概率论：第3章 随机变量

1、第第3章章 随机变量随机变量随机变量的概念一维随机变量及其分布一维离散型随机变量一维连续型随机变量正态分布一维随机变量函数的分布3.1 随机变量的概念随机变量的概念要求问题涉及的随机事件与变量相要求问题涉及的随机事件与变量相关，这样可以将概率和函数建立联系。关，这样可以将概率和函数建立联系。 定义定义 称定义在样本空间称定义在样本空间上的实函数上的实函数=()，是随机变量，是随机变量，如对任意实数如对任意实数x ，集合集合 () x 都是一随机事件都是一随机事件。 注注：一般一般() 简单记为简单记为， () x 记为记为x 随机变量随机变量3.2 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布分布

2、函数分布函数设设是一个随机变量，是一个随机变量，x是任意实数，函数是任意实数，函数F(x)=P ()x称为随机变量称为随机变量的分布函数，的分布函数，记作记作F(x)或或F(x)。 的分布函数也常简记为的分布函数也常简记为F(x)= Px分布函数的性质分布函数的性质任一随机变量的分布函数F(x)，x(，)，具有下列性质： (1)单调不减性单调不减性 若若x1x2，则则 F(x1) F(x2) 12xx根据概率的性质，得Px2 Px1 即 F(x2) F(x1) 证明：证明： 若x1x2 ，则有 0limFxFx 1limFxFx 000 xFxF (2) 0F(x) 1 ，且，且 (3) 左连

3、续性左连续性 对任意实数对任意实数 x0 ，有有 xFxFxx0lim00其中v 如某实函数具有上述如某实函数具有上述3个性质，则它可作为某随机个性质，则它可作为某随机变量的分布函数变量的分布函数v 由分布函数，可以计算如下概率：由分布函数，可以计算如下概率： 01)(1)(0)()(0)(aFaPaFaPaFaPaFaFaP离散型随机变量离散型随机变量如随机变量的取值只有有限个或可列多个，则称它为离散型随机变量。3.3 一维离散型随机变量一维离散型随机变量随机试验随机试验：接连进行两次射击，表示未击中目标，表示击中目标。样本空间：1, 1,0, 1,1, 0,0, 0432120112134

4、现在我们设定随机变量表示击中目标的次数，则 随机试验随机试验：观察某电话交换台单位时间内接到的呼唤次数。样本空间=0,1,2,，以表示接到的呼唤次数，那么，=()=，是离散型随机变量。 设离散型随机变量的全部取值为x1,x2,xn,且P(=xi)=pi，i=1,2,则称上式为的概率分布律。也可写作：离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列称为称为的的分布列分布列,2121nnppppxxx显然显然1)2(2110) 1 (1iiipip，在试验在试验1中，假设两次射击是相互独立的，且命中，假设两次射击是相互独立的，且命中目标的概率为中目标的概率为0.6，则则的分布列为的分布列为012p0.

5、160.480.36例例退化分布退化分布如随机变量只取常数C，则称服从退化分布。显然 P(=C)=1退化分布也称为单点分布二项分布二项分布二项概率公式二项概率公式设在一次试验中，事件出现的概率为设在一次试验中，事件出现的概率为p (0p0.999 0.999 故故 nlg0.001/lg0.04=2.15 取取n=3，即需要发射即需要发射3枚导弹。枚导弹。 例例2 2 （渔佬问题）（渔佬问题） 渔佬想知道自己承包的渔佬想知道自己承包的鱼塘中鱼的条数。鱼塘中鱼的条数。渔佬先从塘中网起渔佬先从塘中网起100100条鱼做上记号后条鱼做上记号后放回塘里，过一段时间（使其均匀）再从中放回塘里，过一段时间

6、（使其均匀）再从中网起网起8080条，发现其中有记号者为条，发现其中有记号者为2 2条，求鱼的条，求鱼的总数总数N N。 解解设设8080条鱼中有记号的鱼的条数为条鱼中有记号的鱼的条数为，则则服从二项分布服从二项分布B(80B(80，100/N)100/N)。由定理由定理2 2， 80条鱼中条鱼中捞起的有记号的鱼捞起的有记号的鱼最有可能是最有可能是Int(n+1)p)Int(n+1)p)条，条，因此因此(80+1)(80+1)100/100/N=2 N=2 由此解得由此解得 N=4050N=4050（条）条） 若离散型随机变量若离散型随机变量的分布律为的分布律为其中其中0是常数，则称是常数，则

