2018年高三高三数学经典二轮复习专题一---函数、方程与不等式

1、砂题一函数、方程与不等式J知识网络图解考情分析及命题趋势函数是高中数学中十分重要的内容，是初等数学与高等数学的主要衔接部分，同时也是贯穿了整个中 学数学的一根主线具有概念性强，内容丰富，与其他知识（特别是方程、不等式、导数等知识）联系广泛 等特点函数思想是思考与解决数学问题的重要思想，它融会了待定系数法、配方法、换元法、反证法等基 本数学方法及数形结合、分类与整合、转化与化归等重要思想方程、不等式是中学数学的基础和重要内容，是数学学科的工具所以它有着广泛的应用性，是培养学生数学能力和应用意识的重要素材 函数、方程、不等式历来都是高考考查的重点内容，已成为高考永恒的热点，且常考常新这一部分试题呈

2、现出设计新颖，灵活，思维力度增大，运算量减小的特点纵观近三年的全国及各省、市高考试题，通常以小题的形式考查函数的性质，不等式的性质、解法及函数、方程思想的运用，而在解答题中，则往往是在知识的交汇点处，从更高的层次、从思想方法与相关能力的关系角度进行综合考查，特别是利用导数作为工具，考查函数、方程、不等式的综合应用已成为高考的又一热点，值得关注主干知识整合1 集合是近代数学的基础，简易逻辑为数学学习和运用知识解决问题提供了知识上的准备，表达上的规范和思维上的严密，因此是历年高考的必考点.通常以小题的形式呈现，一、是考查集合知识的应用，如求不等式的解集；二、是考查命题的形式及等价性、充要条件的判定

3、；三、是考查数学语言能力、逻辑 推理能力和分析问题的能力及数学思想的运用2 理解集合的有关概念，掌握集合的符号语言及子集、交集、并集、补集、全集的有关概念，注意 数形结合思想的运用，自觉利用韦恩图、数轴、函数图象帮助解题，强化集合语言和思想的运用，如求函数的定义域、值域、方程与不等式的解集、解析几何的曲线等，注意利用AUB= A=Au AAB= B等价转化.3 理解命题、复合命题的概念和 或”、且”、非”等逻辑联结词的含义，掌握复合命题真假的判定和 命题的四种形式及等价性，掌握充要条件的三种判定方法 .简易逻辑沟通代数、几何、三角等知识，贯穿于 整个高中数学之中.真题新题探究【例 1】2018

4、年浙江设 f (n)= 2n+1(n N), P= 1 , 2, 3, 4, 5, Q= 3,4, 5, 6, 7,记I?=nN丨 f (n) P,Q?=n N|f (n)Q，则(P?PeN(?)U(Q?Qe”I?)=(A)A 0 ,3B. 1 , 2C 3 , 4, 5D 1 , 2, 6, 7【解析】 由已知得，I?=0,1,2,Q=1,2,3 ,(I?neN(?)U(QneNP)=0U3 =0 , 3,故选 A.【评析】 求解集合运算有关问题时，先理解集合的意义，在这里求出集合F?, Q?是关键，再依据集合运算定义直接求解.变式题 设集合 A = 5 , log2(a+3) ,集合 B

5、= a, b，若 AQB = 2,则 AUB=_.【例 2】 已知集合 A = 0 , 2, 3, B = x | x= ab , a , b A,贝燦合 B 的子集的个数是(C)A 4B 8C 16D 15【解析】 如果 a, b 中至少有 1 个为零，则 ab= 0;如果 a = b= 2,贝 U ab= 4;如果 a= b= 3,贝 Ua =2、a =34、ab= 9;如果或，则 ab= 6,于是 B= 0 , 4, 6, 9 , B 有 2 = 16 个子集.lb =3lb =2【评析】 求集合 M 的子集的个数问题：(1)先求出集合 M，再直接利用下面结论求解一般地，集合 A =ai

