余弦定理教学设计

1、1.12余弦定理教学设计一、教学目标认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单运用余弦定理解三角形；能力目标：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出余弦定理，培养学生的创新意识和观察与逻辑思维能力，能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题； 情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，培养学生学习数学兴趣和热爱科学、勇于创新的精神。二、教学重难点重点：探究和证明余弦定理的过程；理解掌握余弦定理的内容；初步对余弦定理进行应用。难点：利用向量法证明余弦

2、定理的思路；对余弦定理的熟练应用。三、学情分析和教学内容分析在学习本节课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，初步掌握了正弦定理的证明及应用，并明确了用正弦定理可以来解哪些类型的三角形。在此基础上，教师可以创设一个“已知三角形两边及夹角”来解三角形的实际例子，学生发现不能用上一节所学的知识来解决这一问题，从而引发学生的学习兴趣，引出这一节的内容。在对余弦定理教学中时，考虑到它比正弦定理形式上更加复杂，教师可以有目的的提供一些供研究的素材，并作必要的启发和引导，让学生进行思考，通过类比、联想、质疑、探究等步骤，辅以小组合作学习，建立猜想，获得命题，再想方设法去证明。在用两种不同的方法证明余弦定理时

3、，学生可能会遇到证明思路上的困难，教师可以适当的点拨。四、教学过程环节一 【创设情境】1、复习引入让学生回答正弦定理的内容和能用这个定理解决哪些类型的问题。ABC图12、情景引入如图1，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。学生不难将这个实际问题转化到数学问题：已知三角形的两边和一个夹角，去求三角形的另外一边。这个问题是不能使用正弦定理来求解的。学生急切的希望应用新知识来解决这个问题。环节二 【导入新课】问题：在ABC中，

4、当C=90°时，有c2=a2+b2若a，b边的长短不变，变换C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请同学们思考。 教师鼓励学生积极思考，大胆发言，启发学生解决问题，学生回答，借助于多媒体动画演示结果。如图2，若C90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2a2+b2CBAB图2ACBB图3如图3，若C90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2a2+b2经过议论学生已得到当C90°时，c2a2+b2。环节三 【新课探究】探究1、在上一个问题中，我们已经知道，当C90°时，c2a2+b2。那么c2与a2

5、+b2到底有什么等量关系呢？请同学们继续探究。教师引导学生分组合作学习，可让几个小组的学生研究当C为锐角时的结论，另外的小组研究当C为钝角时的结论。最后交流探索，展示成果。如图4，当C为锐角时，作BDAC于D，BD把ABC分成两个直角三角形： ACBD图4在RtABD中，AB2=AD2+BD2；在RtBDC中，BD=BC·sinC=asinC，DC=BC·cosC=acosC所以，AB2=AD2+BD2化为c2=(bacosC)2+(asinC)2，c2=b22abcosC+a2cos2C+a2sin2C，c2=a2+b22abcosC可以看出C为锐角时，ABC的三边a，b

6、，c具有c2=a2+b22abcosC的关系。如图5，当C为钝角时，作BDAC，交AC的延长线于D。BADC图5ACB是两个直角三角形之差。在RtABD中，AB2=AD2+BD2在RtBCD中，BCD=CBD=BC·sin(C)，CD=BC· cos(C)所以AB2=AD2+BD2化为c2=(AC+CD)2+BD2=b+acos(C)2+asin(C)2=b2+2abcos(C)+a2cos2(C)+a2sin2(C)=b2+2abcos(C)+a2因为cos(C)=cosC，所以也可以得到c2=b2+a22abcosC。教师点拨：以上两种情况，我们可以考察向量在向量方向上

7、的正射影的数量：当C分别是锐角和钝角的时候，得到两个数量符号相反；当C是直角的时候，其向量在直角边上的正射影的数量为零。因此，无论是C是锐角、直角还是钝角，都有,在RtADB中，运用勾股定理，得c2=a2+b22abcosC，我们轮换A，B，C的位置可以得到a2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB于是，我们得到三角形中边角关系的又一重要定理：（多媒体投影余弦定理的内容） 余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即c2=a2+b22abcosCa2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosB从以上的公式中解出,则可以

