材料力学02 第2章 轴向拉伸和压缩

1、 第2章 轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩 1. 1 2. 1 轴力和轴力图轴力和轴力图轴力和轴力图轴力和轴力图 1. 2. 2 2 横截面上的应力横截面上的应力横截面上的应力横截面上的应力 1. 2. 3 3 斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力 1. 2. 5 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能 1. 2. 6 6 强度计算、强度计算、强度计算、强度计算、 容许应力和安全系数容许应力和安全系数容许应力和安全系数容许应力和安全系数 1. 2. 4 4 拉（压）杆的变形

2、拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 1. 2. 7 7 拉伸和压缩超静定问题拉伸和压缩超静定问题拉伸和压缩超静定问题拉伸和压缩超静定问题y活塞杆进油回油（a）（b）钢拉杆概述概述第第2章章 PPPP第第2章章 2.1 轴力和轴力图轴力和轴力图 第第2章章 如图求拉杆指定截面的内力。如图求拉杆指定截面的内力。PPmmP 由截面法：（由截面法：（1）截开，留）截开，留下左半段，去掉右半段；下左半段，去掉右半段； （2）用内力代替去掉部分对）用内力代替去掉部分对留下部分的作用；留下部分的作用；N （3）考虑留下部分的平衡）考虑留下部分的平衡0:0PNX得得PN 同样，亦可留下右半段作为

3、研究对象，可得同样的结同样，亦可留下右半段作为研究对象，可得同样的结果，如图。果，如图。PN 轴力的符号规定：轴力的符号规定：轴力背离截面，拉伸时为正，称为轴力背离截面，拉伸时为正，称为拉力；轴力指向导截面，压缩时为负，称为压力。拉力；轴力指向导截面，压缩时为负，称为压力。2.1 轴力和轴力图轴力和轴力图 第第2章章 当杆受多个外力作用时，则求轴力时须分段进行；同当杆受多个外力作用时，则求轴力时须分段进行；同时为了形象地表明各截面轴力的变化情况，可用时为了形象地表明各截面轴力的变化情况，可用“轴力图轴力图”表示，具体作法如下：表示，具体作法如下： 例例1 试画图示直杆的轴力图。试画图示直杆的轴

4、力图。kN2kN3kN3kN4解：解：求第一段杆的轴力：求第一段杆的轴力：kN21NkNNkNNX202:011得求第二段杆的轴力：求第二段杆的轴力：kN2kN32N032:02kNkNNXkNN12得求第三段杆的轴力：求第三段杆的轴力：kN2kN3kN43N0432:03kNkNkNNXkNN33得NxkN2kN1kN3轴力图如图所示。轴力图如图所示。2.2 横截面上的应力横截面上的应力 第第2章章 abcdppabcdpp2.2 横截面上的应力横截面上的应力 第第2章章 lPPll 假设：假设：变形前原是平面的截变形前原是平面的截面，在变形后仍然是平面面，在变形后仍然是平面。这个。这个假设

5、称为假设称为平面假设平面假设。 根据材料的连续性和均匀性假设，内力连续分布，且根据材料的连续性和均匀性假设，内力连续分布，且变形相同，内力也相同，于是可知，内力平均分布在横截变形相同，内力也相同，于是可知，内力平均分布在横截面上，即应力是均匀分布的。即面上，即应力是均匀分布的。即AN这就是拉压杆件横截面上各点应力的计算公式。这就是拉压杆件横截面上各点应力的计算公式。 称为横称为横截面上的截面上的正应力正应力或或法向应力法向应力。今后规定：。今后规定：拉应力为正；压拉应力为正；压应力为负。应力为负。2.3 斜截面上的应力斜截面上的应力 第第2章章 PpPNPP2.3 斜截面上的应力斜截面上的应力