6、, a2, , , an共有 2n个子集，有 2n 1 个真子集(2)-：是任何集合的子集，是任何非空集合的 真子集部分试题约占总分的30%.第 1 课时集合与简易逻辑函数、方程、不等式这变式题已知集合G=Jx | cosx |=1x (5n,I,则集合G的真子集的个数是()212 12A.7B.8C.15D.16【例 3】设有两个命题，p：不等式| x | + | x+1 | a 的解集为 R; q :函数 f (x)= log(73a)x 在(0, +R)是增函数，若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，那么实数 a 的取值范围是 (A )A. :1,2)B.(2, - :C. 2

7、, - :D. (1,233【解析】 记 A = a | 不等式 | x | + | x+1 | a 的解集为 R, B = a | f (x) = log(7-3a)x 在(0, +) 上是增函数，由于函数 y= | x | + | x+1 |的最小值是 1, A= a | av1.由于 f (x)= log(73a)x 在 (0, +s)上递增， 73a 1,即 卩 av2, B= a | av2.又 p 或 q 为真，p 且 q 为假， p 与 q 中有且仅有一个正确，即 a 的取值范围是eRAQB:UeRBAA,而eRAnB= : 1, 2)(eRB)一 故选A.【评析】 利用集合的方

8、法来判断命题的真假，解决简易逻辑问题，体现了集合的应用，能把合种关系清晰地描绘出来.【例4】设 f(x)是R上的减函数，且 f(0)=3,f(3)=l,设 P= x| |f(x + t)1| v2, Q = x|f(x)v1，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数 t 的取值范围是(C)A.t0C.tw3D.t3【解析】 P= x | | f (x+t) 1 |v2 = x | 1vf (x+t)v3 = x | f (3)vf (x+t)vf (0) =x|0vx+tv3=x| tvxv3t,Q=x|x3.又由已知得：P Q , t 3, tw 3，故选 C.【评析】 本题是函数不等式

9、与充要条件的综合问题，解题关键一是利用单调性转化为一般的代数不等式；二是利用集合间的包含关系来判断充要条件。变式题 设集合 U = (x, y)| x R, y R , A = (x, y)| 2x y+m0 , B= (x, y)| x+y-nw0，那么点 P ( 2, 3)是卩 An(CuB)的充要条件是()A.m1,nv5B.mv1,nv5C.m1,n5D.mv1,n5【例 5】 对于函数 f (x),若 f (x)= x,则称 x 为 f (x)的不动点”若 f = x,则称为 f (x)的稳定 点”；函数 f ( x)的 不动点”和 稳定点”的集合分别记为 A 和 B，即 A = x

10、 | f (x)= x , B= x | f :f (x) =x .(1) 求证：A 5 B;(2) 若 f (x)= ax2 1 (a R, x R),且 A = B也，求实数 a 的取值范围.【分析】 对于这类用集合语言叙述的数学问题，关键是准确转译成数学式子或文学语言，理解集合的意义，掌握其实质【证明】(1):若A=0，贝 U A 匸 B 显然成立；若 A 乜，设 t A，则 f (t)= t, f : f (t) = f (t)=t，即 t B，从而 A B.【解】(2) : A 中元素是方程 f (x)= x,即 ax2 1 = x 的实根.由 A丰.，知 a= 0 或人a* I 卩

11、 a-.=1+电 0.4B 中元素是方程 a (ax2 1) 2 1 = x,即 a3x4 2a2x2 x+a 1 = 0 的实根由 A 二 B 知上方程左边含有一个因式ax2 x 1,即方程可化为(ax2 x 1) (a2x2+ax a+1) = 0因此，要 A = B,即要方程 a2x2+ax a+1 = 0没有实根或实根是方程ax2 x 1 = 0的实根.若没有实根，则 A1= a2 4a2(1 a) 0,则此解得 a 1)的反函数，则使 f-1(x) 1成立的 x 的取值氾围为(A )a2-1、A(2a，+m)2 2a -1a -1、B(-m，2a)C(2a，a)Da,+8)【分析思路