8、得到余弦定理的另外一种形式：从以上分析过程，我们对C不是直角的情况有了清楚认识。我们不仅要认识到，C为锐角和钝角时都有c2=a2+b22abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的。这种由未知向已知转化的思想在数学中经常用到。探究2、你还能用向量的方法证明余弦定理吗？参看教材例1左上方的思路提示。教师点拨学生的思路，可以让学生分组讨论、探究，最后教师用多媒体展示证明的思路及过程。图6如图6，在ABC中，设，教师点评：对于探究1，我们分C是锐角和钝角的情况对余弦定理的形式给出了证明，过程比较复杂；对于探究2，我们应用向量的数量积可以很简单的证明余弦定理，这就可以看出向量作为一

9、种工具在证明一些数学问题中的作用，在今后的学习中，我们应该加强对所学知识的应用。探究3、余弦定理在解三角形中的应用教师启发学生：根据余弦定理的两种形式，可以看出它能够解决解三角形的哪些类型？（学生并不难发现，余弦定理可以用来解决两种解三角形的类型：已知三角形的两边及其夹角，求第三边；已知三角形的三边，求三个内角。）下面，请同学们根据余弦定理的这两种应用，来解决以下三个例题。（用多媒体展示例题）例1、在ABC中，已知a=5,b=4,C=120O,求c.例2、在ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三个内角的大小及其面积（精确到0.1）.例3、ABC的定点为A(6,5),B(-2,8),和

10、C(4,1),求A(精确到0.1).双边活动：师生可以共同完成例题，进一步的加深学生对余弦定理的应用。环节四 【练习与巩固】1、在ABC中，a=1,b=1,C=120O,则c= 。2、在ABC中，若三边a,b,c满足，则A= 。3、在ABC中，已知 ,这个三角形是 （填锐角、直角、钝角三角形）。4、在ABC中，BC=3,AC=2,AB上的中线长为2，求AB。双边活动：学生限时训练，让学生回答结果，对于出错题目加以讲解，可以用多媒体展示第4题的解题过程。环节五 【课堂反思总结】通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）1、余弦定理

11、的发现从直角入手，分别讨论了锐角和钝角的情况，体现了由特殊到一般的认识过程，运用了分类讨论的数学思想；2、用向量证明了余弦定理，体现了数学知识的应用以及数形结合数学思想的应用；3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。（从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般，我们不仅收获着结论，而且整个探索过程我们也掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法，注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。）环

12、节六 【布置课后作业】1、若三角形ABC的三条边长分别为，则 。2、在ABC中,若a7,b8,则最大内角的余弦值为 _ 。3、已知ABC中，acosB=bcos A，请判断三角形的形状（用两种不同的方法）。五、教学反思1、余弦定理是解三角形的重要依据，要给予足够重视。本节内容安排两节课适宜。第一节，余弦定理的引出、证明和简单应用；第二节复习定理内容，加强定理的应用。 2、当已知两边及一边对角需要求第三边时，可利用方程的思想，引出含第三边为未知量的方程，间接利用余弦定理解决问题，此时应注意解的不唯一性。但是这个问题在本节课讲给学生，学生不易理解，可以放在第二课时处理。 3、本节课的重点首先是定理

13、的证明，其次才是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采取的是“掐头去尾烧中断”的方法，忽视了定理、概念的形成过程，只是一味的教给学生定理概念的结论或公式，让学生通过大量的题目去套用这些结论或形式，大搞题海战术，加重了学生的负担，效果很差。学生根本没有掌握住这些定理、概念的形成过程，不能明白知识的来龙去脉，怎么会灵活的应用呢？事实上已经证明，这种生搬硬套、死记硬背式的教学方法和学习方法已经不能适应新课标教育的教学理念。新课标课程倡导：强调过程，重视学生探索新知识的经历和获得的新知的体会，不能再让教学脱离学生的内心感受，把“发现、探究知识”的权利还给学生。 4、本节课的教学过程重视学生探究知识的

14、过程，突出了以教师为主导，学生为主体的教学理念。教师通过提供一些可供学生研究的素材，引导学生自己去研究问题，探究问题的结论。在这个过程中，教师应该做到“收放有度”，即：不能收的太紧，剥夺了学生独立思考、合作学习的意识，更不能采取“放羊式”的教学，对于学生在探究问题中出现的困惑置之不理。 5、合理的应用多媒体教学，起到画龙点睛、提高效率、增强学生对问题感官认识的效果，不能让教师成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将学生上课时的“眼到、手到、口到”变为机械的“眼到”，学生看了一节课的“电影”，没有充足的时间去思考、练习、巩固，课后会很快将所学的知识忘得一干二净。 6、在实际的教学中，发现学生对

