数列与数学归纳法

1、5.注意点：对于归纳猜测证明类问题，有三个易错点是归纳结论不正确；二是应用数学归纳备战2022年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展专题 39 数列与数学归纳法【热点聚焦与扩展】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要表达在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜测证明等本专题主要举例说明利用数学归纳法证明数列问题1 数学归纳法适用的范围：关于正整数n的命题例如数列，不等式，整除问题等，那么可以考虑使用数学归纳法进行证明2、第一数学归纳法：通过假设n k成立，再结合其它条件去证n k 1成立即可证明的 步骤如下：1归纳验证：验证n nono是满足条件的最小整数时，命题成立2归纳假设：假

2、设nk kno,nN成立，证明当nk 1时，命题也成立3归纳结论：得到结论：nno, nN时，命题均成立3、 第一归纳法要注意的地方:1 数学归纳法所证命题不定从n1开始成立，可从任意 -个正整数no开始，此时归纳验证从n n0开始2归纳假设中，要注意k n0，保证递推的连续性3归纳假设中的n k，命题成立，是证明n k 1命题成立的重要条件在证明的过程 中要注意寻找n k 1与n k的联系4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k命题成立时，可用的条件只有n k，而不能默认其它n k的时依然成立第二数学归纳法是对第一归纳法 的补充，将归纳假设扩充为假设n k，命题均成

3、立，然后证明n k 1命题成立.可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：1归纳验证：验证n non0是满足条件的最小整数时，命题成立2归纳假设：假设n k k n0,n N成立，证明当n k 1时，命题也成立3归纳结论：得到结论：n n0,n N时，命题均成立.法，确认n的初始值n。不准确；三是在第二步证明中，无视应用归纳假设【经典例题】例 1.【2022 届重庆市第一中学 5 月月考】丨为正项数列的前 I项和,11【答案】应【解析】分析：由题意首先求得|;I，然后利用题意结合函数的性质确定最小值即可臥=n + 详解：由题意结合 I _ 比当 Ti IE7j2at结合盘A U 可得：ti

4、i 1 j当 ft =邓寸2(+)= + ;结合可得：= V2 - 1；a2 当 3?+4f结台轴=D 可得： V3V2f猜测b心，_以下用数学归纳法进行证明：当三三 M 时，结论是成立的， 假设当护沙时，数列的通项公式为：电I那么包岂 I，综上可得数列的通项公式是正确的据此可知：匡卫 3,匱迥，记数列卜的前吋项和为_1，贝川：|的最小值为，解得:r_如 +1)利用等差数列前 n 项和公式可得：2門结合对勾函数的性质可知，当 厂二.或)二时，取得最小值,rFi+ s_n11 _ 11T=io+n+io=i5点睛：此题的关键在于合理利用归纳推理得到数列的通项公式归纳推理是由局部到整体、由特殊到一

5、般的推理， 由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.例 2.设 S 为数列an的前 n 项和，满足 S = 2an2 (nN*)i求% 也 列的值，并由此猜测数列an的通项公式 an；2用数学归纳法证明I中的猜测.【答案】1匚一 ：;2见解析.【解析】分析： 由9二纽-2 (nlT),将沪1, 2, 3 4代人上式计峯 猪想即可对于近即用数学归纳法证明即可，站护1昭证明结论成乱假设肖说(心1, k 0时结论成立，利用归纳假设去证明当时，结论也成立即可.详網争=1 时，产绍-2, 1 =2当n=2时，

6、创+削=5】=21且 kN*)时，猜测成立，即-那么 n= k+ 1 时，ak+1 +1 2ak +12ak这说明 n k+ 1 时，猜测成立，由知猜测成立.点睛：数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题：递推根底不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉叭-1)例 3数列 区满足：匕总I试求数列22, I IJ I的值；n请猜测 的通项公式卜，并运用数学归纳法证明之 .【答案】I，三n鮎一 1) |，证明见解析【解析】分析：I) )结合条件帥乙瑯可求出 仏的值/II) )通过(I) )归纳出数列的通项公式,先唸证当乳二时成立，再假设当烈=此时成立,最后证明当袍二比+1时成立-详解：(I) )由赴意

