2018年高考理科数学新课标全国2卷-逐题解析

1、2012018 8 年普通高等学校招生全国统一考试新课标年普通高等学校招生全国统一考试新课标 2 2 卷卷理理科科数学数学注意事项：注意事项：1 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3 3考试考试结束后结束后，将本试卷和答题卡一并交回。将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

2、题目要分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。求的。1 11+1+2i2i1-1-2 2i i=(=() )A A- -4 45 5- -3 35 5i iB B- -4 45 5+ +3 35 5i iC C- -3 35 5- -4 45 5i iD D- -3 35 5+ +4 45 5i i解析：选解析：选 D D2 2已知集合已知集合 A=(x,y)|xA=(x,y)|x2 2+y+y2 23,x3,xZ,yZ,yZ Z ，则，则 A A 中元素的个数为中元素的个数为 ( () )A A9 9B B8 8C C5 5D D4 4解析：选解析：选 A A问题为确定圆面内

3、整点个数问题为确定圆面内整点个数3 3函数函数 f(x)=f(x)=e ex x-e-e-x-xx x2 2的图像大致为的图像大致为 ( () )解析：选解析：选 B Bf(x)f(x)为奇函数，排除为奇函数，排除 A,x0,f(x)0,A,x0,f(x)0,排除排除 D,D,取取 x=2,f(2)=x=2,f(2)=e e2 2-e-e-2-24 41,1,故选故选 B B4 4已知向量已知向量 a a，b b 满足满足|a|=1|a|=1，a ab=-1b=-1，则，则 a a(2a-b)=(2a-b)= ( () )A A4 4B B3 3C C2 2D D0 0解析：选解析：选 B B

4、a a(2a-b)=2a(2a-b)=2a2 2-a-ab=2+1=3b=2+1=35 5双曲线双曲线x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21(a1(a0 0，b b0)0)的离心率为的离心率为 3 3，则其渐近线方程为，则其渐近线方程为( () )A Ay=y= 2 2x xB By=y= 3 3x xC Cy=y=2 22 2x xD Dy=y=3 32 2x x解析：选解析：选 A Ae=e= 3 3c c2 2=3a=3a2 2b=b= 2 2a a6 6在在ABCABC 中，中，coscosC C2 2= =5 55 5，BC=1BC=1，AC=5AC=5，则，则 AB=A

5、B= ( () )A A4 4 2 2B B 3030C C 2 29 9D D2 2 5 5解析：选解析：选 A AcosC=2coscosC=2cos2 2C C2 2-1=-1= - -3 35 5ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2-2AB-2ABBCBCcosC=32cosC=32AB=AB=4 4 2 27 7为计算为计算 S=1-S=1-1 12 2+ +1 13 3- -1 14 4+ + +1 19999- -1 1100100，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入( () )开始0,0NTSNTS输出1i 100i

6、 1NNi11TTi结束是否A Ai=i+1i=i+1B Bi=i+2i=i+2C Ci=i+3i=i+3D Di=i+4i=i+4解析：选解析：选 B B8 8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想是“每个大于每个大于 2 2 的偶数的偶数可以表示为两个素数的和可以表示为两个素数的和”，如，如 30=7+2330=7+23在不超过在不超过 3030 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 3030 的的概率是概率是( () )A A1 11 1

7、2 2B B1 11414C C1 11515D D1 11818解析：选解析：选 C C不超过不超过 3030 的素数有的素数有 2 2，3 3，5 5，7 7，1111，1313，1717，1919，2323，2929 共共 1010 个，从中选个，从中选 2 2 个其和为个其和为 3030 的的为为 7+237+23，11+1911+19，13+1713+17，共，共 3 3 种情形，所求概率为种情形，所求概率为 P=P=3 3C C10102 2= =1 115159 9在长方体在长方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，AB=BC=1AB=BC