6、 第第2章章 斜截面上的应力：斜截面上的应力：PPPpANp cosAA cosANp cosp 把把 分解成垂直于斜截面的正应力分解成垂直于斜截面的正应力 和相切于斜截面和相切于斜截面的剪应力的剪应力 （如图）。则（如图）。则pPp2coscos p2sin2sincossin p于是可知：于是可知：max)0(2max)45(2.4 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 第第2章章 PPd1dl1lPPl1ld1d 如图所示：如图所示：dddlll11,称为杆件的绝对伸长或缩短。于是称为杆件的绝对伸长或缩短。于是ddll1,分别称为分别称为轴向线应变轴向线应变和和横向线应变横向线应变。可见：。

7、可见：拉应变为正；压拉应变为正；压应变为负。应变为负。 经验表明，在弹性范围内经验表明，在弹性范围内APll 引入比例系数E，则EAPll E值与材料性质有关，称为弹性模量。值与材料性质有关，称为弹性模量。其中，其中，EA代表杆件抵抗变形的能力，称为代表杆件抵抗变形的能力，称为抗拉（压）抗拉（压）刚度刚度。EANll 2.4 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 第第2章章 若以若以N换换P，则上式可写成，则上式可写成于是可得于是可得E或或E以上三式均称为以上三式均称为虎克定律虎克定律。 实验表明，在弹性范围内，横向应变与轴向应变之比值实验表明，在弹性范围内，横向应变与轴向应变之比值是一个常数。即

8、是一个常数。即或或1值称为横向变形系数，或泊松比。值称为横向变形系数，或泊松比。12. 4 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 第第2章章 例例2 图示等直钢杆，材料的弹性模量图示等直钢杆，材料的弹性模量E=210GPa，试，试计算：（计算：（1）每段的伸长；（）每段的伸长；（2）每段的线应变；（）每段的线应变；（3）全杆）全杆的总伸长。的总伸长。 解：先求每段的轴力，解：先求每段的轴力，并作轴力图如图。并作轴力图如图。kN8kN10图N （1）求每段的伸长）求每段的伸长mEAlNlABABAB00152. 041081021021086293kN8kN2kN10mm8m2m3ABCmEAlNl

9、BCBCBC00284. 04108102103101062932. 4 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 第第2章章 （2）每段的线应变）每段的线应变4106 . 7200152. 0ABABABll41047. 9300284. 0BCBCBCll （3）求全杆的总伸长）求全杆的总伸长mmmlllBCABAC36. 400436. 000284. 000125. 0mmmEAlNl7 . 10017. 003. 01021051050249311112. 4 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 第第2章章 例例3 图示铰接三角架，在节点图示铰接三角架，在节点B受铅垂力受铅垂力P作用。已知：作

10、用。已知：杆杆AB为钢制圆截面杆，直径为为钢制圆截面杆，直径为30mm，杆，杆BC为钢制空心圆为钢制空心圆截面杆，外径为截面杆，外径为50mm，内径为，内径为44mm。P=40KN，E=210GPa，求节点，求节点B的位移。的位移。ABCPm3m4 解：（解：（1）求轴力。取铰）求轴力。取铰B为研究对为研究对象，受力如图。象，受力如图。BP2N1NkNNPNY500sin:011得kNNNNX300cos:0221得 （2）求两杆的变形）求两杆的变形mmmEAlNl1001. 0)044. 005. 0(10210310302249322222.4 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 第第2章章

11、 （3）求节点）求节点B的位移的位移BBB D22BDBDBB mmlBD1:2其中EHHEBHBEBD Ssinsin:1lBSBH且ctglctgBEHE2 代入数据，得代入数据，得mmBD8 . 2 于是点于是点B的位移为的位移为mmBB38 . 2122 2. 4 拉（压）杆的变形拉（压）杆的变形 第第2章章 例例4 图示等直杆，长图示等直杆，长 ，截面积，截面积A，材料容重，材料容重 。求。求整个杆件由自重引起的伸长整个杆件由自重引起的伸长 。 lll 解：如图，取微段杆，则解：如图，取微段杆，则xdxdx)(xNdGdGxN)(xAxN)(AdxdG是微量，可忽略不计。是微量，可忽

