高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的基本定理课件新人教B版选修2_1VIP

1、-1-3.1.2空间向量的根本定理空间向量的根本定理目标导航1.了解共线或平行向量的概念,向量共面的意义,掌握它们的表示方法.2.了解空间向量共线、共面和分解定理,会选择适当基底表示空间向量.3.会用本节知识解决简单的立体几何中的问题.知识梳理1.共线向量定理共线向量定理两个空间向量两个空间向量a,b(b0),ab的充要条件是存在唯一的实数的充要条件是存在唯一的实数x,使使a=xb.名师点拨对于空间任意两个向量名师点拨对于空间任意两个向量a,b(b0),共线向量定理可分解共线向量定理可分解为以下两个命题为以下两个命题:(1)ab存在唯一实数存在唯一实数x使使a=xb;(2)存在唯一实存在唯一实

2、数数x,使使a=xbab.【做一做【做一做1】假设】假设m=a+b,n=-3b-3a,那么那么m与与n共线吗共线吗?知识梳理2.共面向量定理共面向量定理(1)向量向量a平行于平面平行于平面:向量向量a的基线平行于平面的基线平行于平面或在平面或在平面内内,那那么称向量么称向量a平行于平面平行于平面,记作记作a.(2)共面向量定义共面向量定义:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.【做一做【做一做2-1】空间中任意三个向量一定是共面向量吗】空间中任意三个向量一定是共面向量吗?请举例请举例说明说明.知识梳理(3)共面向量定理.如果两个向量a,b不共线,那么向量c与向量a

3、,b共面的充要条件是:存在唯一的一对实数x,y,使c=xa+yb.(4)三个向量共面,又称这三个向量线性相关.名师点拨1.a是指a的基线在平面内或平行于平面.2.共面向量是指这些向量的基线平行于同一平面或在同一平面内,共面向量的基线可能相交、平行或异面.3.共面向量的定理给出了平面的向量表示,说明平面内任意一个向量可以由两个不共线的平面向量表示出来,它既是判断三个向量是否共面的依据,又是共面条件的另一种形式,可以借共面条件化为向量式,以便于向量的运算.4.利用共面向量定理可证明点线共面、线面平行等.知识梳理【做一做2-2】假设向量a,b不共线,p=2b,m=a+b,n=a-b,那么p,m,n共

4、面吗?分析:利用向量共面的条件,存在唯一的一对实数x=1,y=-1,使p=xm+yn.解:因为p=m-n,所以p,m,n共面.知识梳理3.空间向量分解定理空间向量分解定理如果三个向量如果三个向量a,b,c不共面不共面,那么对空间任一向量那么对空间任一向量p,存在一个唯一存在一个唯一的有序实数组的有序实数组x,y,z,使使p=xa+yb+zc.这时不共面的三个向量这时不共面的三个向量a,b,c叫叫做空间的一个基底做空间的一个基底,记作记作a,b,c.【做一做【做一做3】空间的一个基底】空间的一个基底a,b,c,m=a+b,n=a-b,那么那么a,b,c中中能与能与m,n构成空间的一个基底的是构成

5、空间的一个基底的是.答案答案:c名师点拨名师点拨1.用空间三个不共面的向量组用空间三个不共面的向量组a,b,c可以线性表示出可以线性表示出空间中的任意一个向量空间中的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的而且表示的结果是唯一的.2.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.3.因为因为0与任意一个非零向量共线与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面与任意两个非零向量共面,所所以三个向量不共面以三个向量不共面,就隐含它们都不是就隐含它们都不是0.4.一个基底是一个向量组一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量一个基向量是指

6、基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念二者是相关联的不同概念.重难聚焦1.如何理解共线向量定理与共面向量定理如何理解共线向量定理与共面向量定理?剖析剖析:(1)共线向量定理中注意共线向量定理中注意b0,否那么当否那么当b=0时时,假设假设a0,显然显然ab,但是不存在唯一的实数但是不存在唯一的实数x,使使a=xb,从而从而“存在唯一的实数存在唯一的实数x,使使a=xb不再是不再是ab的充要条件的充要条件.(2)向量与平面平行向量与平面平行,向量所在的直线可以在平面内向量所在的直线可以在平面内,而直线与平而直线与平面平行时两者是没有公共点的面平行时两者是没有公共点的.(3)共面向量不一定是在

