江苏连云港田家炳中学高三数学复习课件函数的单调性

1、第四节函数的单调性第四节函数的单调性基础梳理定义单调增函数单调减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1x2时，都有_，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的_当x1f(x2)f(x1)0，b0)的单调性：在_和_上单调递增；在_和_上单调递减1xbx(0,1 (-，-11，+)-1,0),ba ,ba0ba0ba基础达标 (必修1P43练习2改编)函数f(x)=1-3x在(-，+)上是_函数；f(x)= +2在(-，0)上是_函数1x减减2. (必修1P34例题改编)函数f(x)=x2-2x+4的增区间为_；

2、减区间为_(-，1 1，+)3. f(x)=x2-2ax+3在(-，4上是减函数，则a的取值范围为_解析：画出图形可知a4. 4，+)4. 下列函数中，在区间(0，+)上不是增函数的是_(填序号)y=2x+1；y=3x2+1；y= ；y=|x|.2x解析：在R上递增；在(0，+)上递增；在(0，+)上递增；只有在(0，+)上递减 5. 若函数y=ax与y= 在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+)上是_(填“增函数”或“减函数”) bx解析：由题意知a0且b0，则y=ax2+bx图象开口向下且对称轴x=-0，故此函数在(0，+)上递减 减函数【例1】判断下列函数的单调性，并给予

3、证明(1)f(x)= ，x(-1，+)；(2)f(x)= ，x-1，+)经典例题21x1x题型一函数单调性的判断与证明分析：先判断单调性，再用单调性的定义证明(1)采用通分进行变形，(2)采用分子有理化的方式进行变形解：(1)函数f(x)= 在(-1，+)上为减函数利用定义证明如下：任取x1、x2(-1，+)，且-1x1x2，则f(x1)-f(x2)=-1x10，x2+10，x2-x10， 0，即f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)故f(x)= 在(-1，+)上为减函数 21x2112122221111xxxxxx 2112211xxxx 21x(2)函数f(x)= 在-1，+)上为

4、增函数证明如下：任取x1、x2-1，+)且-1x1x2，则有x1-x20，f(x1)-f(x2)=-1x1x2，x1-x20， 即f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)故函数f(x)=在-1，+)上为增函数1x1212121211111111xxxxxxxx 12121212111111xxxxxxxx 1210,10 xx 121211xxxx 变式1-1试讨论函数f(x)= ，x(-1,1)的单调性(其中a0)21axx 解析：设-1x1x21，则f(x1)-f(x2)= .-1x1x21，|x1|1，|x2|0，|x1x2|1，即-1x1x20. .因此，当a0时，f(x1)-f

5、(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为减函数；当a0时，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0，且a1)；(2)y=log1/2(4x-x2)；(3)y= ；(4)y=|x-3|-|x+1|.题型二求函数单调区间223xx分析：研究函数单调性，必须先确定区间(即定义域)，注意复合函数的“同增异减”的运用考查运用函数图象求单调区间 解：(1)定义域为R，g(x)=1-x，在R上是减函数，当a1时，y=a1-x在R上是减函数；当0a1时，函数的减区间是R；当0a0，在(0,2上递增，在2,4)上递减，故函数y=log 1/2(4x-x2)增区间是2,4)，减区间是(0,2 (3)由y=

6、，得-x2-2x+30，得-3x1，且对称轴为x=-1，开口向下，故函数的增区间是-3，-1，减区间是-1,1223xx(4)y=|x-3|-|x+1|=故此函数的减区间为(-1,3)4,122, 134,3xxxx 变式2-1求下列函数的单调区间(1)y=-x2+2|x|+3；(2)y=log0.7(x2-3x+2)解析：(1)y=-x2+2|x|+3=即y=如图：单调递增区间是(-，-1和0,1，递减区间是(-1,0)和(1，+)2223,023,0 xxxxxx2214,014,0.xxxx (2)由x2-3x+20，得函数的定义域是(-，1)(2，+)，令t=x2-3x+2，则y=lo

7、g0.7t.t=x2-3x+2= ，t=x2-3x+2的单调减区间是(-，1)，增区间是(2，+)，又y=log0.7t在(0，+)上是减函数，函数y=log0.7(x2-3x+2)的单调减区间是(2，+)，单调增区间是(-，1) 23124x【例3】函数f(x)对任意的a、bR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.题型三抽象函数的单调性分析：根据题目中所给的关系式通过赋值、变形、构造，寻找f(x2)与f(x1)的关系解：(1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2-x1

8、)1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10，f(x2)f(x1)，即f(x)是R上的增函数(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2)f(x)是R上的增函数，3m2-m-22，解得-1m0时，f(x)x2，则x1-x20，f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)又x0时，f(x)0，f(x1-x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)

9、-f(x2)=f(x1-x2)又x0时，f(x)0，f(x1-x2)0，即f(x1)0时，恒有f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)(1)求f(0)的值；(2)求证：对任意的xR，恒有f(x)0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围题型四函数单调性的应用(1)令a=b=0，得f(0)=1.(2)证明：令a=x，b=-x，则f(0)=f(x)f(-x)f(-x)= .由已知x0时，f(x)10；当x0，f(-x)0，f(x)= 0.又x=0时，f(0)=10，对任意xR，f(x)0. 1f x 1fx (3)证明：任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10， =f(x2)f(-x1)=f(x2-x1)1，f(x2)f(x1)，f(x)在R上是增函数(4)f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又f(0)=1，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)，得3x-x20，0 x1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2-x)在闭区间2,4上是增函数，只需g(x)=ax2-x在2,4上是增