五年级奥数完整教案老师版

1、奥数第一讲巧算小朋友，你是不是在日常生活和解答数学问题时，经常要进行计算？在数学课里我们学习了一些简便计算的方法，但如果善于观察、勤于思考，计算中还能找到更多的巧妙的计算方法哦，不仅使你能算得好、算得快，还可以让你变得聪 明和机敏。一、计算：9.996+ 29.98+ 169.9+ 3999.5解：算式中的加法看来无法用数学课中学过的简算方法计算， 但是，这几个数每 个数只要增加一点，就成为某个整十、整百或整千数，把这几个数 凑整”以后， 就容易计算了。当然要记住， 凑整”时增加了多少要减回去。9.996+ 29.98+169.9+ 3999.5=10+ 30+ 170+ 4000 ( 0.0

2、04+ 0.02+ 0.1+ 0.5)=42100.624=4209.376二、计算：1 + 0.99-0.98-0.97+ 0.96+0.95-0.94-0.93+ - +0.04+0.03-0.02 -0.01解：式子的数是从1开始，依次减少0.01,直到最后一个数是 0.01,因此，式 中共有100个数而式子中的运算都是两个数相加接着减两个数，再加两个数，再减两个 数这样的顺序排列的。由于数的排列、运算的排列都很有规律，按照规律可以考虑每4个数为一组添上括号，每组数的运算结果是否也有一定的规律？可以看到把每组数中第1个数减第3个数，第2个数减第4个数，各得0.02,合起来是0.04,那么

3、，每组数(即每个括号)运算的结果都是0.04,整个算式100个数正好分成25组，它的结果就是25个 0.04的和。1 + 0.99- 0.98 0.97+ 0.96+ 0.95- 0.94-0.93+ + 0.04+ 0.03- 0.020.01 =(1 + 0.99-0.98- 0.97) + (0.96+ 0.95-0.94- 0.93) + + (0.04+0.03- 0.02 0.01)=0.04 25=1如果能够灵活地运用数的交换的规律，也可以按下面的方法分组添上括号计算：1 + 0.99 0.98 0.97+ 0.96+ 0.95 0.94 0.93+ + 0.04+ 0.03 0

4、.02 0.01=1+ (0.99-0.98- 0.97+0.96)+(0.95-0.94- 0.93+0.92) + + (0.03 0.02 0.01)=1三、计算：0.1 + 0.2+0.3+-+0.8+0.9+ 0.10+ 0.11+0.12+ 0.19+ 0.20解：这个算式的数的排列像一个等差数列，但仔细观察，它实际上由两个等差数列组成，0.1 + 0.2+ 0.3+ + 0.8+ 0.9是第一个等差数列，后面每一个数都比前一个数多 0.1,而0.10+0.11 + 0.12+ + 0.19+0.20是第二个等差数列，后面每一个数都 比前一个数多0.01,所以，应分为两段按等差数列

5、求和的方法来计算。0.1+0.2+0.3+0.8+0.9+0.10+0.11+0.12+ + 0.19+0.2=(0.1 + 0.9) >9笠 + (0.10+0.20) X112=4.5+1.65=6.15四、计算：9.9 9.9+1.99解：算式中的9.9 >9.9两个因数中一个因数扩大10倍，另一个因数缩小10倍， 积不变，即这个乘法可变为 99X0.99+1.99可以分成0.99+1的和，这样变化以 后，计算比较简便。9.9 9.9+1.99=99X0.99+ 0.99+ 1=(99+1) >0.99+ 1=1002.437 36.54+ 243.7 0.6346解：

6、虽然算式中的两个乘法计算没有相同的因数，但前一个乘法的2.437和后一个乘法的243.7两个数的数字相同，只是小数点的位置不同，如果把其中一个乘法的两个因数的小数点按相反方向移动同样多位，使这两个数变成相同的，就可以运用乘法分配律进行简算了。2.437 36.54+ 243.7 0.6346=2.437 36.54+ 2.437 63.46=2.437 X(36.54+ 63.46)=243.7六、计算：1.1 1.2 1.3 1.4 X.5解：算式中的几个数虽然是一个等差数列，但算式不是求和，不能用等差数列求和的方法来计算这个算式的结果。平时注意积累计算经验的同学也许会注意到7、11和13这