15、于所学的知识（例如向量）不能很好的应用，学生的数学思想（如分类讨论、数形结合）也不能灵活的应用，这在以后的教学中还应该加强。从授课的实际效果来看，能较好的完成本节课的教学任务。后一阶段的教学主要应该加强师生的课堂双边活动，处理好教与学的关系，充分调动学生的课堂参与意识，鼓励学生积极大胆的发言，学生主动暴露自己的问题，教师及时的加以纠正，使教学更具针对1.1.2余弦定理（导学案） 学习目标1.会用向量的数量积证明余弦定理的方法。，2.熟记并掌握余弦定理3.能运用余弦定理及其推论解三角形学习重点 余弦定理的理解及应用学习难点由数量积证明余弦定理及应用学习过程一、课前准备【知识清单】（预习教材P5-

16、8，找出疑惑之处）1.余弦定理：2.余弦定理的推论： 3.用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题已知三边，求 已知 和它们的 ，求第三边和其他两个角。【牛刀小试】1已知，求；2已知，求cos二、新课导学1【复习导入】1.三角形的正弦定理内容： 2.已知A=,C=,，你能解这个解三角形？【探究】在问题中探究余弦定理若把2的条件C=,改成，如何解三角形？（即已知三角形的两边及其夹角解三角形 ） 问题：联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？分析：用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c；由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 设，那么，则 C B （小组

17、合作完成）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 从余弦定理，又可得到以下推论： 理解定理余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？【探究2】若ABC中，C=，则，这时，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。当为锐角时，吗

18、；当为钝角时，三边的平方关系是怎样的。上面几个命题的逆命题成立吗？三、典例精析【例1】在ABC中，已知，求b及A【例2】在三角形ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形的最大角的大小及其面积【例3】在ABC中，已知sinA2sinBcosC，试判断ABC的形状4、 当堂检测1.已知的三边分别为2，3，4，则此三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形2.五、提出疑惑（易混点）（在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要）同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点（易混点）疑惑内容（易混内容）学习小结 课后提升

19、【必做题】1.在ABC中，若，则 2在中，已知，求的大小.花的学校教学设计1、 教材分析本文是选自泰戈尔新月集里的一首儿童散文诗。诗人以清新流畅的笔触，勾画出甜美纯净的儿童世界。诗人巧妙地从孩子的眼中叙述花们的活泼、可爱、美丽、向上。全诗充满了童真童趣，充满了丰富奇妙的想象。教学设计中，引导学生通过抓住重点词语，边读文边想象，体会诗歌语言的形象、生动。通过对课文中不理解的地方提出疑问，深入感受诗人想象的丰富奇妙。2、 教学目标1.“落、荒”等13个生字，正确认读“荒、笛”等5个生字，认识多音字“假”。2.正确、流利、有感情地朗读课文，默读课文，能对课文中不理解的地方提出疑问。3.理解课文内容，

20、体会课文富于童真童趣的语言和丰富细腻的想象，培养学生的质疑、表达、想象能力。 教学重点1.有感情地朗读课文，理解诗歌的内容。 2.想象诗歌所描绘的画面，体会诗歌的意境。 教学难点1.理解课文内容，体会课文富于童真童趣的语言。 2.体会课文丰富细腻的想象。（一）谈话导入，激发兴趣1.同学们，我们每天在学校中学习生活，享受着学校生活的快乐。花们也和你们一样有自己的学校，让我们一起走进“花的学校”，去体验他们的学习生活。2.板书课题，齐读课题。3.课件出示作者的图片及简要资料，教师介绍作者。泰戈尔，印度诗人、哲学家。他出版过飞鸟集园丁集等五十多部诗集，曾于1913获诺贝尔文学奖。本文选自泰戈尔的散文