12、略不计。 于是，微段杆的伸长为于是，微段杆的伸长为ExdxEAdxxNdx)()(整个杆件的伸长为整个杆件的伸长为ElExdxdxlll2)(20)()(212)(22lEAlAlEll即：即：等直杆由自重引起的伸长等于把自重当作等直杆由自重引起的伸长等于把自重当作集中荷载作用在杆端所引起的伸长的一半。集中荷载作用在杆端所引起的伸长的一半。2.5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第2章章 材料受外力作用后在强度和变形方面所表现出来的性材料受外力作用后在强度和变形方面所表现出来的性质质材料的力学性质材料的力学性质。PPld 在室温下，以缓慢平稳加载的方式进行的拉伸实验，

13、在室温下，以缓慢平稳加载的方式进行的拉伸实验，称为称为常温静载拉伸实验常温静载拉伸实验。试件形状如图。试件形状如图。 在试件中间等直部分取长为在试件中间等直部分取长为 l 的一段作为工作段，称的一段作为工作段，称为为标距标距。对圆截面：对圆截面：dldl510和对矩形截面：对矩形截面：AlAl65. 53 .11和 下面以低碳钢和铸铁为代表来研究材料在拉伸和压缩下面以低碳钢和铸铁为代表来研究材料在拉伸和压缩时的力学性质。时的力学性质。2. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第2章章 （一）低碳钢拉伸时的力学性质（一）低碳钢拉伸时的力学性质 由实验可得拉伸图如图。由实

14、验可得拉伸图如图。abedlPc 为了消除尺寸的影响，将拉伸为了消除尺寸的影响，将拉伸图改造为图示的应力图改造为图示的应力应变图。应变图。abedcPesb曲线O 根据实验结果，低碳钢的力学根据实验结果，低碳钢的力学性质大致如下：性质大致如下： 1、弹性阶段：弹性阶段： ( ob ) oa为直线，即为直线，即 ，故故 。EtgEP称为称为比例极限比例极限。e称为称为弹性极限弹性极限。 在工程上，比例极限和在工程上，比例极限和弹性极限并不严格区分。弹性极限并不严格区分。 强度方面：强度方面：2. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第2章章 abedcPesb曲线O 2

15、、屈服阶段：屈服阶段：当应力当应力超过弹性极限时，应变显著超过弹性极限时，应变显著增加，应力在很小的范围内增加，应力在很小的范围内波动，此时称为波动，此时称为屈服屈服或或流动流动。s称为称为屈服极限屈服极限。屈服极限是衡量材料强度的屈服极限是衡量材料强度的重要指标。重要指标。 3、强化阶段：强化阶段：经过屈服材料又恢复了抵抗变形的能力，经过屈服材料又恢复了抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化。这种现象称为材料的强化。b称为称为强度极限强度极限。 4、局部变形阶段：局部变形阶段：过过 d 点后，在试件的某一局部范围点后，在试件的某一局部范围内，横向尺寸突然急剧缩小，形成内，横向尺寸突然急剧缩小

16、，形成颈缩颈缩现象，直到试件被拉现象，直到试件被拉断。断。 强度极限是衡量材料强度的另一重要指标。强度极限是衡量材料强度的另一重要指标。2. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第2章章 变形方面变形方面 1、弹性变形和塑性变形：弹性变形和塑性变形： 如图，对应应变如图，对应应变nk所发生的变所发生的变形为形为弹性变形弹性变形，对应应变，对应应变on所发生的所发生的变形为变形为塑性变形塑性变形。 衡量材料塑性性质的指标：衡量材料塑性性质的指标：（1）延伸率延伸率%1001ll1l为拉断时标距的伸长量。为拉断时标距的伸长量。（2）截面收缩率截面收缩率%1001AAA1A

