数学建模-基金使用规划

1、基金使用规划选自2001年全国大学生数学建模竞赛一、问题描述某校基金会有一笔数额为 M元的基金，打算将其存入银行或购置国库券。 当前银行存款及各期国库券的利率见表 1。假设国库券每年至少发行一次，发行 时间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会方案在n年内每年用局部本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大 致相同，且在n年末仍保存原基金数额。校基金会希望获得最正确的基金使用计 划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案， 并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1. 只存款不购国库券。2. 可存款也可购国库券。3学校在基金到位后的第 3年要举行百年校庆，基金会希

2、望这一年的奖金 比其它年度多20%。表1银行存款税后年利率%国库券年利率活期半年期一年期二年期三年期五年期二、问题分析 基金应滚动使用，即一笔钱存银行或购置国库券，到期除去当年所用奖金之 后，剩余局部继续存银行或购置国库券。 基金到位当年不设奖金， 所有资金用于 存款或买国库券； 最后一年留出基金本金外， 剩余资金全部用于奖金。 在设计基 金使用方案时，须考虑以下两个因素：1. 由于从基金到位后的下一年开始每年都要使用奖金，因此方案要保证每 年都有存款或国库券到期；2. 由于银行存款或国库券的档期越长，年平均收益越高，因此，假设一笔 资金k年后要用如k=3，一定是将该笔资金直接存k年期银行定期

3、存 款，或购置相应年限的国库券。如是，基金使用方案应遵循如下框架： 每一年所有可供调用的资金都被分割 成分别存 1， 2， 3， 5 年期银行存款或购置 2， 3， 5 年期国库券的金额和当 年使用的奖金额； 基金到位年不设奖金， 基金使用最后一年只分割成基金本金和 奖金。因此， 决策的内容就是各年的可供调用资金的分割方案， 决策目标是使奖 金总额极大化。决策的结果还应使得每年的奖金额大致相等。三、建模模型 1只存银行不买国库券由题设，基金使用年限为 10年，设基金到位年为第 0年，可令 xij (i =0, 1, 2, 9；j=1, 2, 3, 5)表示第 i 年可供调用总资金中用于存 j

4、年期银行存款的资金， 其中， x65、x75、x83、x85、x92、x93、x95 恒为 0。由于要求每年用于奖金的资金额大致相 等，可令t表示从第1年至第10年每年供奖金使用的资金额。实际决策变量共 34 个。优化目标为 10 年使用的奖金总额最大，即 max z 10t约束条件除所有变量的非负约束外，就是反映各年资金分割情况的等式约 束：x01x02x03x05M第0年x11x12x13x15t(1r1) x01第1年x21x22x23x25t(1r1)x11(12r2) x02第2年x31x32x33x35t(1r1)x21(12r2 ) x12(13r3) x03第3年x41x42x

5、43x45t(1r1)x31(12r2) x22(13r3 ) x13第4年x51x52x53x55t(1r1)x41(12r2) x32(13r3) x23(15r5) x05第5年x61x62x63t(1r1) x51(12r2)x42(13r3 ) x33(15r5) x15第6年x71x72x73t(1r1)x61(12r2 ) x52(13r3 ) x43(15r5 ) x25第7年x81x82t(1r1)x71(12r2) x62(13r3 ) x53(15r5) x35第8年x91t(1r1)x81(12r2 ) x72(13r3 ) x63(15r5 ) x45第9年Mt(1r

6、1)x91(12r2 ) x82(13r3 ) x73(15r5) x55第10年式中，r1、r2、r及r5 分别表示银行1 年期、2年期、3年期及 5 年期存款的年利率， M 为基金总额。 为求解时方便准备数据， 可将模型按变量 x01, x02, x03, x05, x11, x12, x13, x15, x21, x22, x23, x25, x31, x32, x33, x35, x41, x42, x43, x45, x51, x52, x53, x55, x61, x62, x63, x71, x72, x73, x81, x82, x91, t 顺序展开限于篇幅不再列举 。模型