7、称服从参数为服从参数为的泊的泊松分布。记为松分布。记为P() ，称为参数。称为参数。, 2, 1, 0!kekkPk泊松分布泊松分布 因为因为0 ，故有，故有P(=k)0 。(k=0,1,2, )0!kkxkxe又1!000eekeekkPkkkkk即泊松分布的分布律，具备概率函数两性质。即泊松分布的分布律，具备概率函数两性质。在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施在任给一段固定的时间间隔内，来到公共设施（公共汽车站、商店、电话交换台等）要求给予（公共汽车站、商店、电话交换台等）要求给予服务的顾客个数；服务的顾客个数；炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片个数；炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎弹片

8、个数；落在显微镜片上的某种细菌个数落在显微镜片上的某种细菌个数在实际问题中，有很多随机变量都近似服从泊松分在实际问题中，有很多随机变量都近似服从泊松分布。例如布。例如:由定理知：泊松分布是二项分布的极限分布由定理知：泊松分布是二项分布的极限分布设随机变量设随机变量n服从二项分布服从二项分布B(n,pn) (n=1,2, )，其中概率其中概率pn与有关，并且满足与有关，并且满足0limnnnp, 2, 1, 0,!1limkekppCkknnknknn则泊松定理泊松定理证明证明 ：npnpnnnn即令knnknknnknknnnkknnnnppC1!1211knnknknnnknknn1!112

9、111knnknnknknn1!112111 其中为一个定数。 对任意固定的非负整数，有1112111limnknnnkknnknnnplimlimeennnknnnnknnnnn111lim1lim 故得 , 2, 1, 0,!1limkekppCkknnknknn 在应用中，当很大（n10 ），很小(0.1) ，我们有下面的泊松近似公式nkekqpCkPkknkkn, 2, 1, 0,!其中=np 解解 设为击中目标的弹数，则B(5000,0.001) ， 例例3 设每次击中目标的概率为0.001，且各次射击是否中目标可看作相互没有影响，如果射击5000次，试求：()击中12弹的概率；()

10、至少击中12弹的概率。下面用近似公式计算。其中=np=50000.001=5（）至少击中12弹的概率为：0055. 0!5!125000125500012kkkkekekP（）击中12弹的概率为：0034. 0!125!121251212eeP 例例4 设有同类设备台，各台工作相互独立的，发生故障的概率都是0.01，并且一台设备的故障可由一个人来处理，试求（）一个人负责维修台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率；（）由三个人共同负责维修台设备时，设备发生故障而不能及时维修的概率。 解：解： (1)设表示同一时刻发生故障的设备台数。在同一时刻至少有台设备发生故障，便不能及时处理。0169.

11、099. 001. 02099. 011111219201912020002020220ppCppCppCPkknkk 若用泊松近似公式(=np=200.01=0.2) ，则有0176. 0!2 . 0!22022 . 0202kkkkekekP（2）设表示同一时刻发生故障的设备数，则B(80,0.01)。当同一时刻至少有台设备发生故障时，就不能及时维修。用泊松近似公式 (=np=800.01=0.8) ，得 计算结果表明，由三人共同负责维修台，每人平均约维修台，比一个单独维修台更好，既节约了人力又提高了工作效率。0091. 0!8 . 0!48048 . 0804kkkkekekP 例例5

12、某商店由过去的销售记录表明，某种商品每月的销售件数可以用参数=7的泊松分布来描述，为了以0.999以上的把握保证不脱销，问该商店在月底至少应进这种商品多少件？ 解：解：设该商店每月销售件，月底进货为a件，则当a 时，就不会脱销。根据P(7) 得71!711ekaPaPakk999. 0!7171ekakk即999. 0 aP由题意有查表得 a+117即 a16 71!7001. 0ekakk这家商店至少要在月底进16件这种商品。几何分布几何分布 在“成功”概率是p的贝努利试验中，若以记首次出现“成功”的试验次数。则所服从的分布便是几何分布。, 2 , 11),;()(1kpqpkgpqkPk1

13、11);(111qppqpkgkkk显然显然 例例6 一个人要开门，他共有n把钥匙，其中仅有一把是能开此门的，现随机地从中取出一把钥匙来试开门，在试开时每一把钥匙均以1/n的概率被取用，问此人直到第S次试开时方才成功的概率是多少？ 解解nAP1)(nnns111所求概率A=试开门成功几何分布具有如下特征：几何分布具有如下特征：如的分布律为g(k;p)，则对任意正整数s、t，有P(s+ts)= P(t)称几何分布具有“无记忆”性。下面证明上式。)(111)(111111tPstsPqqqppqtPqqqqqpqpqsPtsPstsPtttkktstsskktskk证明证明超几何分布超几何分布 例