8、=1，AAAA1 1= = 3 3，则异面直线，则异面直线 ADAD1 1与与 DBDB1 1所成角的余弦值为所成角的余弦值为( () )A A1 15 5B B5 56 6C C5 55 5D D2 22 2解析：选解析：选 C C建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。建立空间坐标系，利用向量夹角公式可得。1010若若 f(x)=cosx-sinxf(x)=cosx-sinx 在在-a,a-a,a是减函数，则是减函数，则 a a 的最大值是的最大值是( () )A A4 4B B2 2C C3 34 4D D解析：选解析：选 A Af(x)=f(x)=2 2cos(x+cos(x+4 4),

9、),依据依据 f(x)f(x)=cosx=cosx 与与 f(x)=f(x)=2 2cos(x+cos(x+4 4) )的图象关系知的图象关系知 a a 的最大值为的最大值为4 4。1111已知已知 f(x)f(x)是定义域为是定义域为(-(-,+,+ ) )的奇函数，满足的奇函数，满足 f(1-x)=f(1-x)= f(1+x)f(1+x)若若 f(1)=2f(1)=2，则，则 f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=+f(50)= ( () )A A-50-50B B0 0C C2 2D D5050解析：选解析：选 C C 由由 f(1-x)=f(1-x)=

10、 f(1+x)f(1+x)得得 f(x+2)=-f(x),f(x+2)=-f(x),所以所以 f(x)f(x)是以是以 4 4 为周期的奇函数，为周期的奇函数，且且f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(-1)=-f(1)=-2,f(0)=0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-2,f(4)=f(0)=0;f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)+f(2)=2+f(50)=f(1)+f(2)=21212已知已知 F F1 1，F F

11、2 2是椭圆是椭圆 C:C:x x2 2a a2 2y y2 2b b2 21 1（ab0ab0）的左的左，右焦点右焦点，A A 是是 C C 的左顶点的左顶点，点点 P P 在过在过 A A 且斜率为且斜率为3 36 6的直的直线上，线上，P P F F1 1F F2 2为等腰三角形，为等腰三角形，F F1 1F F2 2P=120P=1200 0，则，则 C C 的离心率为的离心率为( () )A A2 23 3B B1 12 2C C1 13 3D D1 14 4解析：选解析：选 D DAPAP 的方程为的方程为 y=y=3 36 6(x+a),(x+a),P P F F1 1F F2

12、2为等腰三角形为等腰三角形 |F|F2 2P|=|P|=| F F1 1F F2 2|=2c,|=2c,过过 P P 作作 PHPHx x 轴，则轴，则PFPF2 2H=60H=600 0, , |F|F2 2H|=c,|PH|=H|=c,|PH|= 3 3c,c, P(2c,P(2c,3 3c),c),代入代入 APAP 方程得方程得 4c=a4c=a二、二、填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。1313曲线曲线 y=2ln(x+1)y=2ln(x+1)在点在点(0,0)(0,0)处的切线方程为处的切线方程为_解析：解析：y=

13、2xy=2x1 14 4若若 x,yx,y 满足约束条件满足约束条件x x+2+2y y-5-50 0 x x-2-2y y+3+30 0 x x-5-50 0, ,则则 z=x+yz=x+y 的最大值为的最大值为_解析：解析：9 91515已知已知 sinsin+cos+cos=1,cos=1,cos+sin+sin=0=0，则，则 sin(sin(+ +)=)=_解析：解析：- -1 12 2两式平方相加可得两式平方相加可得1616已知圆锥的顶点为已知圆锥的顶点为 S S，母线，母线 SASA，SBSB 所成角的余弦值为所成角的余弦值为7 78 8，SASA 与圆锥底面所成角为与圆锥底面所

14、成角为 4545，若，若SABSAB 的面积的面积为为 5 5 1515，则该圆锥的侧面积为，则该圆锥的侧面积为_解析：设圆锥底面圆半径为解析：设圆锥底面圆半径为 r,r,依题依题 SA=SA= 2 2r,r, 又又 SASA，SBSB 所成角的正弦值为所成角的正弦值为15158 8, ,则则1 12 22r2r2 215158 8= =5 5 1515r r2 2=40,=40,S=S=r r 2 2r=40r=40 2 2三、解答题：共三、解答题：共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17172121 题为必考题，每个试

