圆的切线长定理18916

1、在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做线段的长叫做这点到圆的切线长这点到圆的切线长OPA思考：思考： 切线切线和和切线长切线长这两个概念有何区别？这两个概念有何区别？ 切线和切线长是两个不同的概念：切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线；、切线是一条与圆相切的直线； 2、切线长是、切线长是线段线段的长，这条线段的两个端点分别的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点是圆外一点和切点。OPAB OABP思考思考：已知已知 O切线切线PA、PB，A、B为切为切点，把圆沿着直线点，把圆沿着直线OP对折对折,你能发现什你

2、能发现什么么?12请证明你所发现的结论。请证明你所发现的结论。APOBPA = PBOPA=OPB证明：证明：PAPA，PBPB与与OO相切，点相切，点A A，B B是切点是切点 OAPAOAPA，OBPBOBPB 即即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtRtAOPRtAOPRtBOP(HLBOP(HL) ) PA = PB OPA=OPB试用文字语言试用文字语言叙述你所发现叙述你所发现的结论的结论PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PBOPA=OPB 从圆外一点引圆的两条切线，它从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条们的切线长相等，圆心

3、和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线的夹角。 几何语言几何语言:反思反思：切线长定理为证明：切线长定理为证明线段相等线段相等、角相等角相等提供新的方法提供新的方法OPABAPOB 若连结两切点若连结两切点A A、B B，ABAB交交OPOP于点于点M.M.你又能得出什你又能得出什么新的结论么新的结论? ?并给出证明并给出证明. .OP垂直平分垂直平分AB证明：证明：PAPA，PBPB是是OO的切线的切线, ,点点A A，B B是切点是切点 PA = PB OPA=OPB PABPAB是等腰三角形是等腰三角形，PMPM为为顶角顶角的平分线的平分线 OP垂直平分垂直平分ABM。PBAO（3）连结

4、圆心和圆外一点）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点）连结两切点（1）分别连结圆心和切点）分别连结圆心和切点反思：在解决有关圆的切反思：在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我线长问题时，往往需要我们构建基本图形。们构建基本图形。一、判断：一、判断：（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。（）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。（）二、选择：二、选择：如图所示，如图所示，PA、PB、DE分别切分别切 O于于A、B、C，DE分别交分别交PA，PB于于D、E，已知，已知P到到 O的切线长为的切线长为8CM，则，则 P

5、DE的周长为（的周长为（ ）AA 16cmD 8cmC12cmB 14cmABPDEOC（2）已知）已知OA=3cm,OP=6cm，则，则APB= PABCMO60（4）OP交交 O于于M，则，则 ， 牛刀小试牛刀小试（3）若）若APB=70，则，则AOB= 110（1）若）若PA=4、PM=2，求圆，求圆O的半径的半径OA OA=3例例1 1、已知：、已知：P P为为OO外一点，外一点，PAPA、PBPB为为OO的的切线，切线，A A、B B为切点，为切点，BCBC是直径。是直径。 求证：求证：ACOPACOPPACBDO探究：探究：PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，A、B为切点，直

6、线为切点，直线OP交于交于 O于点于点D、E，交，交AB于于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）写出图中所有的等腰三角形）写出图中所有的等腰三角形ABP AOB（2）写出图中与）写出图中与OAC相等的角？图中有几组相等的线段相等的角？图中有几组相等的线段?OAC=OBC=APC=BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.A AB BC C思考思考:如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面如图是一张三角形的铁皮

7、，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？可能大呢？A AB BC CD DF FE E. . . .与三角形各边都相切的圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的叫做三角形的内切圆内切圆ABCIDEF三角形三角形内切圆内切圆的圆心叫做三角形的的圆心叫做三角形的内心内心这个三角形叫做这个三角形叫做圆圆的的外切三角形外切三角形三角形的三角形的内心内心就是三角形的三个内角就是三角形的三个内角角角平分线的交点平分线的交点三角形的三角形的内心内心到三角形的三边的距离到三角形的三边的距离相等相等例例2、已知、已知, ,ABC中中, ,BC=14cm, ,A

8、C=9cm, ,AB=13cm, ,它它的内切圆分别和的内切圆分别和BC、AC、AB切于点切于点D、E、F, ,求求AF、BD和和CE的长。的长。 DBCEAFo外接圆圆心：外接圆圆心：三角形三边垂三角形三边垂直平分线的交点直平分线的交点。外接圆的半径：外接圆的半径：交点到三角交点到三角形任意一个顶点的距离。形任意一个顶点的距离。三角形外接圆三角形外接圆三角形内切圆三角形内切圆o内切圆圆心：内切圆圆心：三角形三个内三角形三个内角平分线的交点。角平分线的交点。内切圆的半径：内切圆的半径：交点到三角交点到三角形任意一边的垂直距离。形任意一边的垂直距离。A AA AB BB BC CC C切线长定理

9、切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角夹角。 PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分垂直平分AB 切线长定理为证明切线长定理为证明线段相等，角相线段相等，角相等，弧相等，垂直关系等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。必须掌握并能灵活应用。BAPOCED如图，从如图，从O O外一点外一点P P作作O O的两条切线，分别切的两条切线，分别切O O于于A A 、B B，在在ABAB上任取一点上任取一点C C作作O O的切线分别交的切线分别交PA PA 、PBPB于于D D 、E E（1 1）若）若PA=2PA=2，则，则PDEPDE的周长为的周长为_；E OCBDPA42a70 70 2k)(180 若若PA=a，则，则PDE的周长为的周长为_。（2）连结）连结OD 、OE，若，若P=40 ，则，则DOE=_;若若P=k,DOE=_ 度度 。例例3.如图，如图，ABC中中,C =90 ,它的内切圆它的内切圆O分别分别与边与边AB、BC、CA相切于点相切于点D、E、F，且，且BD=12，AD=8，求，求 O的半径的半径r.OEBDCAF练习练习2