第五章投资组合理论

1、第五章 投资组合理论l1952年3月，美国经济学哈里马考威茨发表了证券组合选择l的论文，作为现代证券组合管理理论的开端。 马克威茨的贡献主要是开创了在不确定性条件下理性投资者进行资产组合投资的理论和方法，第一次采用定量的方法证明了分散投资的优点。l1990年诺贝尔经济学奖评奖委员会在宣布授予他l诺贝尔经济学奖时指出，马克威茨提出的不确定性条件下l的资产组合理论已成为金融经济学的基础金融经济学的基础。假如.，？l你有100万，现在有三种资产可供投资，股票A，股票B，短期政府债券C，你该如何进行投资决策？l股票A、B的预期收益率分别为8%和13%，其标准差分别为12%和20%，相关系数为0.3，债

2、券的收益率为5%。l风险厌恶度BHNA可行集l为什么分散投资？l选择哪些资产？l如何进行分配？100万？无风险资产？风险资产？股票A？股票B内容安排l第一节 金融风险的定义和类型l第二节 投资收益与风险的衡量l第三节 证券组合与分散风险l第四节 风险偏好与无差异曲线l第五节 有效集和最优投资组合l第六节 无风险借贷对有效集的影响铺垫知识关键结论第一节 金融风险金融市场的风险是指金融变量的各种可能值偏离其期望值的可能性和幅度。风险风险就是未来的不确定性。但是，人们通常是将损失而非收益增加的可能性看作风险。 风险不等于亏损！按风险来源分类按风险来源分类 l1. 汇率风险。l2. 利率风险。l3.

3、流动性风险。l4. 信用风险。l5. 市场风险。l6. 操作风险。 金融风险的种类金融风险的种类按能否分散分类按能否分散分类l系统性风险 由那些影响整个金融市场的风险因素所引起的，这些因素包括经济周期、国家宏观经济政策的变动等等。 l非系统性风险 与特定公司或行业相关的风险，它与经济、政治和其他影响所有金融变量的因素无关。 第二节 投资收益与风险的衡量1、单个证券收益的衡量、单个证券收益的衡量证券投资单期的实际收益率假设投资者购买了100元的股票，该股票向投资者支付7元现金股利。一年后，该股票的价格上涨到106元。 该股票的投资收益率是（7+6）/100=13%。 1、单个证券收益的衡量证券投

4、资单期的实际收益率11()ttttDPPRP股利收入资本利得niiiPRR1预期收益率可以理解为投资者在投资前对收益率的估计,被定义为每种可能回报率的所有可能结果与各自发生的概率的乘积之和。风险证券的收益率通常用统计学中的期望值来表示：其它条件相同时，预期收益率越高，对该资产的需求也会越高！1、单个证券收益的衡量t=0P=10t=116,p=0.2512, p=0.510,p=0.25股票A股票Bt=0P=1011,P=0.56,P=0.25t=122,p=0.25例题t=0P=10t=116,p=0.2512, p=0.510,p=0.25RET=60%RET=20%RET=01( )0.2

5、50.60.50.20.2500.2525%niiiE rp r股票AniiiPRR1股票Bt=0P=1022,P=0.2511,P=0.56,P=0.25RET=120%RET=10%RET=-40%t=11( )0.251.20.50.10.250.40.2525%ni iiE rp r 若预期收益率相同,该如何选择?风险金融市场的风险是指金融变量的各种可能值偏离其期望值的可能性和幅度。2、单个证券风险的度量-客观风险的大小我们一般用该项资产的未来可能收益率与期望收益率的离散程度来衡量，而它就是资产收益率的方差/标准差 公式为： 方差/标准差越大，表示变量的分布越离散,说明收益率波动的幅度

6、越大，风险越高。niiiPRR12)()(股票A 2221220.250.6 0.250.50.2 0.250.250 0.250.0475niiiprE r 2221220.25 1.2 0.250.50.1 0.250.250.4 0.250.3425niiiprE r 股票B选择投资于股票3、资产组合的收益 期望收益:资产组合中各单项资产期望收益率的加权平均值.1pAABBABRX RX RXX双证券组合收益投资权重XA、XB可否为负值或大于14、资产组合的风险pA AB Bxx由于两个证券的风险具有相互抵消的可能性，双证券组合的风险不能简单地等于单个证券的风险以投资比重为权数的加权平均