7、三个数连乘的积是 1001,而一个三位数乘1001,只要把这个三 位数连续写两遍就是它们的积，例如578M001=578578,这一题参照这个方法计算，能巧妙地算出正确的得数。1.1 1.2 X.3 1.4 1.5=1.1 1.3 处.7 2X1.2 1.5=1.001 3.6=3.6036练习1. 5.467+ 3.814+7.533+ 4.1862. 6.25 1.25 6.43. 3.997+ 19.96+1.9998+ 199.74. 0.1 + 0.3+0.9+ 0.11 + 0.13+ 0.15+0.97+ 0.995. 199.9 19.98-199.8 19.976. 23.7

8、5 8.987+ 6.013 92.07+6.832 39.877. 20042005)20052004-20042004)200520058. (1+0.12+0.23) X (0.12+0.23+ 0.34) ( 1 +0.12+0.23+ 0.34) X (0.12 + 0.23)9. 6.734- 1.536+ 3.266-4.46410. 0.8 0.12511. 89.1 + 90.3 + 88.6 +92.1 + 88.9 + 90.812. 4.83 X0.59 + 0.41 X 1.59 - 0.324 X 5.913. 37.5 X21.5 X 0.112 + 35.5 X

9、 12.5 X 0.11214. 9999X2222+3333X 333415. 1989X 1999-1988 X2000奥数第二讲数的整除如果整数a除以不为零数b,所得的商为整数而余数为0,我们就说a能被 b整除，或叫b能整除a。如果a能被b整除，那么，b叫做a的约数，a叫做 b的倍数。数的整除的特征：（1） 能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是2、4、6、8、0, 那么这个整数一定能被2整除。（2） 能被3 （或9）整除的数的特征：如果一个整数的各个数字之和能被3 （或9）整除，那么这个整数一定能被 3 （或9）整除。（3） 能被4 （或25）整除的数的特征：如果一个整数的末两

10、位数能被4（或25）整除，那么这个数就一定能被 4 （或25）整除。（4） 能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0或5,那么这 个整数一定能被5整除。（5） 能被6整除的数的特征：如果一个整数能被 2整除，又能被3整除， 那么这个数就一定能被6整除。（6） 能被7 （或11或13）整除的数的特征：一个整数分成两个数，末三 位为一个数，其余各位为另一个数，如果这两个数之差是0或是7（或11或13） 的倍数，这个数就能被7 （或11或13）整除。（7） 能被8 （或125）整除的数的特征：如果一个整数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就一定能被 8 （或125）整除。（8）

11、能被11整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位 数字之和的差（大减小）能被11整除，那么它必能被11整除。一、例题与方法指导例1、下列各数哪些能被7整除？哪些能被13整除？（数的整除特征）88205, 167128, 250894, 396500,675696, 796842, 805532, 75778885。例2、一个六位数23D56口是88的倍数，这个数除以88所得的商是或 思路导航：一个数如果是88的倍数,这个数必然既是8的倍数,又是11的倍数.根据8 的倍数，它的末三位数肯定也是8的倍数，从而可知这个六位数个位上的数是 0 或8.而11的倍数奇偶位上数字和的差应是 0或

12、11的倍数，从已知的四个数看， 这个六位数奇偶位上数字的和是相等的，要使奇偶位上数字和差为0,两个方框 内填入的数字是相同的，因此这个六位数有两种可能23 056 O 或 23 856 8J又 230560 88=2620 23856888=2711所以，本题的答案是2620或2711.例3、1234567890 ,这个H一位数能被36整除，那么这个数的个位上的数 最小是.思路导航：36=9 4,所以这个十一位数既能被9整除，又能被4整除.因为1+2+ +9=45,由能被9整除的数的特征，(可知+口之和是0 (0+0)、9 (1+8, 8+1, 2+7, 7+2, 3+6, 6+3, 4+5,

13、 5+4)和18 (9+9).再由能被4整除的数的特征：这 个数的末尾两位数是4的倍数，可知是00,04,，36,，72, 96.这样， 这个H一位数个位上有0,2,6三种可能性.所以，这个数的个位上的数最小是0.例4、下面一个1983位数33一-3口444中间漏写了一个数字(方框)，已 991个99T"个知这个多位数被7整除，那么中间方框内的数字是 . 思路导航：33- -3D44 y 'Y'¥J 991个 991 个二33=3 10993+3口4 10990+44- 4990 个990因为111111能被7整除，所以33二3和444都能被7整除，所以只要