7、，得吗=注码二蛊%二器2 =-由此猜测:2 仙下面用数学归纳法证明之：当 m 时， z *【，结论成立: 假设匡 5 时，结论成立，即有 柞 2 心一 1)那么对于_ 时，(II)依lg ( I ),得=+二汕d坊+ 心叩心寸1二丽+养+-1厂1当.时，结论成立运用数学归纳法证明数学问题的步骤及其需要注意的问题:步：归纳奠基即验证远三时成立；第二步：归纳递推即假设 EZD 时成立，验证旦王 D 时成立；3、两个条件缺一不可，在验证叵时成立时一定要用到归纳假设旦时的结论，最后得到的形式应与前面的完全一致2求证:是等差数列;【答案】1证明见解析；2证明见解析；3【解析】试题分析：1利用数学归纳法可

8、证明;叫 + =- ；-+ 14- 1)邛- 3上 +141t(k 4-1)12k(2k-l)肿-林+2十1)用一-做-1)(片十1)I12(2/r-l)2(2fc - B- + 1 =+ 1 (k +1)(22 1)- 2+ | | 1* 1:+ l|_4tz-3jt + 1 2吃厂12K2k- 1)| i叔-4fc + 2叶1)2(21)(直 +1)(2*十1)2-12(2k-1)- -+ 12k+ 2卜左+13 设J(J +眄)(1 +口2)-(1十，记数列二的前 II 项和为丄，求证: -1 + %IL . I - 1 - 1 -n + 1m *7 2叫叭2 化简可得是等差数列;3由2

9、可得，从而可得综上,可得对空上_厲 - :-+ 1re2n(2n-)成立点睛:例 4.【2022 届浙江省温州市高三 9 月一模】数列1+anan+ 1n + 1=2证明见解析求和公式可证结论试题解析：(1)证明：当 H = lHTt, O!=p 满足討 假设当=k(盘三 1时，彳玉两三！.】刚当乳=此 41 时E：1)；即 it =k+1 时满足 0 15所儿当施心时，都育注弘 C 3S 十11 _11+叫11 2 7“2-%12/ + 1必找一7陀生+21 + 1斗=5九+7和一2刊，先证明，禾 U 用放缩法及等比数列所以，数列EE3是等差数列.n + 1n因此叽(1 +口?2n2+3n当

10、匚 U 时,2 由1所以6.6 p6n当叵时 几二妇+如+妇+叫兰;+如卜:% +；筑+；f-筑求证：an2n1 12在1的条件下，求证： 一1 a11 a2【答案】见解析【解析】rx=+4-X Xfl=O a b=Q|a =1f= 0a+b-2=0b = iGH+I十门耗一科十 1 一 2碍一川+ 1/十整理后可得：产务一髀一沖+ 1碍帕=q鸟叭+1下面用数学归纳法证明：an2n 2当n 1时，q 4 2n 2成立假设n k k N成立，那么n k 1时即厂n时,22894tty假设当结论成立，即ak i2k2 2 1 4k 5 2 k 1an 112an1111an 112 an11111

11、111an12 an 1122an212n 1a1111111111 a11a21 an1 a12211n122 151n21a111252an12例 6.【浙江省绍兴市2022 届 5 月调测】数列1冠打=亍知门=貝机产5 闭*)T1F 时，I，显然有fl a2 1详解：1数学归纳法：当由1可知an2n 22设数列的前 H 项和为，证明:TH7THJT7TTT那么J尹&?* 05F71( (7QU 制肌产g * J1艮卩n v口左*i c d*卜上刁综上所述，二表示不超过 的最大整数证明:【答案】I见解析；n见解析2由1知:产C7T1T?小“吟-讪“TV于是：1 % %U 亍n-L1