17、为拉断后颈缩处的截面面积。为拉断后颈缩处的截面面积。abedcOmnk2. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能第第2章章 2、冷作硬化冷作硬化abedcOmnkabedcOmnk2. 5 材料在拉伸、压缩时的力学性能材料在拉伸、压缩时的力学性能（二）低碳钢压缩时的力学性质（二）低碳钢压缩时的力学性质o 低碳钢压缩时的应力应变低碳钢压缩时的应力应变曲线如图所示。曲线如图所示。 （三）铸铁在拉伸和压缩时的（三）铸铁在拉伸和压缩时的力学性质力学性质 铸铁拉伸和压缩时的应力铸铁拉伸和压缩时的应力应变曲线如图所示。应变曲线如图所示。oo第第2章章 # 低碳钢拉伸实验曲线低碳钢拉

18、伸实验曲线OP LPePpPsPb线弹性阶段线弹性阶段屈服阶段屈服阶段强化阶段强化阶段颈缩阶段颈缩阶段屈服极限屈服极限：0APss 0APbb 强度极限强度极限：冷作硬化冷作硬化%100001 LLL 延伸率延伸率：%100010 AAA 断面断面收缩率收缩率：弹性极限和比例极限弹性极限和比例极限PP, Pe E=tg O1O2f1(f)低碳钢拉伸低碳钢拉伸应力应变曲线应力应变曲线D( s下下)( e) BC( s上上)A( p)E( b) g (MPa)200400 0.10.2O低碳钢压缩低碳钢压缩应力应变曲线应力应变曲线 O bL灰铸铁的灰铸铁的拉伸曲线拉伸曲线 by灰铸铁的灰铸铁的压缩

19、曲线压缩曲线 = 45o55o剪应力引起断裂剪应力引起断裂2.6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数 材料丧失正常工作能力时的应力，称为材料丧失正常工作能力时的应力，称为危险应力危险应力或或极限极限应力应力，用，用 表示。表示。0对于塑性材料对于塑性材料s0；对于脆性材料；对于脆性材料b0 为了保证构件具有足够的强度，最大的工作应力不能超为了保证构件具有足够的强度，最大的工作应力不能超过危险应力。不仅如此，还要有一定的安全储备，因此，将过危险应力。不仅如此，还要有一定的安全储备，因此，将危险应力打一折扣，除以一大于一的系数，以危险应力打一折扣，除以一大于一的系数，以n表示

20、，称为表示，称为安全系数安全系数，所得结果称为，所得结果称为容许应力容许应力（或（或许用应力许用应力），即），即 n0对于塑性材料对于塑性材料；对于脆性材料；对于脆性材料 sn0 bn0第第2章章 2. 6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数 于是，就可建立强度条件如下：于是，就可建立强度条件如下： max 对于等截面杆对于等截面杆 ANmaxmax 根据上述强度条件，可以进行以下三种类型的强度计算根据上述强度条件，可以进行以下三种类型的强度计算 （1）强度校核强度校核 （2）设计截面设计截面 maxNA （3）确定容许荷载确定容许荷载 ANmax第第2章章 2. 6 强

21、度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数 例例5 图示屋架受到竖向均布荷载图示屋架受到竖向均布荷载q=4.2kN/m , 水平钢拉水平钢拉杆的直径杆的直径d=20mm , 钢的容许应力钢的容许应力 。（。（1）校核）校核拉杆的强度；（拉杆的强度；（2）重新选择拉杆的直径。）重新选择拉杆的直径。 MPa160mkNq2 . 4ABCm5 . 8m42. 1解：（解：（1）求拉杆的轴力）求拉杆的轴力 由对称性可得：由对称性可得：kNYYBA85.172 . 45 . 821BCmkNq2 . 4BYCXCYN用截面法取右半部分为研究对象，用截面法取右半部分为研究对象，025. 422

