数学分析第十五章

1、第十五章 傅里叶级数的复习题、判断题。1.常数没有周期。2.傅里叶级数是三角级数的子集，函数级数也是三角级数的子 集。3.一个函数展成傅里叶级数且展成的傅里叶级数收敛，那么该傅里 叶级数的和函数就等于原函数。4.假设f是以2 为周期的连续函数，且在-,上按段光滑， 那么f的傅里叶级数在-,上收敛于f。、填空题。5.在一角函数系1, cosx，sinx，cos2x，sin2x，cosnx，sinnx，中，任何两个不相同的函数的乘积在 -,6.，那么f x展成傅上的积分都等于。假设 f x =a0ancosnx bn sinnx2 n 1里叶级数，那么展开的傅里叶级数是否 收敛。填“一定或“不一定

2、7.把两个函数与在a，b 上可积，且ab x xdx 0的函数与称为在a，b 上是的。8.假设在整个数轴上x =2ancosnx bn sin nx 且n 1等式右边级数一致收敛，那么有an三、在指定期间内把以下函数展开成傅里叶级数。9.f x =x 0 x0x 010.f x=x， ix ； ii 0x2四、证明：cosmxs innx dx 0答案一、判断题。1.( X )2.( X ) 3.( X ) 4.( V )二、填空题。5.零；6.不一定；7.正交；8a 1 f x cosnxdx,n 0,1,2,31bnf x sin nxdx,n 1,2三、在指定期间内把以下函数展开成傅里叶

3、级数。9.解：由于f(x)是按段光滑的，如以下列图所示，所以它可以展开成傅里叶级数。因为a。1f (x) dxxdx当n 1时:anf (x)cos nxdxo xcosnxdxbn所以在开区间f(x)；2(-COSX于是在卜丄 xsin nx |0n(cosnn1)f (x)sin nxdxxcos nx b nx(1)n1nsin nxdx04cosnx|on1sin x) -sin 2x2时，上式右边收敛于22n0,当n为奇数时,当n为偶数时,o xsinnxdx0 cosnxdxcos n xdx(1)n1n 。2( cos3x91-sin 3x)3f( 0) f( 0)2上f的傅里叶

4、级数的图像如以下列图所示:宀g*功上m幷的讣 4斫示建.因为ao 110.解：11由于fx是按段光滑的，如以下列图所示，所以它可以展开成傅里叶级数。1x dx xdx 01 r 1anf x cosnx dx xcos nxdx 0 (n 1)1i2xcosnxo cosn dx1n1- (n 1)bnf x sin n xdxs inn xdxo xs inn xdx所以在区间-内，f x 2m insinnx里叶级数。开小-/1.7用山川J J/<r> = 2 工;IL鬥L<jO衣Jt：周勒述扌打的图像如图15-2所亦*2.由于fx是按段光滑的，如以下列图所示，所以它可以展开成傅因为1a：2-0 ff xdx1 20 xdx 2an1 21f x0 1cos nxdx1 0 xcosnxdx1212xsin nxc0 sin nx 0 (n 1)n0n1 2 1 2 bn0 f x sinnxdx。 xsinnxdxxcosnx 0n： cosnxdx所以在0, 2丨内,a an cosnx bnsinnx2 n 1sinnx四、证明：由COS sinSinsinc可得:sin nxdx1 cos nx acosmxsin nx dxsin