12、得即气L-T i3故几 W点睛：解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的根本条件,综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列的综合问题表达了在知识交汇点上命题的特点.例 7.【福建省南平市 2022 届 5 月检查】己知函数I求函数丄的单调区间；n假设函数.土!的最小值为-1 ,TI N,数列口满足m，厂汽、一过卞:丿【解折】分折；I函数求导仗讨论価兰瞬加2 两种情况即可$f 1【由I 知雷数f#的最小值点为才=叫得bww + 1 - 2m = Inm-2m +2dm 1,进而得 m = l那么虬+严耐十由归纳可猜测留神畑

13、EN*时，23,刊側学归纳法可证 得,于是 =那么耳= 4*【町】4- + 0J=加為从而利用裂项相消法可得证.THJC - mG0 =-=-r详解：I函数耐的定义域为丽両Xx2疋i 当MG、时；*d，即河 1 在 Ee + sl 上为增函数；2、当巩 AD 时-令仗刃律 2 胡-即刊在 fm+s上为增函数：同理可得在：； I 上为减函数 血有最小值为-1 , 由I知函数回的最小值点为匡回,即E=-H,那么|阳皿十1一古!！=一令=衍册_2m + 2憎王1- - 外耐=2 0- -,- -当匝时，_皿_,故匝 0 在空卫 3 上是减函数所以当何 Ai时巩従或 1二 gEjT , .匝 2 未证

14、明，直接得出不扣分下面用数学归纳法证明猜测正确1、当二 2 时，猜测正确2、假设 _工 8：*时,猜测正确猜测当时,Zbltpn3综合 X :对一切猜测正瞩即n 3. n E时,2 2),贝|JS, = AlJ + fc3- + AJ =2-1.巴匸!1 宜 I，数列区 3 满足为常数且二 1：:.：込!严门；1求口的解析式;3用数学归纳法证明你的猜测.f - itt-n AT J【答案】1_; 2_ i 十 0_5_J ； 3证明见解析.【解析】 试題分析； 求出肌黑 的导函数 g 由函数恥 =钗Ur琏原点 啦扯切线的斜率为1可 得ftXd= 1,可求得t的值从而可得几刃的解祈式i2由迪数解

15、析式，可得递推关系抿据逵推关系可 依;iri拙%牡的值，观察前四顶共同规律可猜测出数列的通顷公式cs先蠟证 n = i 时猜测成 n 再假跖=k时猜测成立，只需证明斤=k4-1时猜测也成立即可.试趣解析1由得，肿工二JT十=0二二1二 肌工二一/工二2:，那么1十 0金1 +iJ由I知故 Z=1 莎厂?I 阪证而二 2(1一扌+H +亠2nl2计算，并由此猜测出数列囤 的通项公式;例 8.函数，在原点处切线的斜率为例 9.数列覘是等差数列，pL 1 血+竝+ +bI。二 1 帖.求数列丨 :的通项公式丨 I;丁=1乜1 十丄 1 设数列两的诵项虬 j 其中匝卫且叵记門是数列叵的前且项和，试比拟

16、 阳与严I 的大小，并证明你的结论. ir ih = 3n - 2匚、彳九J。* q- j rr:几弋+ 1【答案】1卩=罰 勺;2当収亠勺时；丨,当卩 UGV】时；丨_ *丨：证明见解析【解析】分析：根据数列叫雇等差数列，由ii = b和用虬4见 4打辺=5建立屋的方程，解之即小 z 要卜车几芍汕b屮的弋卜口住也的 u 甸中件埶学归纳送证明,可得当QI时，齢：4晦z30 1)时()式成立，即(1+1)(1 +那么当 n=k+1 时，即当 n=k+1 时，()式成立由知，(*)式对任意正整数 n 都成立，于是，当 a 1 时，Sn logabn+1.当 0vav1I时，Sv logabn+1