14、例7 在一箱N件装的产品中混进了M件次品，今从中抽取n 件 (nM) ，求从中查出次品的件数的概率分布.nkCCCkPnNknMNkM, 2 , 1 , 0,)( 解解负二项分布负二项分布 在“成功”概率是p的贝努利试验中，出现第r次成功时所作的试验次数所服从的分布称为负二项分布., 2, 1,rrrkprkfqpCkPrkrrk,;)(11pq1由于f(k;r,p)是负指数二项式展开式中的项，故所服从的分布称为负二项分布。由此也可以证明1,;rkprkfrpqp)1(llrlllrCllrrrllrrrC1) 1(!) 1() 1() 1(!) 1() 1(其中1)1 () 1(,;0011

15、11rrllrllrllrrlrrkrkrrkrkqpqpCqpCqpCprkf证明证明 例例8 两个同类型的系统，开始时各有N个备件，一旦出现故障，就要更换一个备件。假定两个系统的运行条件相同，不同时发生故障。试求当一个系统需用备件而发现备件已用光时，另一系统尚有r个备件的概率Ur. (r=0,1, ,N) 解解 只考虑出故障的时刻第一个系统出故障A第二个系统出故障A故障的出现看作是贝努利试验，有21)(APp要第一个系统缺备件而第二个系统剩r件，应该是A出现N1次（前N次用去所有N个备件，最后一次故障发生时缺乏调换的备件）而A出现Nr次，这事件的概率为：对于第二个系统先缺备件的情况可同样考

16、虑，因此所求概率Ur为：12221rNNrNCrNNrNC2221连续型随机变量连续型随机变量定义定义 设随机变量的分布函数为F(x)，若存在非负函数f(x)，使得对一切实数，关系式 xdttfxF3.4 一维连续型随机变量一维连续型随机变量都成立，则称为连续型随机变量，f(x)称为的密度函数。可以证明，连续型随机变量的分布函数是连续函数。密度函数密度函数f(x)具有下列性质：具有下列性质： 0 xf 1dxxf badxxfaFbFbaP（4） 若若f(x)在点的某邻域内连续，则有在点的某邻域内连续，则有（3）（2） xfxF)( （1）证明证明 （）（）由定义知f(x) 0显然。（）（）由

17、分布函数性质知， 1limxFFx 1limlimFxFdttfdxxfxxx由广义积分概念与定义知，aPbPbaP babadxxfdxxfdxxf（）（） aFbFaPbPbaP对任意类型的对任意类型的随机变量均成立随机变量均成立() xdttfdttfxxFxxFxFxxxxx00limlim xfxxxxfxdttfxxxxx00limlim例例：设是连续型随机变量，c为任意常数，试证Pc0证明证明 hccdxxhccPcP 0lim00hcchdxxcP故0 cP即 。的密度函数为设x对任意的h，有 aFbFbaPbaPbaPbaP注：注：由Pc0 ，可知连续型随机变量有n（）求常数

18、、；n（）判断是否是连续型随机变量；n（）求 P11/2例例：设随机变量的分布函数为 0,310,312xeBxeAxFxx解：解：（）（）由分布函数性质得 AeAxFxxx31limlim0 BeBxFxxx231limlim1（）（）因为 所以F(x)不是连续函数，从而不是连续型随机变量。 31032lim0FxFx（）（） 11132131311121211eeeFFP例例3 3 已知随机变量的密度函数是2a(x) (x)1x (1) 确定a的值；(2) 求的分布函数F(x)；(3) 求概率P(21)。解：解： (1)根据密度的性质，有a0及注：这种分布称为柯西(Cauchy)分布。1)

19、arctan(arctanlim11)(1)(2aaBAadxxadxxdxxBA而（2）的分布函数为： xxdxxdxxxPxFxxarctan121)2(arctan1111)(2（3）212.111111)(11111111121122dxxdxxPPP均匀分布均匀分布设a、b为有限数，且as+ts)= P(t) 称指数分布具有“无记忆”性。指数分布是唯一具有指数分布是唯一具有“无记忆无记忆”性的连续型分布。性的连续型分布。例例5 5设到某服务窗口办事，需排队等候。若等待的时间是指数分布随机变量（单位:min），则其概率密度为某人到此窗口办事，在等待15分钟后仍未能得到接待时，他就愤然离

20、去，若此人在一个月内共去该处10次。000101)(10ttetft试求:（1）有2次愤然离去的概率; （2）最多有2次愤然离去的概率;（3）至少有2次愤然离去的概率。 解解 首先可求出他在任一次排队服务时，以愤然离去而告终的概率。 在10次排队中愤然离去的次数B（10，p），即服从n=10，p=0.2231的二项分布，于是所求的概率分别为2231. 0)(101152315101510eedtePptt6238. 0101212)3(PPPP2937. 0)1 (2) 1 (82210ppCP6735. 0)1 ()1 (10)1 (2102)2(82210910ppCpppPPPP3.3.