14、990厂个 990 73口4能被7整除，原数即可被7整除.故得中间方框内的数字是6.例5、有三个连续的两位数，它们的和也是两位数，并且是11的倍数.这三个 数是.思路导航：三个连续的两位数其和必是3的倍数，已知其和是11的倍数，而3与11互质, 所以和是33的倍数，能被33整除的两位数只有3个，它们是33、66、99.所以有 当和为33时，三个数是10,11,12 ;当和为66时，三个数是21,22,23 ;当和为99时，三个数是32,33,34.所以，答案为 10,11,12 或 21,22,23 或 32,33,34。注“三个连续自然数的和必能被3整除”可证明如下：设三个连续自然数为 n,

15、n+1,n+2,则n+(n+1)+( n+2)=3n+3=3(n+1)所以，n (n 1) (n 2)能被3整除.二、巩固训练1 .有这样的两位数，它的两个数字之和能被4整除，而且比这个两位数大1 的数，它的两个数字之和也能被4整除.所有这样的两位数的和是 .2 . 一个小于200的自然数，它的每位数字都是奇数，并且它是两个两位数 的乘积,那么这个自然数是.3 .任取一个四位数乘3456,用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的 各位数字之和,C表示B的各位数字之和，那么C是.4 .有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如 果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，

16、第五个数的末位数字是1. 118符合条件的两位数的两个数字之和能被 4整除,而且比这个两位数大1的数, 如果十位数不变，则个位增加1,其和便不能整除4,因此个位数一定是9,这种两 位数有:39、79.所以，所求的和是39+79=118.2. 195因为这个数可以分解为两个两位数的积，而且15 15=225>200，所以其中至少有1个因数小于15,而且这些因数均需是奇数，但11不可能符合条件，因为对 于小于200的自然数凡11的倍数，具有隔位数字之和相等的特点，个位百位若是 奇数，十位必是偶数.所以只需检查13的倍数中小于200的三位数13 13=169不 合要求,13 15=195适合要

17、求.所以，答案应是195.3. 9根据题意，两个四位数相乘其积的位数是七位数或八位数两种可能.因为3456=384 9,所以任何一个四位数乘3456,其积一定能被9整除，根据 能被9整除的数的特征，可知其积的各位数字之和 A也能被9整除，所以A有以下八种可能取值：9,18,27,36,45,54,63,72.从而A的各位数字之和B总是9, B的各位数字之和C也总是9.4. 90+1+4+7+9=21能被3整除，从中去掉0或9选出的两组四个数字组成的 四位数能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9两种选择组成四位数，由小到大排列 为:1047,1074,1407,1470,1479,149

18、7.所以第五个数白末位数字是 9.三、拓展提升1 .找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以 被它们的差整除，如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小 ，那 么这四个数里中间两个数的和是多少？2 .只修改21475的某一位数字,就可知使修改后的数能被225整除，怎样修 改？3 .试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相 连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排 法；如果回答：“不能”，则需给出说明.答案1 .如果最小的数是1,则和1 一起能符合“和被差整除”这一要求的数只 有2和3两数，因此最小的数

19、必须大于或等于2.我们先考察2、3、4、5这四个数，仍不符合要求，因为5+2=7,不能被5-2=3整除.再往下就是2、3、4、6,经试 算，这四个数符合要求.所以，本题的答案是（3+4）=7.2 .因为225=25 9,要使修改后的数能被25整除，就要既能被25整除，又能 被9整除，被25整除不成问题，末两位数75不必修改，只要看前三个数字即可， 根据某数的各位数字之和是9的倍数，则这个数能被9整除的特征，因为 2+1+4+7+5=19,19=18+1,19=27-8,所以不难排出以下四种改法：把1改为0;把4 改为3;把1改为9;把2改为1.3 .不能.假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的

20、100个数，我们来按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组,其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5 个数中都至少有两个数是3的倍数.从而一共有不少于40个数是3的倍数.但事 实上，在1至100的自然数中有33个数是3的倍数，导致矛盾.奥数第三讲数字谜小朋友们都玩过字谜吧，就是一种文字游戏，例如 空中码头”（打一城市名）。 谜底你还记得吗？记不得也没关系，想想 空中”指什么？天”。这个地名第1个 字可能是天。码头”指什么呢？码头又称渡口，联系这个地名开头是天”字,容易想到 天津”这个地名，而 律”正好又是 渡口 ”的意思。这样谜底就出来了：大 津。算式谜又被称为虫食算”，意思是说一道算