7、数。222222pAABBA BABxxx x资产A、B的协方差双证券组合的风险不仅取决于每个证券自身的风险，还取决于每两个证券之间的互动性。4、资产组合的风险,1nA BiAiABiBiprE rrE r 在组合投资时,为了考察收益率的波动幅度, 要考虑协方差。资产A、B的协方差为证券A和B实际收益率和预期收益率离差之积的期望值两种证券收益率的协方差衡量这两种证券一起变动的方向。l如果一种资产的收益/风险的变化会引起另一种资产的收益/风险同向变化，它们之间就是正相关。 资产收益/风险之间的相关性 l如果一种资产的收益/风险的变化对另一种资产的收益/风险完全没有影响，则这两种资产之间是相互独立

8、的。 l如果一种资产收益/风险的变化会引起另一种资产的收益/风险的反向变化，那么，这两种资产之间就存在负相关关系；,A BABAB10相关性就是各种资产的变量之间的联动程度相关性并不是因果关系完全正相关完全负相关不相关（相互独立111AB 正相关01AB负相关10AB 例题,1nA BiAiABiBiprE rrE r 0.25 (0.6 0.25) (1.2 0.25) 0.5 (0.2 0.25)(0.1 0.25) 0.25 (0 0.25) ( 0.4 0.25)0.25 0.3325 0.5 0.0075 0.25 0.16250.1275 t=0P=10t=116,p=0.2512

9、, p=0.510,p=0.25RET=60%RET=20%RET=0股票A股票B11,P=0.56,P=0.25RET=120%RET=10%RET=-40%22,p=0.25例题,ABA BAB0.12750.2180.5820.9994222222pAABBA BABxxx x220.5 0.0475 0.5 0.3425 2 0.5 0.5 0.12750.16125 0.4016p0.5 0.2180.5 0.5820.4若两种证券完全正相关,没有任何抵消作用,在等比例投资的情况下该组合的标准差等于两种证券各自标准差的简单算术平均数.总结l单个证券收益、风险的度量l两个证券构成组合的

10、收益、风险的度量niiiPRR1niiiPRR12)()(1pAABBABRX RX RXX222222pAABBA BABxxx x,A BABAB思考题1假设A证券的预期报酬率为10%，标准差为12%；B证券的预期报酬率是18%，标准差是20%，预期相关系数为0.2。问题1、在对A的投资比例为1、0.8、0.6、0.4、0.2、0的不同情况下,计算其相对应的组合期望收益率和组合的标准差。问题2、用预期报酬率作为纵坐标，标准差作为横坐标，将上述结果在坐标轴中表示出来。问题3、若相关系数假定分别为1、-1、0, 请分别以预期收益率和标准差为纵坐标，证券权重为横坐标，画出在不同相关系数下，权重与

11、预期收益率和标准差的图形。组合对A的投资比例对B的投资比例组合的期望收益率组合的标准差11010%12%20.80.211.6%11.11%30.60.413.2%11.78%40.40.614.8%13.79%50.20.816.4%16.65%60118%20%A（10%，标准差12%）；B（18%，标准差是20%），相关系数为0.2问题1、在对A的投资比例为1、0.8、0.6、0.4、0.2、0的不同情况下,计算其相对应的组合期望收益率和组合的标准差。222222pAABBA BABxxx x,ABA BAB1pAABBABRX RX RXX问题2、用预期报酬率作为纵坐标，标准差作为横坐

12、标，将上述结果在坐标轴中表示出来。组合6，18%、20%1 1若相关系数假定分别为1、-1,请分别用预期报酬率作为纵坐标，标准差作为横坐标，将上述结果在坐标轴中表示出来证券B的权重证券A的权重1.0001.010%18%预期收益率相关系数对于组合的预期收益率水平没有影响问题3、若相关系数假定分别为1、-1、0, 请分别以预期收益率和标准差为纵坐标，证券权重为横坐标，画出在不同相关系数下，权重与预期收益率和标准差的图形。证券B的权重证券A的权重1.0001.0标准差12%20%11 0相关系数对于组合的标准差有影响,最低方差组合的标准差均低于两种证券的标准差各个证券之间收益率变化的相关关系越弱,

13、分散投资降低风险的效果越明显.问题3、若相关系数假定分别为1、-1、0, 请分别以预期收益率和标准差为纵坐标，证券权重为横坐标，画出在不同相关系数下，权重与预期收益率和标准差的图形。思考题2：假设市场上有A、B两种证券，其预期收益率分别为8%和13%，标准差分别为12%和20%。 给定相关系数下投资组合的标准差(%)XAXB预期收益率(%)=-1=0=0.3=10113202020200.10.912.516.818.0418.419.20.20.81213.616.1816.8818.40.30.711.510.414.4615.4717.60.40.6117.212.9214.216.80