15、题考生题为必考题，每个试题考生都必须作答。第都必须作答。第 2222、2323 为选考题为选考题，考生根据要求作答。考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 6060 分。分。1717 （1212 分）分）记记 S Sn n为等差数列为等差数列aan n 的前的前 n n 项和，已知项和，已知 a a1 1=-7=-7，S S3 3=-15=-15（1 1）求）求aan n 的通项公式；的通项公式；（2 2）求）求 S Sn n，并求，并求 S Sn n的最小值的最小值解解： （1 1）设）设aan n 的公差为的公差为 d d，由题意得，由题意得 3 3 a a1 1+3d=-15

16、,+3d=-15,由由 a a1 1=-7=-7 得得 d=2.d=2.所以所以aan n 的通的通项项公式为公式为 a an n=2n-9=2n-9. .（2 2）由（）由（1 1）得）得 S Sn n=n=n2 2-8n=(n-4)-8n=(n-4)2 2-16-16. .所以当所以当 n=4n=4 时时, , S Sn n取得最小值取得最小值, ,最小值为最小值为 16.16.1818 （1212 分）分）下图是某地区下图是某地区 20002000 年至年至 20162016 年环境基础设施投资额年环境基础设施投资额 y y（单位：亿元）的折线图（单位：亿元）的折线图为了预测该地区为了预

17、测该地区 20182018 年的环境基础设施投资额，建立了年的环境基础设施投资额，建立了 y y 与时间变量与时间变量 t t 的两个线性回归模型根据的两个线性回归模型根据 20002000 年年至至 20162016 年的数据（时间变量年的数据（时间变量 t t 的值依次为的值依次为 1,2,1,2,17,17）建立模型）建立模型：y y =-30.4+13.5t=-30.4+13.5t；根据；根据 20102010 年至年至 2012016 6年的数据（时间变量年的数据（时间变量 t t 的值依次为的值依次为 1,2,1,2,7,7）建立模型）建立模型：y y =99+17.5t=99+1

18、7.5t（1 1）分别利用这两个模型，求该地区）分别利用这两个模型，求该地区 20182018 年的环境基础设施投资额的预测值；年的环境基础设施投资额的预测值；（2 2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由解解： （1 1）利用模型）利用模型, ,该地区该地区 20182018 年的环境基础设施投资额的预测值为年的环境基础设施投资额的预测值为y y =-30.4+13.5=-30.4+13.519=226.119=226.1 ( (亿元亿元).).利用模型利用模型, ,该地区该地区 20182018 年的环境基础设施投资额的预测值为年的

19、环境基础设施投资额的预测值为y y =99+17.5=99+17.59=256.59=256.5 ( (亿元亿元).).（2 2）利用模型）利用模型得到的预测值更可靠得到的预测值更可靠. .理由如下：理由如下：（）从折线图可以看出）从折线图可以看出,2000,2000 年至年至 20162016 年的数据对应的点没有随机散布在直线年的数据对应的点没有随机散布在直线y y =-30.4+13.5t=-30.4+13.5t 上下上下. .这说明利用这说明利用 20002000 年至年至 20162016 年的数据建立的线性模型年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋不能很好地

20、描述环境基础设施投资额的变化趋势势.2010.2010 年相对年相对 20092009 年的环境基础设施投资额有明显增加，年的环境基础设施投资额有明显增加，20102010 年至年至 20162016 年的数据对应的点位于一条年的数据对应的点位于一条直线的附近直线的附近， 这说明这说明从从 2012010 0 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势, ,利利用用 2012010 0 年年至至 2012016 6年的数据建立的线性模型年的数据建立的线性模型y y =99+17.5=99+17.5t t可以较好地描可以较好地描述述20120

21、10 0年以后的环境基础设施投资额的变化趋势年以后的环境基础设施投资额的变化趋势, ,因因此利用模型此利用模型得到的预测值更可靠得到的预测值更可靠. .（） 从计算结果看从计算结果看, ,相对于相对于 20162016 年的环境基础设施投资额年的环境基础设施投资额 220220 亿元亿元, ,由模型由模型得到的预测值得到的预测值 226.1226.1 亿元亿元的增幅明显偏低的增幅明显偏低, ,而利用模型而利用模型得到的预测值的增幅比较合理得到的预测值的增幅比较合理. .说明利用模型说明利用模型得到的预测值更可靠得到的预测值更可靠. .以上给出了以上给出了 2 2 种理由种理由, ,考生答出其中