21、式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认，需要运用四则运算各部分之间的关系， 通过推理判定被吃掉的数字，把 算式还原。虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜，其中未知的数字常常用口 、等图形符号或字母表示。文字算式谜是前两种算式谜的延伸，用文字或字 母来代替未知的数字，在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字， 相同 的数字或字母表示同一个数字。文字算式谜也是最难的一种算式谜。在数学里面，文字也可以组成许许多多的数学游戏， 就让我们一起来看看吧。横式字谜、例题与方法指导例1、口，口8, 口97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字，可以使得这3个数的平均数是150。那么所填的3个数字之和是多少？思路

22、导航：150 X 3-8-97-5=340所以3个数之和为3+4+5=12。例2、我学数学乐 械学数学乐=数数数学数数学学数学在上面的乘法算式中， 我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。如果 乐”代表9,那么我数学”代表的三位数是多少？分析：学=1,我=8,数=6 , 81619X 81619=6661661161例3、+ （口 + 口 + 口） =24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数,使左边的数比右边的数小，并且等式成立。思路导航：这样，我们可以先用字母代替数字，原等式写成：a+ （b天勺）=a>CR也（去括号）当 a=1 时，有 6X8攵=24, 8X93=24;当 a=2

23、 时，有 4>9与=12, 6X8W=12, 8刈与=12;所以，满足要求的等式有：1+ （2与3） =24, 1+ （3与得）=24, 2+ （3/与）=24, 2+ （4与3） =24, 2+ （634）=24。例4、 口乂口=5口；12+ =,把1至9这9个数字分别填入上 面两个算式的各个方框中，使等式成立，这里有 3个数字已经填好。分析：根据第一个等式，只有两种可能：7 >8=56, 6X9=54;如果为7X8=56, 则余下的数字有：3、4、9,显然不行；而当6X9=54时，余下的数字有：3、7、 8,那么，12+3-7=8或12+3-8=7者B能满足。二、训练巩固1 .

24、迎迎 审春二杯迎迎杯，数数 次学=数赛赛数，春春 引春=迎迎赛赛在上面的3个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。如果这3个等式都成立，那么， 迎+春+杯+数+学+赛”等于多少？分析：考察上面三个等式，可以从最后一个等式入手：能够满足：春春 审 春=迎迎赛赛的只有88刈8=7744,于是，春=8,迎=7,赛=4;这样，不难得到 第一个为：77刈8=6776,第二个为：55>99=5445;所以，迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。2 .迎+春X#=迎春，（迎+杯）X（迎十杯）=迎杯在上面的两个横式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的

25、数字。那么迎+春+杯”等于多少？分析：同样可以从第二个算式入手，发现满足要求的只有（8+1） X （8+1） =81,于是，迎=8;这样，第一个算式显然只有：8+9X9=89;所以，迎+春+杯=8+9+1=18。三、拓展提升1 .在下列各式的 E分别填入相同的两位数：(1)5 XU=2口；(2)6 XD= 3D02 .将39中的数填入下列各式，使算式成立，要求各式中无重复的数字:(1) + = + ;(2) ->-03 .在下列各式的口中填入合适的数字：(1)448 -=;(2)2822=；(3)13 X 二 4口6。4 .在下列各式的口中填入合适的数：(1) 0-32=831;(2)5

26、73 +32= 29;4837 + 口 = 7427。答案与提示练习22L 5义国二2国亭6 乂四:3日。2 .四十图二叵I *囱 回+回回丁回3 . (1)驮8 3国团二8或4要一国国三口彳(2)2822 -国区或2822 一国图二国国.(3)13 乂围困二4.(1)287; (2)17; (3)65。竖式字谜、例题与方法指导例1在图4-1所示的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不 同的数字.那么 喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少？喜如欢喜+ 喜欢人人喜图4T分析：首先看个位，可以得到 欢”是0或5,但是欢”是第二个数的十 位，所以 欢”不能是0,只能是5。再看十位，欢”是5

27、,加上个位有进位1, 那么，加起来后得到的 人”就应该是偶数，因为结果的百位也是 入“，所以 入” 只能是2;由此可知，喜”等于8。所以，喜欢”这两个汉字所代表的两位数就 是85。例2在图4-2所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字.如果：巧+解+数+字+谜=30,那么 数字谜”所代表的三位数是多少?谜谜谜谜谜 字字字字 数数数蟀蟀巧解数字谜 图4-2分析：还是先看个位，5个谜”相加的结果个位还是等于 谜“，谜"必 定是5 （0显然可以排出）；接着看十位，四个 字”相加再加上进位2,结果尾 数还是 学”，那说明 学”只能是6;再看百位，三个 数”相加再加上进