14、.50.510.5411.6613.11160.60.4100.810.7612.2615.20.70.39.52.410.3211.714.40.80.295.610.411.4513.60.90.18.58.810.9811.5612.810812121212证券B的权重证券B的权重证券A的权重1.0001.010%18%预期收益率问题1、若相关系数假定分别为1、-1、0、0.3, 请分别以预期收益率和标准差为纵坐标，证券权重为横坐标，画出在不同相关系数下，权重与预期收益率和标准差的图形。相关系数对于组合的预期收益率水平没有影响=0.3=0=-1=1问题2、若相关系数假定分别为1、-1、0

15、、0.3, 请分别以预期收益率为纵坐标，标准差为横坐标，画出在不同相关系数下，预期收益率和标准差的图形。第三节、证券组合与分散风险 l“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”l“不要将所有的钱投资于同一证券上”，通过分散投资可以降低投资风险，这是一个非常浅显易懂的道理。l那么，应该将“鸡蛋”放在多少个“篮子”里最好呢？将“鸡蛋”放在什么样的不同篮子里最好呢？l即证券组合选择，不是一般的拼凑，而是要通过各证券收益波动的相关系数来分析。 例子太阳镜太阳镜100元元P太= P雨=10元50% ,P太= 20元,P雨=5元100%50% ,P太= 5元,P雨=20元20050125同上同上,125100元元

16、100%雨伞雨伞100元元50%50%太阳镜太阳镜雨伞雨伞50% ,P太= 20元,P雨=5元50% ,P太= 5元,P雨=20元125125确确定定的的收收入入期期望望的的收收入入l一个确定收入的效用必定高于同一数额的期望收入的效用.l分散投资降低了风险,提高了确定性,从而提高了效用.l理论上，一个证券组合只要包含了足够多的相关关系弱的证券，就完全有可能消除所有的风险。1 1当相关系数为-1时，组合的标准差有可能为0。当相关系数为0时，组合的标准差有可能变小；第三节、证券组合与分散风险l但是在现实的证券市场上，各证券收益率的正相关程度很高，因为各证券的收益率在一定程度上受同一因素影响(如经济

17、周期、利率的变化等)，因此，分散投资可以消除证券组合的非系统性风险，但是并不能消除系统性风险。第三节、证券组合与分散风险 组合收益率标准差非系统性风险系统性风险总风险组合中证券的数量证券的数量和组合系统性和非系统性风险之间的关系系统性风险系统性风险1我们通常用 值来衡量系统性风险的大小,它是一种资产的回报率对整个市场价值变动的敏感性指标. 可以用该证券的收益率和市场组合的收益率的协方差除以市场组合收益率的方差.激进型资产保守型资产同市场整体同向同比例波动112immi系统性风险的衡量l由于系统性风险无法通过多样化投资来抵消,因此一个证券组合的系数i等于该组合中各种证券的系数的加权平均数,权重为

18、各种证券的市值占整个组合总价值的比重Xi :NiiipX1一、现代投资组合理论两个基本的假设：一、现代投资组合理论两个基本的假设：l不满足性 投资者在其他情况相同的两个投资组合中进行选择时，总是选择预期回报率较高的那个组合。 l厌恶风险 投资者是厌恶风险的（Risk Averse），即在其它条件相同的情况下，投资者将选择标准差较小的组合。 第四节、风险偏好与无差异曲线二、无差异曲线二、无差异曲线l一条无差异曲线代表给投资者带来同样满足程度的预期收益率和风险的所有组合。 1Il1、无差异曲线的斜率是正的PPR无差异曲线的五个特征l 2、该曲线是下凸的1I2I3Il1、无差异曲线的斜率是正的l2、

19、该曲线是下凸的 l3、同一投资者有无限多条无差异曲线（左上方最高） PPR无差异曲线的五个特征1I2Il1、无差异曲线的斜率是正的l2、该曲线是下凸的 l3、同一投资者有无限多条无差异曲线l4、同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不能相交。PPR无差异曲线的五个特征1Il1、无差异曲线的斜率是正的l2、该曲线是下凸的 l3、同一投资者有无限多条无差异曲线l4、同一投资者在同一时间、同一时点的任何两条无差异曲线都不能相交。l5、无差异曲线的斜率越高，说明该投资者越厌恶风险。 PPR无差异曲线的五个特征1IPPR1IPPR三、投资者的投资效用函数三、投资者的投资效用函数l目前在金融