17、.例 10. 2022 年浙江省高考模拟】数列人 满足：x,1.xnxn 1, x,11 1.证明：当nN*时,门0 Xn 1X,；(2)证明：由 bn=3n 2 知=loga： (1+1)(1+)(1+I而 logabn+i=log+l|.较比三比拟(1+1)(1 +S=loga(1+1)+log+loga(1+)bn+og与s)(1 +的大小+【答案】1见解析；2见解析；3见解析【解析】分析：CD用数学归纳法和反证法证明即可 由数列的递推式以及作差法可得斗和召=xi +和+对血亠1-4斗-6 ,构造函数卅叫H J+G+句后T牡冷0 Mffi导埶求出函数的数时的单调性，从而可以证明s由数列的

18、递推式，以及113 112的结论可得0，根据等比数列的通项Xn13 2 xn33公式即可证明xn32n 23，再结合可得xnxn 1. Xn 111Xn 1，即可证明不 2等式成立.详解：1数学归纳法证明：xn0当n 1时，x11 0成立假设nk时Xk0，成立，那么nk 1时，假设Xk 10，那么XkXk 1 Xk 1110，矛盾所以xk10,故Xn0得证所以xnXn 1Xn 111人1，故0Xn 1Xn2由xnxn1, xn11 12得XnXn 19Xn 16xnxn1xn16 Jirxn14xn16设f xx2x 6 x 1 4x 6(x 0)2那么f x 2X、x 145厂亠2 .714

19、9/Tl2Vxl4823Xm 2XnXnXn 13n 13+為与 2(阿士所以广(刘 广(0) = 0故刃在(Q 他)上单调递増，所/(x)/(0)-0所以耳+(也+句 J 耳+ 1-41-40即 3 兀期_2 兀兰字所以xnn 1-，所以3n 22Xn【精选精练】=耳心 1 从旷；|时等式成立推证订 1|时，左边应增加的项为 _【答案】號：【解析】分析：D =左端为142 + H+(221), = k + S寸，左端为2 4 3+4(22%木融卩可得结卑.详解；因为假设几=躬，命题成立，iL + 2 + 3+.4-(2k+l)；当H二k十1时，左逹狀)1 4-2 + 3+.-. H2k-I-

20、1)+ CZk-b Z) 1- 2(k+ 1) -k 1,两式相赢可得，从他一 2 坪需增添的项是12xxXnXn 1，所以 -Xn 111Xn12321 Xn 1，故Xn 1Xn23，所以I 在(0 严)上单调递増3由2得丄Xn 1310，那么丄2 Xn3XnX13所以Xn1 用数学归纳法证明“1 + 2十3 +十(2“ +1)二(口 +1)(2刊 +T|时,点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的根底，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点： 一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律2用火柴棒摆“金鱼，如下列图：沁兄沁 按照上面的规律，第 n 个“金鱼图需要火柴

21、棒的根数为【答案】曲【解析】试题分析：由题意得：“金鱼图需要火柴棒的根数依次构成一个等差数列，首项 为 8,公差为 6,因此第 n 项为 x+kwn -13.数列中，陶且口+严门1求 IJJ I,；2根据1的结果猜测出卜的一个通项公式，并用数学归纳法进行证明;【解析】分析：乖闻递推公式求出,屿收*C2根据1的结果猜测出叫的一个通项公式，并鹽学归纳法进行证明.卽先计算出,再利用裂顼相消求和.详解I=右；当吒=期寸j。旳=二肖H=:刀寸JP 抚也丁 一1 p止fl g 15 jsi-=印寸抚吿=也日1 $抚斗28w*2由此猜测区- 1.下面用数学归纳法加以证明：1当三二 j 时，由1知_成立；2假

22、设卜二 4,且 k N j，结论成立，即F尸心-】:成立.271-1，且几二切+血+宀【答案】11二鬥；2 1 ,证明见解析：3；J3 假设2用数学归纳法证明你猜测的结论【答案】1答案见解析；2证明见解析.【解析】分析：1计算 囤，囤，囤, 根据计算结果，猜测. 2用 数学归纳法证明猜测的结论.，即那么当 ln=k+ i 时，有匕+ 1 W的诵项公式为札=可如.由可知,2_l)= zn2n- 13由2知，L4数列 口的前 M 项和为 IN,且满足?h-1计算 II，根据计算结果，猜测丨 I 的表达式;= n2a51(n A/*)a心+1)2a犷)女 + 1)化+ 22+ -flji, + aJ