28、位2,结 果尾数还是 数“，数”可能是4或9;再看千位，（1）如果 数”为4,两个 解” 相加再加上进位1,结果尾数还是 解"，那说明 解”只能是9; 5+6+4+9=24, 30-24=6,巧”等于6与 学”等于6重复，不能； （2）如果 数”为9,两个 解” 相加再加上进位2,结果尾数还是 解"，那说明 解”只能是8; 5+6+9+8=28, 30-28=2,可以。 所以 数字谜”代表的三位数是965。例3图4-4是一个加法竖式，其中 E, F, I, N, O, R S, T, X, Y分别表示从0到9的不同数字，且F, S不等于零.那么这个算式的结果是多少？FORT

29、Y I E N + TEN -SIXT Y图4-4分析：先看个位和十位，N应为0, E应为5;再看最高位上，S比F大1; 千位上O最少是8;但因为N等于0,所以，I只能是1, O只能是9;由于百位 向千位进位是2,且X不能是0,因此决定了 T、R只能是7、8这两个；如果 T=7, X=3,这是只剩下了 2、4、6三个数，无法满足S、F是两个连续数的要求。 所以，T=8、R=7;由此得到X=4;那么，F=2, S=3, Y=6。所以，得到的算式 结果是31486。、训练巩固1 .在图4-5所示的减法算式中，每一个字母代表一个数字，不同的字母代表 不同的数字.那么D+G等于多少？B DA Gf F

30、F 图4-5分析：先从最高位看，显然 A=1, B=0, E=9;接着看十位，因为E等 于9,说明个位有借位，所以F只能是8;由F=8可知，C=7;这样，D、G有2、 4, 3、5和4、6三种可能。所以，D+G就可以等于6, 8或10。2 .王老师家的电话号码是一个七位数，把它前四位组成的数与后三位组成的 数相加得9063,把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529.求王老师家的电话号码.分析：我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。由题意知， abcd+efg=9063, abc+defg=2529;首先从第一个算式可以看出，a=8,从第二个算式可以看出，d=1；再回到第

31、一个 算式，g=2,掉到第二个算式，c=7;又回到第一个算式，f=9,掉到第二个算式， b=3;那么，e=6o所以，王老师家的电话号码是 8371692。3 .将一个四位数的各位顺序颠倒过来，得到一个新的四位数.如果新数比原数大7902,那么在所有符合这样条件的四位数中，原数最大是多少？分析：用abcd来表示愿四位数，那么新四位数为 dcba, dcba-abcd=7902; 由最高为看起，a最大为2,则d=9;但个位上10+a-d=2,所以，a只能是1;接 下来看百位，b最大是9,那么，c=8正好能满足要求。所以，原四位数最大是 1989。三、拓展提升1 .已知图4-6所示的乘法竖式成立.那

32、么 ABCDE是多少？1 A B C D Ex3-A B C D E 1图4-6分析：由 1/7 的特点易知，ABCDE=42857。142857X 3=428571。2.某个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字的前面，所构成 的新数恰好是原数的4倍.问原数最小是多少？分析：由个位起逐个递推：4X4=16,原十位为6; 4X6+1=25,原百位 为5; 4X5+2=22,原千位为2;4X2+2=10,原万位为0; 1X4=4,正好。所以，原数最小是102564。奥数第四讲定义新运算定义新运算通常是用特殊的符号表示特定的运算意义。 它的符号不同于课本 上明确定义或已经约定的符号，例如

33、“卡 -、又搂、>、<”等。表示运算意义的 表达式，通常是使用四则运算符号，例如 ab=3a-3b,新运算使用的符号是 , 而等号右边表示新运算意义的则是四则运算符号。正确解答定义新运算这类问题的关键是要确切理解新运算的意义， 严格按照 规定的法则进行运算。如果没有给出用字母表示的规则，则应通过给出的具体的 数字表达式，先求出表示定义规则的一般表达式，方可进行运算。值得注意的是：定义新运算一般是不满足四则运算中的运算律和运算性质， 所以，不能盲目地运用定律和运算性质解题。一、例题与方法指导例1、设ab都表示数，规定aAb表示a的4倍减去b的3倍，即aAb=4Xa-3 >b,