22、任意一种或其他合理理由均可得分考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. .1919 （1212 分）分）设抛物线设抛物线 C:yC:y2 2=4x=4x 的焦点为的焦点为 F F，过，过 F F 且斜率为且斜率为 k(k0)k(k0)的直线的直线 l l 与与 C C 交于交于 A A，B B 两点，两点，|AB|=8|AB|=8（1 1）求）求 l l 的方程；的方程；（2 2）求过点）求过点 A A，B B 且与且与 C C 的准线相切的圆的方程的准线相切的圆的方程解解： （1 1）由题意得）由题意得 F(1,0)F(1,0)，l l 的方程为的方程为 y=k(x-1)(k0)y=k(

23、x-1)(k0). .设设 A A(x(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x2 2,y,y2 2) )，由，由y=k(x-1)y=k(x-1)y y2 2=4x=4x得得 k k2 2x x2 2-(2k-(2k2 2+4)x+k+4)x+k2 2=0.=0.=16k=16k2 2+160+160，故故 x x1 1+x+x2 2= =2k2k2 2+4+4k k2 2. .所以所以|AB|=|AB|= x x1 1+x+x2 2+2=+2=2k2k2 2+4+4k k2 2+2=8+2=8，解得解得 k=-1k=-1（舍去（舍去） ，k=1.k=1.因此因此 l l 的方程为的方程为

24、y=x-1.y=x-1.（2 2）由（）由（1 1）得）得 ABAB 的中点坐标为的中点坐标为(3,2)(3,2)，所以所以 ABAB 的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3)y-2=-(x-3)，即即 y=-x+5.y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为设所求圆的圆心坐标为(x(x0 0,y,y0 0) )，则则y y0 0=-x=-x0 0+5+5(x(x0 0+1)+1)2 2= =(y(y0 0-x-x0 0+1)+1)2 22 2+16+16解得解得x x0 0=3=3y y0 0=2=2或或x x0 0=11=11y y0 0=-6=-6因此所求圆的方程为因此所求圆的

25、方程为(x-3)(x-3)2 2+(y-2)+(y-2)2 2=16=16 或或(x-11)(x-11)2 2+(y+6)+(y+6)2 2=144.=144.2020 （1212 分）分）如图，在三棱锥如图，在三棱锥 P-ABCP-ABC 中，中，AB=BC=2AB=BC=2 2 2，PA=PB=PC=AC=4PA=PB=PC=AC=4，O O 为为 ACAC 的中点的中点（1 1）证明：）证明：POPO平面平面 ABCABC；（2 2）若点）若点 M M 在棱在棱 BCBC 上，且二面角上，且二面角 M-PA-CM-PA-C 为为 30300 0，求，求 PCPC 与平面与平面 PAMPA

26、M 所成角的正弦值所成角的正弦值PAOCBM解解： （1 1）因为）因为 AP=CP=AC=4AP=CP=AC=4，O O 为为 ACAC 的中点，所以的中点，所以 OPOPACAC，且，且 OP=2OP=2 3 3. .连结连结 OB.OB.因为因为 AB=BC=AB=BC=2 22 2ACAC，所以，所以ABCABC 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，且且 OBOBACAC，OB=OB=1 12 2AC=2.AC=2.由由 OPOP2 2+OB+OB2 2=PB=PB2 2知知 OPOPOB.OB.由由 OPOPOB,OPOB,OPACAC 知知 OPOP平面平面 ABC.ABC.（2

27、2）如图，以）如图，以 O O 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系为坐标原点，建立如图空间直角坐标系. .由已知得由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0,),P(0,0,2 3 3),),APAP=(0,0,2=(0,0,2 3 3) )取平面取平面 PACPAC 的法向量的法向量OBOB= =(2,0,0).(2,0,0).设设 M(a,2-a,0)(0aM(a,2-a,0)(0a2)2)，则，则AMAM=(a,4-a,0).=(a,4-a,0).设平面设平面