23、；+ 1=+ 1)详解：(1)当观=20寸H = %十也 h =4吗,-| ?1 = 3fl寸,5g =&人H-tig十-dgi=勺41呂= 4fl寸、S屉=十tlj十-dgi十0- =设，否那么就是伪数学归纳法，是错误的 2看到或二要注意联想到项和公式解题由此猜测当卜- -时， 显然成立，当时猜测也成立，5.数列满足2 下面用数学归纳法证明假设当 时猜测成立，即由题意得c(lt + 2)ai+1=口 1 + 巾 +由和，可知猜测成立，即时的假1 x2kk+ 1)点睛:1在利用数学归纳法证明数学问题时，一定要注意利用前面的1计算 II, 根据计算结果，猜测丨 I 的表达式;2用数学归纳

24、法证明你猜测的结论【答案】1答案见解析；2证明见解析.【解析】分析； 计算 % 仏根据计算结果，猜测两=由处血. 用数学归纳法证明 猪想的箔论.详解；当“时宀=盘=話当就二码二盘J二吉争*寸，二盏二出 = - n EN由此猜测 讼+ I2下面用数学归纳法证明1当匚时，显然成立，2假设当时猜测成立，刖7一吐+1；|；叫1由题意得 二 221 地+ 1 左+ 1 辱+观.当旦王 0 时猜测也成立；% = -1r? W/V J由和，可知猜测成立，即_I .nn小=产/-尹+1ih _3|6 数列凹 I 满足_厶_ 匚_ M 迅.1计算丨 L 二、乜的值，由此猜测数列 囤 的通项公式；2用数学归纳法对

25、你的结论进行证明.【答案】1阿，臣“即2证明见解析.I II_巧巧1BI a 厲-Nfi.卡卡I N E N 【解析】试题分析：1由&3 .22_ ，将 叵遷代入上式计算出門、門、因的值，根据共同规律猜测即可；2对于山+ 2 应川,用数学归 纳法证明即可当叵可！I 时，证明绪论成立，假设为刃二Att 九 fc 丘用时，结论成立利用归纳假设去证明当程二X1E寸，待论也成立即可.试题解析：1如工=4吗=% =吕，猜测：= n + 2n E JV*.2=期寸；口i =弓，结论成TEJ假设 = _ I_ 【解析】试题分析：由=1,利用知+厂丢，可依次求得內，叽阪的值，求解过程注意防止出现计算错

26、局根据门中所得 %吸的值，找岀共同规律，可猜测：二丘先验证当 n =等式成立然后假设邯时乐二只需证明当髀4迥陥i=諾*押可证明猜测正确弧 _7.在数列 而中，匕心，旦，囚，目吐试题解析：1,叫七二去=7!叽二亦石丨由丨可猜测:，证明：当口时，：三 3,等式成立，假设二时,【答案】1，那么当三土 J 时,，证明见解析等式成立，即&数列数列an的通项公式an= ( 1)n(2n 1)(n N*) , S 为其前 n 项和.(1) 求 Si, S2, S, S 的值；(2) 猜测 S 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.【答案】(1)Si= 1, S2= 2, S3= 3, S4= 4;

27、(2)答案见解析.【解析】试题分析：(I)根据an1n2n 1，代入n 1,2,3,4计算，可求S,S2,S3,S4的值；(n)由(I)猜测Sn的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验n 1时等式成立，假设n k时命题成立，证明n k 1时命题也成立即可.试题解析：(1)依题意可得 Si = 1, S?= 1 + 3= 2, S3= 1 + 3 5= 3, S4= 1 + 3 5+ 7 = 4;猜测：Sn= ( 1)n n.证明：当 n = 1 时，猜测显然成立；假设当 n= k 时，猜测成立，即Sk= ( 1)k k,kkk 丰 1k + 1那么当 n= k + 1 时，sk+1=

