随着p值的增大而压缩， B1、B2、B3这些点连成一条光滑曲线，其形

24、状与正常固结线相似，但随着偏压力q增大比容也相应变化，如矢量线A2 B2 和 A2 B2 。 把粘土固结不排水剪和排水剪试验的破坏点绘在一起，如下图，发现两类试验的破坏点均落在同一条线上。 这条线就称为临界状态线(CSL)，表示一种临界状态。 (1)土体的应力状态一旦达到此线，就会产生破坏，所以它是一条极限状态线，且与应力路径无关。 (2)达到这种破坏状态后，应力不变，无体积变形，剪切变形无限大，这正是塑性流动的特点，因此，临界状态也意味着理想塑性状态。 (3)临界状态线在平面上的投影可用下式表示pppqcscslnlnlnor ,ln*pln图3.18 正常固结粘土排水与不排水实验的破坏线

25、临界状态线在p-q-v三维空间是p、q、v的函数，正常各向等压固结线在q=0的平面上，即空间的“底面”上。如右图。 临界状态线可以通过实验测定。如果已知临界状态线的位置，只需知道破坏时的一个变量(p、q、v)，就可求出其他两个变量。图3.19 p-q-v空间的临界状态线3.4.3 Mohr-Coulomb屈服条件sin)(21cos)(213131CtannnC 库仑定律式中是破坏面上切应力，n是破坏面的正压力。c是材料粘性系数， 是内摩擦角，C和是两个材料常数。在主应力空间，此屈服准则可用下图示意图3.20本节证明以拉应力为正，压应力为负。 据此，屈服面方程可写为根据13132 cos()s

26、in0C上述屈服面方程可改为2121sincoscossinsin033JICJ2132132213132131322131131222221tansin3323222sin312323JIIJJJ2131313213221tancos2cos32JJ)(62)(313131321m)(323131m)sin31/()sin2cos2(31mC)sin311/()sin2cos2()(31mcC 图中A、B两点分别是平面迹线与主轴压缩和拉伸试验破坏线的两个交点或将上式代入三轴压缩时，1=2 3 ，则= 1图3.21 平面的屈服线为不规则的六角形的认证得13132cos()sin0C于是)sin

27、311/()sin2cos2()(31mlC)0( 1sin1sin1)()(31313131lc三轴拉伸时，12= 3 ，则= -1故于是O123图3.21 Mohr-Coulomb屈服面(续)13131313sin2cos22sinsin2cos022mFCSSSSCSSSSx而213213131322633666SSSSSySSy 于是sincossin22mxCyAB就是图中AB的方程Mohr-Coulomb条件的另一种表达形式2121221sincoscossinsin33111sincos3cos3sinsin3331sin( 3cossinsin )co

28、s03JFICJICJJpqCsinsincos3cos3sinsincos3sin3cpq将2121sincoscossinsin033JICJ23qJ113pI有代入上式或Mohr-Coulomb条件sinsincos3cos3sinsincos3sin3cpqqptgc sinsincos3sin3tg3 cos3cossinsinCc该式又可表示为图3.22 p-q平面上两个Mohr-Coulomb破坏线三轴压缩时，1,tan13,306sin3sintg6cos3cossinCc三轴压缩时，1,tan13,30 6sin3sintg6cos3cossinCcMohr-Coulomb条

29、件的几种特殊情况0cos)sinsin31(cossin3121cJI当 时，0如上式 再 时，0当 时，常数22coscos0JCJkTresca条件02CJMises条件120IJk广义Mises条件Mohr-Coulomb条件的几种特殊情况-212sin3( 3cossinsin )3 cos0IJC当 时，受拉破坏：6 )sin3(3cos6,)sin3(3sin2Ck120IJk当 时，受压破坏：6)sin3(3cos6,)sin3(3sin2Ck图3.23 相应于三种、k系数的三个圆锥屈服曲线2121sincoscossinsin033JICJ12sin3( 3cossinsin

30、)3 cos0FIJC当该式对 微分，并使之为零，此时F取极小Drucker-Prager条件120IJk22sin3cos3,sin33sinCk222233(3sincossin )0tansin33sinsinsin93sin3sin33cos93sin3sinF 1221222sin3( 3cossinsin )3cos3sinsin3()3cos03sin3sinFIJCIJC2rC图3.13 广义Mises屈服面Drucker,PragerMises3 cotC113 cot3 cot3IICrC3.4.4 剑桥模型屈服条件正常固结土和超固结土试样的排水和不排水三轴试验剑桥模型土体临界状态的概念硬化原理能量方程剑桥模型(Roscoe, 1963)修正剑桥模型(Burland, 1965) Roscoe和Burland(1965)根据临界状态土力学理论提出的修正剑桥模型，其屈服面方程为：修正剑桥模型屈服条件2202q pMppM式中，p为平均有效应力；q为主应力差，M为临界状态线斜率， p0为硬化参数，其值为屈