28、PAMPAM 的法向量为的法向量为 n=(x,y,z).n=(x,y,z).则则2y+22y+2 3 3z=0z=0ax+(4-a)y=0ax+(4-a)y=0，可取，可取 n=(n=( 3 3(a-4),(a-4),3 3a,-aa,-a) )，所以所以 coscos=2 2 3 3(a-4)(a-4)2 2 3(a-4)3(a-4)2 2+3a+3a2 2+a+a2 2. .由已知得由已知得|cos|cos|=|=3 32 2. .2 2 3 3|(a-4)|(a-4)|2 2 3(a-4)3(a-4)2 2+3a+3a2 2+a+a2 2= = =3 32 2解得解得 a=-4a=-4（

29、舍去（舍去） ，a=a=4 43 3. .所以所以 n=(-n=(-8 8 3 33 3, ,4 4 3 33 3,-,-4 43 3).).又又PCPC=(0,2,-2=(0,2,-2 3 3) )，所以，所以 coscos=3 34 4. .所以所以 PCPC 与平面与平面 PANPAN 所成角的正弦值为所成角的正弦值为3 34 4. .2121 （1212 分）分）已知函数已知函数 f(x)=ef(x)=ex x-ax-ax2 2（1 1）若）若 a=1a=1，证明：当，证明：当 x x0 0 时，时，f(x)f(x)1 1；（2 2）若）若 f(x)f(x)在在(0,+(0,+) )只

30、有一个零点，求只有一个零点，求 a a【解析【解析】 （1 1）当）当 a=1a=1 时，时，f(x)f(x)1 1 等价于等价于(x(x2 2+1)e+1)e-x-x-1-10 0设函数设函数 g(x)g(x) (x(x2 2+1)e+1)e-x-x-1-1，则，则 g g(x)(x)=-(x-1)=-(x-1)2 2e e-x-x当当 x x1 1 时，时，g g(x)(x)00h(x)0，h(x)h(x)没有零点；没有零点；（iiii）当）当 a0a0 时，时，h h(x)(x)=ax(x-2)=ax(x-2) e e-x-x当当 x x(0,2)(0,2)时，时，h h(x)(x)00

31、0所以所以 h(x)h(x)在在(0,2)(0,2)单调递减，在单调递减，在(2,+(2,+) )单调递增单调递增故故 h(2)=1-h(2)=1-4a4ae e2 2是是 h(x)h(x)在在0,+0,+) )的最小值的最小值若若 h(2)0h(2)0，即，即 aae e2 24 4，h(x)h(x)在在(0,+(0,+) )没有零点；没有零点；若若 h(2)=0h(2)=0，即，即 a=a=e e2 24 4，h(x)h(x)在在(0,+(0,+) )只有一个零点；只有一个零点；若若 h(2)0h(2)ae e2 24 4，由于，由于 h(0)=1h(0)=1，所以，所以 h(x)h(x)

32、在在(0,2)(0,2)有一个零点，有一个零点，由（由（1 1）知，当）知，当 x0 x0 时，时，e ex x=x=x2 2，所以，所以 h(4a)=1-h(4a)=1-16a16a3 3(e(e2a2a) )2 21-1-16a16a3 3(2a(2a) )4 4=1-=1-1 1a a00故故 h(x)h(x)在在(2,4a)(2,4a)有一个零点，因此有一个零点，因此 h(x)h(x)在在(0,+(0,+) )有两个零点有两个零点综上，综上，f(x)f(x)在在(0,+(0,+) )只有一个零点时，只有一个零点时，a=a=e e2 24 4（二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。2222 选修选修 4 44 4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （1010 分）分）在直角坐标系在直角坐标系 xOyxOy 中中， 曲线曲线 C C 的参数方程为的参数方程为x=2cosx=2cosy=4siny=4sin（为参数为参数） ， 直线直线 l l 的参数方程为的参数方程为x=