34、试计算5A6, 6A5o解 5A6=5>4-6 >3=20-18=26A5=6X4-5 8=24-15=9说明 例1定义的没有交换律，计算中不得将 前后的数交换。例2、对于两个数a、b,规定 腔b表示3刈+2冲,试计算(56)7,5( 67)。 思路导航：先做括号内的运算。解：(56) 7= (5M+6X2) 7=277=27X3+7X2=955表(67) =5 (6M+7>2) =532=5M+32>2=79说明 本题定义的运算不满足结合律。这是与常规的运算有区别的。例3、已知243=2X3M, 4A2=4X5, 一般地，对自然数 a、b, aAb表示 aX(a+1)

35、 x<a+b-1).计算(6A3) - (5A2)O思路导航： .，.Fif h rjr h ” 原式=6 X7-5 6=336-30规定：aiA =a+(a+1)+(a+2)+ + (a+b-1)，其中 a,b表示自然数。例 4、已知3=1+2+3=6,求 I4IOO 的值。已知 x410=75，求 x. 思路导航：(1)原式=1+2+3+ +100= (1+100) X100攵=5050(2)原式即 x+(x+1)+(x+2)+ + (X+9) =75, 所以：10X+(1+2+3+ +9)=7510x+45=7510x=30x=3例 5、定义运算：aOb=3a+5ab+kb, 其中

36、a, b为任意两个数，k为常数。比如：2。7=3X2+5X2X7+7k。(1)已知502=73。问：80 5与5。8的值相等吗？(2)当k取什么值时，对于任何不同的数a, b,都有a。b=bOa,即新运算 ” 符合交换律？分析与解：(1)首先应当确定新运算中的常数 k0因为5。2=3X5+5X5>2+kX2=65+2k, 所以由已知5 0 2=73,得65+2k=73,求得k= (73-65)攵=4。定义的新运算是： a© b=3a+5ab+4b。8 O 5=3 X8+5 88 >5+4 >5=244, 50 8=3 >5+5 X5 刈+4 刈=247。因为2

37、44w247所以8。5*508。(2)要使a。b=bOa,由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+kq 3a+kb-3b-ka=0,3X(a-b)-k(a-b)=0,(3-k)(a-b)=0o对于两个任意数a, b,要使上式成立，必有3-k=0,即k=3当新运算是a© b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即a© b=bOao例6、对任意的数 a, b,定义：f (a) =2a+1, g (b) =bxb。(1)求f (5) -g (3)的值；(2)求f (g (2) +g (f (2)的值；(3)已知f (x+1) =21,求x的值。解：(1) f (5) -

38、g (3) = (2X5+1) - (3M) =2;(2) f (g (2) +g (f (2)=f (2>2) +g (2>2+1)=f (4) +g (5) = (2M+1) + (5X5) =34;(3) f (x+1) =2X (x+1) +1=2x+3,由 f (x+1) =21,知 2x+3=21,解得 x=9o二、巩固训练1、若对所有b,a Ab =aXx,x是一个与b无关的常数；ab=(a+b)+2,且 (1A3) 3=1A (33)0 求(1z4) 2的值。,=8X9X0,求2、如果规定：=2MM,=3必>5,=4X5>6,+-+-+-的值。3、对于任

39、意的两个数a和b,规定a*b=3将-b 3。求8*9的值。4、对于任意的两个数P, Q,规定PQ= (PXQ)为。例如：28= (2X8) M 已知x (85) =10,求x的值。5、定义：定义：aAb=ab-3b, aOb=4a-b/a。计算：(4A3) (204)6、已知：2©3=2MM, 405=4>5>6>7X8,求(4©4) + (30 3)的值。7、定义两种运算 ”和”如下：aX b表示a, b两数中较小的数的3倍，aAb表示a, b两数中较大的数的2.5倍。比如：4X5=4X3=12, 4A5=5X2.5=12.5。计算：(0.60.5)+(