7、同一平面内的共面向量不一定是在同一平面内的,但可以平移到同一平面但可以平移到同一平面内内.(4)空间中任意两个向量一定是共面向量空间中任意两个向量一定是共面向量.零向量与任意向量共零向量与任意向量共面面.重难聚焦2.如何理解空间向量分解定理如何理解空间向量分解定理?剖析剖析:(1)只有三个向量只有三个向量a,b,c不共面不共面,其线性组合其线性组合xa+yb+zc才能生才能生成所有的空间向量成所有的空间向量,否那么否那么,假设向量假设向量a,b,c共面共面,由数乘向量和向量由数乘向量和向量加法的几何意义加法的几何意义,可知其线性组合可知其线性组合xa+yb+zc表示的只是与表示的只是与a,b,

8、c共面共面的向量的向量,而不是空间的任意向量而不是空间的任意向量.(2)零向量与任意向量共面零向量与任意向量共面,所以零向量不能作为基向量所以零向量不能作为基向量.(3)注意区分基底与基向量注意区分基底与基向量,一个基底一个基底a,b,c中的中的a,b,c都叫基向量都叫基向量.(4)任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底任意三个不共面向量都可构成空间的一个基底;任意一个空任意一个空间的基底都可生成空间的所有向量间的基底都可生成空间的所有向量;每一个空间向量都可被分解到每一个空间向量都可被分解到任意一个基底中基向量的三个不同方向任意一个基底中基向量的三个不同方向;同一个向量在同一个基底同一个向

9、量在同一个基底下的分解式是唯一的下的分解式是唯一的.典例透析题型一题型二题型三空间向量的共线共面概念【例1】 以下命题正确的选项是()A.假设a与b共线,b与c共线,那么a与c共线B.向量a,b,c共面即它们所在的直线共面C.假设向量a,b是非零向量,那么a+b可成为空间向量的一个基向量D.假设存在唯一的一对实数x,y,使p=xa+yb,那么向量p与向量a,b共面解析:对于选项A,当b=0时,a与b共线,b与c共线,但a与c未必共线;对于选项B,直线共面是指直线在同一平面内,而向量共面其基线可平行于平面而不在平面内,即其基线可以是异面直线;对于选项C,当a=-b时,a+b=0,不能成为空间向量

10、的一个基向量;选项D符合共面向量定理.特别地,假设向量a,b共线,那么p与向量a,b共线,仍有p与向量a,b共面.答案:D典例透析题型一题型二题型三反思注意理解空间向量共线、共面的意义,重视零向量与任意向量共线、共面,弄清构成空间向量的一个基底的条件.典例透析题型一题型二题型三判定空间向量共面 分析:在图中找封闭的四边形,建立向量相等的关系式.典例透析题型一题型二题型三 反思判断三个(或三个以上)向量共面,主要使用空间向量共面定理,即其中一个向量能用另两个向量线性表示即可.通常应结合图形,选择其中某两个向量作为基向量,其他向量都用这两个基向量线性表示.当然,必要时也可选择目标向量以外的一组基底,通过待定系数法,建立这三个向量的一个线性关系式.典例透析题型一题型二题型三空间向量分解定理 典例透析题型一题型二题型三典例透析题型一题型二题型三反思要求某向量m在给定基底a,b,c下的分解式,就是要找到一组有序实数x,y,z,使m=xa+yb+zc.一般是寻找一个包含目标向量的封闭多边形,通过向量的线性运算,先建立向量的关系式,将目标向量初步表示出来,再逐步将各个向量用给定的基向量a,b,c来表示即可.典例透析123451.向量a,b不共线,p=ka+b,q=