微积分下第一分册72-73正项任意项级数判别

1、正项级数：正项级数： 若若,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数正项级数1nnu收敛收敛部分和序列部分和序列nS),2, 1(n有界有界 .若若1nnu收敛收敛 , ,收敛则nS,0nu部分和数列部分和数列nSnS有界有界, 故故nS1nnu从而从而又已知又已知故有界故有界.则称则称为为正项级数正项级数 .单调递增单调递增, 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证: “ ”“ ”第二节第二节正项级数敛散性的判别正项级数敛散性的判别定理定理2 (比较判别法比较判别法)设设,1nnu1nnv且且 对一切对一切,Nn有有(1) 若级数若级数1nnv则级数则级数1nnu(2) 若级数若级数1nnu则级数则

2、级数1nnv和令nSn则有则有收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也发散也发散 .分别表示分别表示 和和 的部分和的部分和, 则有则有nnvu 是两个是两个正项级数正项级数, ,1nnu1nnv(1) 若级数若级数1nnv则有则有nn lim因此对一切因此对一切,Nn有有nS由定理由定理 1 可知可知,1nnu则有则有(2) 若级数若级数1nnu,limnnS因此因此,limnn这说明级数这说明级数1nnv也发散也发散 .nSn也收敛也收敛 .发散发散, ,收敛收敛,级数级数例例1. 讨论讨论 p 级数级数pppn131211(常数常数 p 0)的敛散性的敛散性. 解解: 1) 若若, 1

3、p因为对一切因为对一切,Nn而调和级数而调和级数11nn由比较审敛法可知由比较审敛法可知 p 级数级数11npnn1发散发散 .发散发散 ,pn1, 1p因为当因为当nxn1,11ppxn故故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考虑强级数考虑强级数1121) 1(1ppnnn的部分和的部分和n111) 1(11ppnkkkn故强级数收敛故强级数收敛 , 由比较审敛法知由比较审敛法知 p 级数收敛级数收敛 .时时,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若若证明级数证明级数1) 1(1nnn发散发散 .证证: 因为因为2) 1(

4、1) 1(1nnn),2, 1(11nn而级数而级数111nn21kk发散发散根据比较判别法可知根据比较判别法可知, 所给级数发散所给级数发散 .例例2.2.定理定理3. (比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有则有两个级数同时收敛或发散两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu设两正项级数设两正项级数满足满足(1) 当当 0 l 时时,的敛散性的敛散性. nnn1lim例例3. 判别级数判别级数11sinnn的敛散性的敛散性 .解解: nlim s

5、in1nn11根据比较判别法的极限形式知根据比较判别法的极限形式知.1sin1发散nn例例4. 判别级数判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较判别法的极限形式知根据比较判别法的极限形式知.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn定理定理4 . 比值判别法比值判别法 ( Dalembert 判别法判别法)设设 nu为正项级数为正项级数, 且且,lim1nnnuu则则(1) 当当1(2) 当当1时时, 级数收敛级数收敛 ;或或时时, 级数发散级数发散 . limn例例5. 讨论级数讨论级数)0(11xxnnn的敛散性的敛散性 .解解: nn

6、nuu1limnxn) 1( 1nxnx根据定理根据定理4可知可知:,10时当 x级数收敛级数收敛 ;,1时当 x级数发散级数发散 ;.1发散级数nn,1时当 x定理定理5. 根值判别法根值判别法 ( Cauchy判别法判别法)设设 1nnu为正项级为正项级,limnnnu则则;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 数数, 且且正项级数判别法的优先使用顺序：正项级数判别法的优先使用顺序：2、比值或根值判别法、比值或根值判别法3、比较判别法的极限形式、比较判别法的极限形式4、比较判别法、比较判别法5、部分和数列是否有界、部分和数列是否有界1、先看一般项是否趋向于、先看一般项是否趋向

7、于0一一 、交错级数及其判别法、交错级数及其判别法 则各项符号正负相间的级数则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1( 称为称为交错级数交错级数 .定理定理6 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件若交错级数满足条件: 则级数则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛收敛 , 且其和且其和 .1uS ,2, 1,0nun设第三节第三节 任意项级数敛散性的判别任意项级数敛散性的判别收敛收敛收敛收敛nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数

8、的敛散性判别下列级数的敛散性:nnn10) 1(104103102101)31432收敛收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn发散发散收敛收敛收敛收敛 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数,1nnu若若若原级数收敛若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散但取绝对值以后的级数发散, 则称原则称原级级111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nn

9、nn1nnu收敛收敛 ,1nnu数数1nnu为条件收敛为条件收敛 .均为绝对收敛均为绝对收敛.例如例如 ：绝对收敛绝对收敛 ；则称原级则称原级数数条件收敛条件收敛 .定理定理7. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数一定收敛 .证证: 设设1nnunv),2,1(n根据比较判别法根据比较判别法显然显然,0nv1nnv收敛收敛,收敛收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛也收敛)(21nnuu 且且nv,nu收敛收敛 , 令令例例1 证明下列级数绝对收敛证明下列级数绝对收敛 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn证证: (1),1sin44nnn而而141nn

10、收敛收敛 ,14sinnnn收敛收敛因此因此14sinnnn绝对收敛绝对收敛 .(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收敛,绝对收敛.内容小结内容小结1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 利用正项级数判别法利用正项级数判别法必要条件必要条件0limnnu不满足不满足发发 散散满足满足比值判别法比值判别法 limn1nunu根值判别法根值判别法nnnulim1收收 敛敛发发 散散1不定不定 比较判别法比较判别法用它法判用它法判别别部分和

11、极限部分和极限13. 任意项级数判别法任意项级数判别法为收敛级数为收敛级数1nnu设Leibniz判别法判别法:01nnuu0limnnu则交错级数则交错级数nnnu1) 1(收敛收敛概念概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛绝对收敛,1发散若nnu条件收敛条件收敛1nnu称注：注：一般的，一般的，1nnu发散时，发散时，不一定发散，不一定发散，根据比值判别法判定根据比值判别法判定 发散发散,则则 1nnu一定发散。一定发散。1nnu1nnu但是，如果但是，如果判别任意项级数敛散性步骤：判别任意项级数敛散性步骤：1、先看一般项是否趋于、先看一般项是否趋于0；2、看其是否绝对收敛；、看其是否绝对收敛；3、是否条件收敛；、是否条件收敛；（若不绝对收敛（若不绝对收敛,且用比值判别法得到且用比值判别法得到,则原级数发散）则原级数发散）（交错级数，用莱布尼兹判别法）（交错