40、0.3/0.8)伯1.20.7)-(0.64/0.2)。8、设m, n是任意的自然数，A是常数，定义运算mOn= (AXm-n) -4, 并且2。3=0.75。试确定常数A,并计算：(5。7) X (202) + (302)。9、对任意两个不同的自然数a和b,较大的数除以较小的数，余数记为 a b。比如7# 3=1, 5#29=4, 4#20=0。(1)计算：1998# 2000, (5# 19) #19, 5# ( 1 # 95);(2)已知11#x=4, x小于20,求x的值。10、对于任意的自然数a, b,定义：f (a) =a>a-1, g (b) =b2+1(1)求f (g (

41、6) -g (f (3)的值；(2)已知f (g (x) =8,求x的值奥数第五讲周期性问题在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现。如：人调查十二 生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪；一年有春夏秋冬四 个季节；一个星期有七天等。像这样日常生活中常碰到的有一定周期的问题，我们称为简单周期问题。这类问题一般要利用余数的知识来解决。在研究这些简单周期问题时，我们首先要仔细审题，判断其不断重复出 现的规律，也就是找出循环的固定数，如果正好有个整数周期，结果为周期里的 最后一个；如果不是从第一个开始循环，利用除法算式求出余数，最后根据余数 的大小得出正确的结果。一、例题与方

42、法指导例1、某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期 .思路导航：1% 7 4=28,由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是 29天， 且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日 起到这年6月1日共经过了31+30+31+1=93（天）.因为93 7=13-2,所以这年6月1日是星期二.例2、1989年12月5日是星期二，那么再过十年的12月5日是星期. 思路导航：依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有365 10+2=3652 （天）因为（ 3652+1） 7=5216,所以再过十年的12月5日是星期日.注上述两题（题1题

43、2）都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律， 运用周期性解答.在计算天数时，要根据“四年 一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是 400的倍数才是闰年.例3、按下面摆法摆80个三角形，有个白色的.思路导航：仄图中可以看出，三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是 这一排列的周期为6,并且每一周期有3个白色三角形.因为80 6=13-2,而第十四期中前两个三角形都是黑色的， 所以共有白色 三角形13 3=39 （个）.例4、节日的校园内挂起了一盏盏小电灯，小明看

44、出每两个白灯之间有红、黄、 绿各一盏彩灯.也就是说，从第一盏白灯起，每一盏白灯后面都紧接着有3盏彩灯, 小明想第73盏灯是灯.思路导航：依题意知，电灯的安装排列如下：白，红，黄,绿，白，红，黄,包录,白，这一排列是按“白，红，黄，绿”交替 循环出现的，也就是这一排列的周期为 4.由73 4=18-1可知第73盏灯是白灯.例5、时针现在表示的时间是14时正，那么分针旋转1991周后，时针表示的时间是.思路导力日下车+旋转一周为1小时，旋转1991周为1991小时.一天24小时,1991 24=82-23,1991小时共82天又23小时.现在是14时正，经过82天仍 然是14时正，再过23小时，正

45、好是13时.注在圆面上，沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈，再加上一根长针和一根短 针，就组成了我们天天见到的钟面 .钟面虽然是那么的简单平常，但在钟面上却包含着十分有 趣的数学问题，周期现象就是其中的一个重要方面 .例6、在100米地跑道两侧每隔2米站着一个同学。这些同学从一端开始，按两 女生，再一男生地规律站立着。问这些同学中共有多少个女生？解：一侧：100+ 2=50 （人）50+1=51 （人）51+ （2+1） =17 组一组里有2个女生，女生2X 17=34 （人）两侧共有女生34X2=68 （人）答：共有女生68人。二、巩固训练1.把自然数1,2,3,4,5如表依次排列成5歹

46、1，那么数“ 1992”在 列.第一列第二列第三列第四列第五列1234598761011121314181716152.把分数4化成小数后，小数点第110位上的数字是73 .循环小数0.1992517与0.34567 .这两个循环小数在小数点后第 位,首次同时出现在该位中的数字都是7.4 . 一审数:1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,1,4,1,9,9,1,4,共有1991个数.（1） 其中共有个1,个9个4;（2）这些数字的总和是.5、7 7 77所得积末位数是v'50个答案：1、3仔细观察题中数表.1 2 3 4 5（奇数排）第一组二9 9 8 7 6（ 偶数排）10

47、 11 12 13 14 （奇数排）第二组18117 16 15 （偶数排）19 20 21 22 23 （奇数排）第三组:27匕6 25 24 （偶数排）可发现规律如下：（1）连续自然数按每组9个数，且奇数排自左往右五个数，偶数排自右往左四 个数的规律循环排列；（2）观察第二组，第三组，发现奇数排的数如果用9除有如下规律：第1列用9 除余数为1,第2列用9除余数为2,，第5列用9除余数为5.（3）10 9=1 1, 10 在 1+1 组,第 1 列199=2-1, 19在 2+1 组，第 1 列因为1992 9=221- -3,所以1992应排列在（221+1） =222组中奇数排第3 列数