22、5. 425. 442. 1:0BCYqNM解得：解得：kNN7 .26 （2）强度校核）强度校核第第2章章 2. 6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数 MPaPaAN85108510204107 .266623所以钢拉杆满足强度要求。所以钢拉杆满足强度要求。 （3）重新选择钢拉杆的直径）重新选择钢拉杆的直径 NdA214 mmmNd6 .14106 .1410160107 .26443631取取 。mmd15第第2章章 2. 6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数 例例6 图示结构：图示结构： AC杆为钢杆杆为钢杆； BC杆为木杆杆为木杆 ；求；

23、求结构的容许结构的容许荷载荷载 。 MPammA160,1000121 MPammA7,20000222 PABC3060P 解：（解：（1）建立轴力与荷载的关系）建立轴力与荷载的关系 取节点取节点C为研究对象，受力如图，有为研究对象，受力如图，有CACNBCN060cos30cos:0060sin30sin:0PNNYNNXBCACBCAC2,23:PNPNBCAC解得 （2）求各杆的容许轴力）求各杆的容许轴力第第2章章 2. 6 强度计算、容许应力和安全系数强度计算、容许应力和安全系数 kNNANkNNANBCAC14010140102000010716010160101000101603

24、662236611 （3）计算容许荷载）计算容许荷载 kNNPACAC7 .18432 kNNPBCBC2802故结构的容许荷载为故结构的容许荷载为 kNPPAC7 .184第第2章章 2. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题 用静力平衡方程可求出全部反力和内力的问题，称为用静力平衡方程可求出全部反力和内力的问题，称为静定问题静定问题；仅用静力平衡方程不能求出全部反力和内力的；仅用静力平衡方程不能求出全部反力和内力的问题，称为问题，称为超静定问题超静定问题。例如。例如PPABARBRABCDPABCDPAXAY1N2N 超静定问题的超静定问题的求解方法：求解方法： （1）静力方面

25、静力方面：列平衡方程。列平衡方程。 （2）几何方面几何方面：寻找变形协调条件，建立变形协调方程。寻找变形协调条件，建立变形协调方程。 （3）物理方面物理方面：由虎克定律计算变形。：由虎克定律计算变形。 将变形代入变形协调方程，即得补充方程，补充方程将变形代入变形协调方程，即得补充方程，补充方程和平衡方程联立求解，即可求得结果。下面举例说明：和平衡方程联立求解，即可求得结果。下面举例说明：第第2章章 2. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题 例例7 图示结构，由刚性杆图示结构，由刚性杆AB及两弹性杆及两弹性杆EC及及FD组成，组成，求杆求杆EC及及FD的内力。的内力。abbbPAB

26、CDEF11AE22AEABCDPAXAY1N2NABCDP1l2l 解：（解：（1）静力方面：取）静力方面：取AB为为研究对象，受力如图。研究对象，受力如图。032:021bPbNbNMA （2）几何方面：如图）几何方面：如图2121ll （3）物理方面：由虎克定律）物理方面：由虎克定律22221111,AEaNlAEaNl于是可得补充方程于是可得补充方程2221112AEaNAEaN第第2章章 2. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题 将补充方程同平衡方程联立求解，即得将补充方程同平衡方程联立求解，即得221122222111114643AEAEPAENAEAEPAEN结果表

27、明：结果表明：对于超静定结构，各杆内力的大小与其刚度成对于超静定结构，各杆内力的大小与其刚度成正比。正比。第第2章章 2. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题 例例8 图示三杆组成的结构，在节点图示三杆组成的结构，在节点A受力受力P的作用，试的作用，试求三杆的内力。求三杆的内力。 解：（解：（1）静力方面：以节点）静力方面：以节点A为研为研究对象，受力如图。究对象，受力如图。PA1N3N2N0coscos:00sinsin:021312PNNNYNNX （2）几何方面：如图）几何方面：如图PABCD11AE11AE22AE123lAA1l3l2l13cosll （3）物理方面：由