21、5 5 正态分布正态分布若随机变量的分布密度22/2)(21)(xexf)(x其中、0为常数，则称服从参数为服从参数为、的的正态分布，简记为正态分布，简记为N(,2) 。的分布函数为的分布函数为dtexFtx22/2)(21)(特别地特别地称N(0,1)为标准正态分布，其概率密度及分布函数常记为：2/221)(xexxtdtex2/221)(baxbadxedxxfbaP222)(21)(如N(,2)，有)()(abbaP证明：证明：时也成立。或结论当ba命题命题1)()(abbatdte2221baxxde)(21222)(xt令)(21)(,2/2xdtexFxbaxt有时，特别地，当)

22、1 , 0()()()()(NxxPxxFxPxPxF) 1 , 0(),(2NN，则如证明：证明：命题命题2例例：设N(1，4)，求P1x=0.1的x。)(1 2xxP例例2解：解：95. 010. 05 . 01211)(xPxx=1.645 例例3 设已知测量误差N（0，102 ），现独立重复进行100次测量，求误差绝对值超过19.6的次数不少于3的概率。 解：解：第一步:以A表示一次测量中“误差绝对值超过19.6”的事件，则有 05. 0)96. 1 (2296. 11016 .1916 .19)(PPPAP第二步:以表示100次独立重复测量中，事件A发生的次数，则B（100，0.05

23、），所求概率是 P（3）=1P（3） 8754. 0! 25! 15! 051)2() 1()0(1) 3(1) 3(525150eeePPPPP 第三步:由于n=100较大而p=0.05很小，故二项分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得 例例4 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高服从=170cm、=6cm的正态分布，即N（170，62 ），试确定车门的高度。 解：解：设车门的高度为hcm，根据设计要求应有 99. 0)(01. 0)(101. 0)(hPhPhP18433. 2617099. 09901. 0)33. 2(99. 0

24、)6170()()()6170(2hhhhPhPN得查正态分布表得，例例5：从南郊某地乘车前往北区火车站搭火车有两条路线可走，第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间（单位:分钟）服从正态分布N(50,100)，第二条沿环城公路走，路线较长，但意外堵塞较少，所需时间（单位:分钟）服从正态分布N(60,16)，（1）如有70分钟可用，问应走哪一条路线？（2）如只有65分钟可用，问应走哪一条路线？解：解：应走第二条路线。的概率为：走第二条路线及时赶到9938. 0)46070(70P9772. 0)105070(7070) 1 (P的概率为：走第一条路线及时赶到分钟可用时有表示行车时间。设9

25、332. 0)105065(6565)2(P的概率为：走第一条路线及时赶到分钟可用时有应走第一条路线。的概率为：走第二条路线及时赶到8944. 0)46065(65P3.6 一维随机变量函数的分布一维随机变量函数的分布 如是随机变量，在y=f(x)连续、分段连续或单调时，则 =f() 也是随机变量。 例例1 设的分布律为的分布。试求出12,221012P0.150.20.20.20.25解解P0.150.20.20.20.2521012410142 将表中取相同值的部分作适当并项得0.200.40.4P41 2P0.150.20.20.20.25210122-153113 将表中取相同值的部分

26、作适当并项得P2-10.2530.210.20.20.15135例例2 设随机变量具有连续的分布密度(y)，试求=a+b（其中a，b是常数，并且a0）的分布密度(y)。 解：解：时当的分布函数为设0) 1 ()(ayFduabuadttabyPybaPyPyFybatuaby)(1)()()(1)()(abyayFdydyduabuadttabyPybaPyPyFybatuaby)(1)()(时当0)2(a)(1)()(abyayFdydy)(1)(abyay综上所述，例例3设随机变量服从正态分布N(,2)，求 的分布密度(y)。 解：解：baexNx121)(),(222/)(2) 1 ,

27、0(212)()()(2/2/)(222Neeuyabyyuyabyyy由有例，由13351Pba证明：证明：),(),(222abaNbaN，则，例例42)(exp2121exp21)(1)(22222abayaabyaabyay),(22abauN作业：作业：4、5、15、18、27作业评讲作业评讲1、解、解 0)() 1)()(, 0,1xFaxdttfxFbaxbaxabxfx则的密度函数为：bxbxaaxabaxxFdttfdttfdttfxFbxabaxabaxdttfdttfxFbxaxbbaaxaa10)(1010)()()()() 30)()()()22、解、解0)(0)321)(10)21)(1) 1xPxFxxxPxFxxPxFx12、解、解以表示300台分机中，向总机要外线的分机数。%62.92!9139,0