48、的位置上.2、744=0.571428577它的循环周期是6,具体地六个数依次是5, 7, 1, 4, 2, 8110 6=18- 2因为余2,第110个数字是上面列出的六个数中的第 2个，就是7.3、35 .因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小 公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第 35位，首次同时出现在该位上的数 字都是7.4、853,570,568,8255.不难看出，这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4 为一个循环，即周期为7,且每 个周期中有3个1,2个9,2个4.因为1991 7=2843,所以这申数中有284个周 期，加上

49、第285个周期中的前三个数1,9,9.其中1的个数是:3 284+1=853（个）,9 的个数是2 284+2=570（个）,4的个数是2 284=568（个）.这些数字的总和为1 853+9 570+4 568=8255.三、拓展提升1.紧接着1989后面一用数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘 积的个位数.例如8 9=72，在9后面写2,9 2=18，在2后面写8,得到一审数 字：1 9 8 9 2 8 6这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？2.1991个1990相乘所得的积与1990个1991相乘所得的积，再相加的和 末两位数是多少？3 .设n=2 2 22,那么n的末

50、两位数字是多少？'v'1991 个4 .在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自 右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？答案：1、依照题述规则多写几个数字:1989286884286884可见1989后面的数总是不断循环重复出现 286884,每6个一组，即循环周期为 6.因为(1989-4)6=330- 5,所以所求数字是8.2、1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘 的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3 个199

51、1相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是 61,51,41,31,21,11,01,11 个1991相乘积的末两位数字是 91,，由此可见， 每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为1990 10=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.3、n是1991个2的连乘积，可记为n=21991,首先从2的较低次幕入手寻找规 律，歹表如下:nn的十 位数字n的个 位数字nn的十 位数字n的个 位数字21022129622042139223082148424162156825322163626642177227282184

52、428562198829122207621。24221522114822204观察上表，容易发现自22开始每隔20个2的连乘积，末两位数字就重复出现 周期为20.因为1990 20=99- 10,所以21991与211的末两位数字相同，由上表知 211的十位数字是4,个位数字是8.所以，n的末两位数字是48.4、因为100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们 可以看作是从同一端点染色.6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会 出现循环，每一周的长度是30厘米，如下图所示.61218243096 100.I . . . I.1510152025

53、9095由图示可知长1厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1周期中,6-5=1,5 5-6 4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有 7段.综合算式为：2 (100-10)30+1=2 3+1二7(段)注解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色，转化为自左向右的染色，便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易.奥数第六讲行程问题行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。行程问题中包括：火车过桥、流 水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。每一类问题都有自 己的特点，解决方法也有所不

54、同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三 个量，三个关系”：这三个量是：路程（s）、速度（v）、时间三个关系：1.简单行程：路程=速度X时间2 .相遇问题：路程和=速度和X时间3 .追击问题：路程差=速度差x时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是 有很多方法可循的。追击及相遇问题一、例题与方法指导例1. 有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向 行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走 40米，乙每分钟走38米，内每分钟走 36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和内相遇。问：这个花圃的周长是多少米？ 思路导航：这个三人行程的问题由两个相遇、一个

55、追击组成，题目中所给的条件只有三 个人的速度，以及一个“3分钟”的时间。第一个相遇：在3分钟的时间里，甲、内的路程和为（40+36） X 3=228 （米） 第一个追击：这228米是由于在开始到甲、乙相遇的时间里，乙、内两人的速度差造成的，是逆向的追击过程，可求出甲、乙相遇的时间为228+ （38-36） =114 （分钟）第二个相遇：在114分钟里，甲、乙二人一起走完了全程所以花圃周长为（40+38） X 114=8892 （米）我们把这样一个抽象的三人行程问题分解为三个简单的问题，使解题思路更加清晰。例2.东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过 3小时两车还相距15千米。 乙车每小时行多少千米？ 思路导航：L5小时 3小时3小时I 5千米从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行 了多少路程和行这段路程所用的时间。解：（1）甲车一共行多少小时？ 1.5+3=4.5 （小时）（2）甲