7、2可存银行也可买国库券由于国库券年利率都高于同期银行存款利率， 显然，只要能买国库券就不会 存同期银行存款。所以，在模型 1 中将用于表示银行存款额的变量 xij 以购置同 档期国库券金额的变量 yij (j= 2, 3, 5)替代，相应银行存款年利率 r2、r3 及 r5 分别由 R2、R3 及 R5 同期国库券年利率替换后即得模型2maxz 10tx01y02y03y05Mx11y12y13y15t(1r1 )x01x21y22y23y25t(1r1)x11(12R2) y02x31y32y33y35t(1r1)x21(12R 2 ) y12(13R 3)y03.x41y42y43y45t

8、(1r1)x31(12R 2 ) y22(13R 3 ) y13x51y52y53y55t(1r1)x41(12R 2)y32(13R 3) y23(15R 5 ) y05x61y62y63t(1r1)x51(12R2)y42(13R 3 ) y33(15R5 )y15x71y72y73t(1r1)x61(12R 2 ) y52(13R 3) y43(15R5 )y25x81y82t(1r1 )y71(12R 2)y62(13R 3 ) y53(15R5 ) y35x91t(1r1)x81(12R 2 )y72(13R 3 ) y63(15R5 ) y45Mt(1r1 ) x91(12R2 )

9、y82(13R 3 ) y73(15R 5 ) y55且决策变量均取非负值。模型 3基金到位后第 3 年的奖金比其它年度多 20%在模型2上稍作修改即得：第4个约束方程中奖金额由tt;目标函数由max z 10t 改为 max z 10.2t 。模型为： max z 10.2tx01y02y03y05Mx11y12y13y15t(1r1) x01x21y22y23y25t(1r1) x11(12R2 )y02x31y32y33y351.2t(1r1)x21(12R2 )y12(13R 3 ) y03x41y42y43y45t(1r1)x31(12R2 )y22(13R 3 ) y13x51y5

10、2y53y55t(1r1)x41(12R 2)y32(13R3 )y23(15R5 )y05x61y62y63t(1r1) x51(12R2 )y42(13R3 )y33(15R5 )y15x71y72y73t(1r1)x61(12R2 )y52(13R3 )y43(15R 5 ) y25x81y82t(1r1) y71(12R 2)y62(13R 3 ) y53(15R5 )y35x91t(1r1)x81(12R2 ) y72(13R3 )y63(15R5 )y45Mt(1r1)x91(12R 2)y82(13R3 )y73(15R5 )y55且决策变量均取非负值。四、在 Matlab 中求

11、解仅列举模型 1 的求解过程，模型 2、 3 可仿照处理Matlab 代码r1=0.018; r2=0.01944; r3=0.0216; r5=0.02304; M=5000;f=zeros(34,1); f(34, 1)= -10;Aeq=1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,

12、1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,

13、1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,1,1,1,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,-(

14、1+r1),0,0,1,1,0,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),0,-(1+r1),0,1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-(1+5*r5),0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,-(1+2*r2),-(1+r1),1; beq = zeros(11,1); beq(1,1) = M; beq(11,1) = -M;lb=zeros(34,1);x, fval = linprog(f, ,

15、 , Aeq, beq, lb);求得三种情况下的基金最优使用方案及收益，见表2表4。表2基金最优使用方案各年度银行存款方案及收益年序存款期01234567891年期294.77427.2622年期134.783年期44432.26一5年期0266.0701一一每年奖金额约为 109.82万元；10年共计1098.2万元。如果不加运筹，每年把基金本金存一年定期供下年度使用，那么每年仅有90万元奖金可用，10年少产生资金共计198.2万元。运筹使每年的奖金额增加了 22.02%。表3基金最优使用方案1年期存银行，2、3、5年期买国库券及收益'、年序 存款期、0123456789金1年期352.252年期23年期100一5年期0072.37一一一每年奖金额约为 146.86万元；10年共计1468.6万元。在考虑购置国库券后，运作方案有明显的变化：由于购置国库券收益率更高， 资金分配自然向购置国库券流动。与模型 1比拟，2年期以上款项全部为购置 国库券在平衡之余整体增加，而1年期款项为银行存款额无一例外全都降 低。有效的运作使每年的奖金额比不运作更是大幅提升了63.18%表4基金最优使用方案考虑购置国库券，第 3年奖金多20%及收益年序 存款期、0123456