28、虎克定律）物理方面：由虎克定律22331111,cosAElNlAElNl于是可得补充方程于是可得补充方程coscos223111AElNAElN第第2章章 2. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题 将补充方程同平衡方程联立求解，即得将补充方程同平衡方程联立求解，即得PAEAEAENPAEAEAENN223112232231121121cos2cos2cos第第2章章 变形协调关系变形协调关系:wstllFWFstF物理关系物理关系: :WWWWAElFlststststAElFl 平衡方程平衡方程: :stWFFF解：解：（1 1）WWWstststAEFAEF补充方程补充方程

29、: :（2 2） 木制短柱的木制短柱的4 4个角用个角用4 4个个40mm40mm40mm40mm4mm4mm的等边角钢加固，的等边角钢加固， 已知角钢的许用应力已知角钢的许用应力 stst=160MPa=160MPa，E Estst=200GPa=200GPa；木材的许；木材的许用应力用应力 W W=12MPa=12MPa，E EW W=10GPa=10GPa，求许可载荷，求许可载荷F F。F2502502. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题例例 9 9第第2章章 2. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题代入数据，得代入数据，得FFFFstW283. 0717.

30、 0根据角钢许用应力，确定根据角钢许用应力，确定FstststAF283. 0kN698F根据木柱许用应力，确定根据木柱许用应力，确定FWWWAF717. 0kN1046F许可载荷许可载荷 kN698FF250250查表知查表知40mm40mm40mm40mm4mm4mm等边角钢等边角钢2cm086. 3stA故故 ,cm34.1242ststAA2cm6252525WA第第2章章 2. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题 例例10 图示结构，杆图示结构，杆1、2的弹的弹性模量均为性模量均为E，横截面积均为，横截面积均为A，梁梁BD为刚体，荷载为刚体，荷载P=50KN，许，许用拉

31、应力为用拉应力为 ，许，许用压应力为用压应力为 ，试，试确定各杆的横截面面积。确定各杆的横截面面积。MPa120MPa160BCDP1245lll 解：（解：（1）静力方面：以杆）静力方面：以杆BD为研究对象，受力如图。为研究对象，受力如图。BBXBY1N2NCDP4502222:02245sin:02121PNNlPlNlNMB即第第2章章 2. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题BCDP1245lllBDDCC2l1C CCC 451l （2）几何方面：如图）几何方面：如图CCDDl221245sinlCCCC 于是可得变形协调方程为于是可得变形协调方程为1222ll （3）

32、物理方面：由虎克定律）物理方面：由虎克定律EAlNEAlNlEAlNEAlNl222211112第第2章章 2. 7 拉伸和压缩的超静定问题拉伸和压缩的超静定问题于是可得补充方程于是可得补充方程124NN （4）计算轴力：将补充方程同平衡方程联立求解，）计算轴力：将补充方程同平衡方程联立求解，即得即得kNPNkNPN9.4512850281282849.1112850221282221 （5）截面设计：由强度条件）截面设计：由强度条件23222311287160109 .458 .951201049.11mmNAmmNA所以，应取所以，应取221287mmAA第第2章章 l拉伸、压缩超静定问题拉伸、压缩超静定问题 在图示结构中，设横梁在图示结构中，设横梁AB的的变形可以省略，变形可以省略，1，2两杆的横截两杆的横截面面积相等，材料相同。试求面面积相等，材料相同。试求1，2两杆的内力。两杆的内力。2132cos0NNFFF1 1、列出独立的平衡方程、列出独立的平衡方程解：解：2 2、变形几何关系、变形几何关系212cosll 3 3、物理关系、物理关系11,NF llEA 22cosNF llEA4 4、补充方程、补充方程2122cosNNF lF lEAEA5 5、求解方程组得、求解方程组得1