21、诗集新月集。（二）初读课文，整体感知1.教师播放课文朗读录音，学生认真听，注意生字的读音。2.自读课文，画出生字词，标出自然段，提出疑问。3.自学本课的生字，读准生字读音，口头给生字组词。4.检查生字学习的情况。（1）课件出示下列词语，指名读。荒（hung）野口笛（dí）罚（fá）站放假（jià）衣裳（shng）教师相机点拨：“假”是多音字，在本课中读“jià”，“裳”在“衣裳”中读轻声。（2）去拼音读一读。（3）说说自己是怎么预习这些生字的。预设：生1：“荒、笛”我是用加一加的方法记住的。生2：我家附近有一家店铺，名字是“霓裳”，所以我就记住“裳”的字

22、形了。（4）多音字练习。课件出示：选一选。假：jijià 真假（）暑假（） 假（）发假（）日（5）理解“荒野”和“口笛”。出示“荒野”的图片，请学生说一说自己看到的情景。出示实物口笛，向学生介绍。会吹口笛的同学为大家吹一吹。（6）出示带有会写字的词语，开火车读。落下 荒野 口笛 跳舞 狂欢 罚站 放假 互相 一所 能够 猜出 扬起 双臂（三）再读质疑，感知大意1.再一次默读课文，看看自己能提出哪些有价值的问题。2.汇报提出的问题，教师进行梳理。预设：花们的地下学校是什么样子的？花们的妈妈是谁？花们的老师是谁？3.指名读文，思考刚才同学们提出的问题。4.交流解疑。（1）把自己的想法与小

23、组同学进行交流，在小组交流中有不明白或有疑问的问题，准备在全班进行交流。（2）全班汇报交流，师生共同解决部分问题。5.整体朗读课文，说一说课文主要写了什么内容。（1）出示填空，引导学生说一说。诗人以孩子的视角，想象到了：当_在天上轰响，_落下的时候，_从无人知道的地方突然跑出来。他们在_的学校里上学。雨一来，他们便_。他们的家在_。（横线上的内容依次是雷云、六月的阵雨、一群一群的花、地下、放假了、天上。） （2）引导学生朗读课文。 （四）观察示范，学写生字 1.出示本节课要求会写的生字，开火车轮读。 落 荒 笛 舞 狂 罚 假 互 所 够 猜 扬 臂 2.学生独立观察，了解生字的书写要领。 3

24、.请同学当小老师提醒大家在书写这些生字时需要注意什么，教师相机点拨。 落：上下结构，不要写成左右结构，要注意各部件的穿插与避让。 荒：不要在“亡”上多写一个点。 笛：下边是“由”，不是“田”。 舞：一共14笔，课件展示笔顺，指名反复书空。 4.教师示范“舞”“扬”“臂”。5.指导学生书写词语。（五）品味语言，想象画面1.课件出示第1自然段：当雷云在天上轰响，六月的阵雨落下的时候，湿润的东风走过荒野，在竹林中吹着口笛。（1）教师范读第1自然段，引导学生一边听一边想象画面：你仿佛看到了什么样的画面？听到了什么声音？引导学生抓住“雷云在天上轰响”来想象画面。播放雷电交作的图片和声音，直观感受“雷云在

25、天上轰响”。“湿润的东风走过荒野，在竹林中吹着口笛。”读到这一句时，你仿佛看到了什么？听到了什么？有怎样的体会呢？小结：在第1自然段中，作者运用了拟人的修辞方法，赋予东风以人的特点。东风可以“走过荒野”，可以“吹着口笛”。这种写法多么形象生动啊！（2）指导朗读，想象花在绿草上“跳舞、狂欢”的情景。（3）小结：刚才我们学习第1自然段时，运用了“抓重点词语，边读文边想象”的读书方法。我们抓住这些重点词语来想象，就能和作者心意相通，仿佛看到了作者眼中的栩栩如生的画面。2.学生运用学习第1自然段的方法自学第2、6自然段。（1）过渡：下面我们运用这种读书方法来学习第2、6自然段的内容。请同学们放声读这两个自然段，边读边在脑海里想象画面，可以用笔画一画能让你看到画面或听到声音的重点词语。（2）学生汇报第2自然段的学习成果。课件出示：于是，一群一群的花从无人知道的地方突然跑出来，在绿草上跳舞、狂欢。学生汇报，教师引导学生抓住“一群一群”想象花很多，抓住“跳舞”“狂欢”