20、理论界使用最为广泛的是下列投资效用函数：l其中A表示投资者的风险厌恶度，其典型值在2至4之间。 221ARU风险厌恶度与投资决策风险厌恶度与投资决策l在一个完美的市场中，投资者对各种证券的预期收益率和风险的估计是一致的，但由于不同投资者的风险厌恶度不同，因此其投资决策也就不同。 一、可行集l现在假设有n项基础资产，我们可以将它们描绘在均值-标准差图上，然后假设由几项资产以所有可能的权重形成投资组合。l因此，存在仅由单独某一资产构成的投资组合、由两项资产构成的投资组合、由三项资产构成的投资组合等等，直到由所有n项资产形成的投资组合。l可行集指的是由N种证券所形成的所有组合的集合。11niiw参见

21、：孔爱国，现代投资学pp.97第五节、有效集和最优投资组合可行集的两条性质l1、如果至少存在三项资产（彼此不是完全相关且均值不同），则可行集将是一个二维实体区域。l2、可行区域是向左侧凸出的。AHBPPRl对于同样的风险水平，他们将会选择能提供最大预期收益率的组合；对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。能同时满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（又称为“有效边界”或“有效前言”）。二、有效集有效集的位置l1、风险最小化l2、收益率最大化APHBPRNl有效集是一条向右上方倾斜的曲线。l有效集是一条向(左)上凸的曲线l有效集曲线上不可能有凹陷的地方。有效集的特点有效集向上凸的特性

22、和无差异曲线向下凸的特性决定了有效集和无差异曲线的相切点只有一个，也就是说最优投资组合是唯一的。I1I3I2PPRONB三、最优投资组合的选择无差异曲线与有效集的相切点无差异曲线与有效集的相切点l对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的。l而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险收益偏好决定的。l厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近N点。l厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点。l无风险贷款相当于投资于无风险资产。l无风险资产应没有任何违约可能和市场风险。l严格地说，只有到期日与投资期相等的国债才是无

23、风险资产。但在现实中，为方便起见，人们常将1年期的国库券或者货币市场基金当作无风险资产。 第六节、无风险贷款对有效集的影响（一）投资于一种无风险资产和一种风险资产的情投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形形该组合的预期收益率为（5.1）nifiiprXRXRXR1211一 允许无风险贷款下的投资组合投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形l该组合的标准差为（5.2）1111XXXninjijjip投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形l将（5.2）代入（5.1）得：其中 为单位风险报酬（Reward-to-Va

24、riability）,又称夏普比率 。pffprRrR1111frR l上式所表示的只是一个线段，若A点表示无风险资产，B点表示风险资产，由这两种资产构成的投资组合的预期收益率和风险一定落在A、B这个线段上，因此AB连线可以称为资产配置线。 PRPBA资产配置线PRBAPCD（二）投资于一种无风险资产和一个证券组合投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形的情形（三）无风险贷款对有效集的影响l引入无风险贷款后，新的有效集由AT线段和TD弧线构成 PRTPCDAl引入无风险贷款后，有效集将发生重大变化。在上图中，弧线CD代表马科维茨有效集，A点表示无风险资产。我们可以在马科维茨有效集中找到一点T，

25、使AT直线与弧线CD相切于T点。T点所代表的组合称为切点处投资组合。lT点代表马科维茨有效集中众多的有效组合中的一个，但它却是一个很特殊的组合。因为没有任何一种风险资产或风险资产组合与无风险资产构成的投资组合可以位于AT线段的左上方。换句话说，AT线段的斜率最大，因此T点代表的组合被称为最优风险组合（Optimal Risky Portfolio）。l最优风险组合实际上是使无风险资产（A点）与风险资产组合的连线斜率最大的风险资产组合。我们的目标是求 其 1=XA +XB 11f，XXrRMaxBABABABBAAXXXX2222221l最优风险组合的权重解如下： BAfBfAAfBBfABAf

26、BBfAArRrRrRrRrRrRX222（四）最优风险组合,最优风险组合原则最优风险组合的预期收益率和方差单位风险报酬(夏普比率)有效边界例题l假设市场上有A、B两种证券，其预期收益率分别为8%和13%，标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3。市场无风险利率为5%。某投资者决定用这两种证券组成最优风险组合。l该最优组合的预期收益率和标准差分别为：l该最优风险组合的单位风险报酬l有效边界的表达式为：l l对于厌恶风险程度较轻，从而其选择的投资组合位于DT弧线上的投资者而言，其投资组合的选择将不受影响。 PRTAPOAC( (五五) )无风险贷款对投资组合选择的影响无风险贷款对投资组合选择的影响l无风险贷款对投资组合选择的影响无风险贷款对投资组合选择的影响l对于较厌恶风险的投资者而言，将选择其无差异曲线与AT线段相切所代表的投资组合. PRAPTOCD最优资产配置比例最优资产配置比例l投资者面临