28、 ( 1) k+ak+1= ( 1) k+ ( 1)(2k + 1) = ( 1) (k + 1).即 n= k + 1 时，猜测也成立.故由和可知，猜测成立.【方法点睛】此题考查归纳推理以及数学归纳法的应用，属于中档题.由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有 用，观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最根本的方 法之一.通过不完全归纳法发现的规律，用数学归纳法加以证明才能应用tx人x，令a11,an 1t x2用数学归纳法证明你的结论nNJ; (2)证明见解析【答案】(1)a1= 1, a2=,t 1t2

29、a3=-t22ta4= f2，猜测t33t2tn1an=n 1n 2t n 1 t9.设t 0,f an,n N.3 丨写出a2,a3,a4的值,并猜测数列an的通项公式;【解析】试题分析：1?由题青结合函数的解析式计算可得恕=牝=-?御=观=-J-创=si -g-y .f + 1十2t+3r猜2严+爲严 5苜先证明戸1时/猜测正确.然后假设Ek时猜测正确.即m；：“尸#证明n=k+i时獪想巫确即可证得题中的结论.试题解析： 1Tai= 1,. a2= f aj= f 12证明：易知，n = 1 时，猜测正确这说明 n = k+ 1 时猜测正确点睛：数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于

30、解决与正整数有关的数学问题.证明时步骤1和 缺一不可，步骤1是步骤 的根底，步骤2是递推的依据.10.【2022 浙江，22】数列Xn满足：X1= 1 , Xn=Xn+1+ l n(1+Xn+1)n N.证明：当n N时,a3= f&t2t22ta4= f a3t3t33t2猜测 an=tn1tn1n N+；假设 n = k 时猜测正确，即ak=tk1tk1那么 ak+1= fakt akt akttk 1tk1k 1 tk 2tktfk 1tk1tkktk 1k 1 tk 2由知，对于任何n N+,者E有an=1tn1tntn2IOVXn+1VXn；【答案】I见解析；n见解析；见解析

31、.【解析】试题井析：I粕数学归纳法证明；II 6 I膺空s-4严2耳=亡-*404211114斛?构谴IS数/(a)=-2x+(x-k2)l0),由函数 单调性 可证；C III )由ir jr_召 M 和十皿】十和3加十耳得七鱼仝近-亦递推可得 试题解析：I 用数学归纳法证明:0当n=l时、jet10假设肝忙时xp那么疔剂1时假设那么0v再=再*1十冰1十旳创，矛盾故和 aS因此nO旳巨所法耳+hlH石 Jah 冲因此00函数用 1 在仙 s 上单调递増所_JCX因此 1 一 2 和 1 H 珀 I + 2)111(1 + 和 I) )= / 0 ,-耳兰电型 SEN J_得VtL2x-xj

32、a-l 1寸 口 亠仙4儿岡，L2【名师点睛】此题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等根底知识，不等式及其应用,2Xn+1- XnW丄Xnn-l川XnXn1 .21同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题此题主要应用:调性证明不等式；3由递推关系证明.11.【2022 届浙江省名校协作体高三上学期联考】无穷数列,nan【答案】I见解析;归纳法证明不等式；2构造函数fx2x22x (x 2)ln(1 x)(x 0)，利用函数的单【解析】试题分析；I运用数学归纳法推理论证,n由an 1an21，即an 1an，可得数列an1an为递增数列.又丄丄anan 11an1 12ana；

33、1 1-an，易知2 anan为递减数列,L也为递减數列，故当w2时，丄丄E丄所以留神时、乞三韦-%丄耳+1一心an94093当刃=1时， =二对=一 2n,制用裂项束和法冃冋得证试题解析：I证明：当n 1时显然成立;假设当n kk N时不等式成立，即0 ak那么当n1 1k 1时，丄丄比121,i21， 所 以0 ak11,1时不等式也成立.综合可知，0 an1对任意n N成立.1数学an的首项a1I证明:an记bnanananan 121,Tn为数列bn的前n项和,证明：对任意正整数n,nan1221即an 1an，所以数列an为递增数列.anan1111111 11丄又一1ananan?易知an