12、一:先求 f-1(x),再解不等式f-1(x) 1 .思路二：利用反函数的定义，转化为求f (x) (x 1)的值域.解法一：先求得 f-1( x)= loga( X+7/+1 ) ( a 1),由 f-1( x) 1 得 loga( X+寸 X?+1 ) logaa,1解法二：/ a 1, . f (x)=1(ax-a-x)为增函数，根据函数与反函数的定义域、值域之间的关系，【评析本题考查反函数的概念以及解不等式的能力解法二巧妙地利用函数与反函数定义域、值域的关系，以及函数的单调性，起到了事半功倍的效果变式题 设 f-1(x)是函数 f (x) = ,x 的反函数，则以下不等式中恒成立的是(

13、)A.f1(x)w2x-1B.f1(x)w2x+1C. f-1(x)2x- 1D. f-1(x) 2x+122a4由 f-1(x) 1，即在 x 1 的条件下求 f (X)的值域 f (x) f (1 )=1(a- a-1)=吁.x+ .x+i a，解得 xa2-12a -若 xv1，则 h (x)W0其中等号当 x= 0 时成立.求问题(1)中函数 h (x)的值域;【例3】【解13法一：当 xl 时，y= 1,根据图象排除 C,取 x=1时，y = 2 1,排除 A , B，故选 D.法二:【评1由已知得 y= 1+x_10an(n N*),则该函数的图象是由关系式【4】函数(1)2018

14、 年上海对定义域分别是Df, Dg的函数 y = f ( x),y= g (x) 规定:f(x) g(x)h (x)=f (x)卫(x)当x DfaxDg当x三Df且x三Dg当x Df且x：= Dg若函数 f (x)x-1，g(x)= x2，写出函数 h (x)的解析式;(3)(x)= f (x+a),其中是常数，且a0 ,兀,请设计一个定义域为R 的函数y= f (x)及一个a的值,使得 h (x)= cos4x，并予以证明.【分先仔细审题，理解题意.其中(1) (2)问写出 h (x)的解析式是关键，第(3)问联想相关三角函数求解x2【解(1)由已知得h(xx-1 x更(,1)U(1,咼)

15、J, X = 1(2)当 x 工 1 时，h2/ X.1(x) = x 1+2x-1x-1若 x 1，则 h (x)其中等号当 x= 2 时成立.2018 年湖北函数图 1 - 2 2函数 h (x)的值域是(一汽0UU:4, +R)解法一：令 f(x)=sin 2x+ cos2x,JIa4则 g (x)=f(x+a)=si n2(x+.)jc+ cos2(x+ )= cos2xsin2x44于是h(x) =f(x) f (x - a) =(sin 2x cos2x)(cos2x _sin 2x) =cos4x解此题的关键是要准确得出函数的解析式当 x 变化时，f (x), f (x)的变化情

16、况如下表:111 .x0(0, 2)2(2,1)1f (x)0+f (x)1当 x :0, 1时，g(x)v3 (1 a2) 1,函数 g(x)x33a2x2a,f(X1)成立，求 a 的取值范围.(2 )设x，若对于任意 xi :0, 1,总存在 xo :0, 1,使得 g (xo)【解f (x)(1)对函数 f ( x)求导，得2-4x +16x-7(2x-1)(2x-7)17令 f (x) 0，解得 x -或 x 2 (舍去)即一羽2-4.-2a - -35解式得 al 或 a1故 a 的取值范围为 1 它兮【评析】本题主要考查函数的性质、导数、不等式等基础知识，考查分析推理和知识的综合

17、应用、转化的能力运用导数求值域的一般步骤是：求导，令导数等于0，求 y= 0 的根，求出最值点，写出范围(值域).方法技巧提炼1 讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响2 运用函数的性质解题时，注意数形结合，扬长避短.3 对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，全面考虑如对二次项含参数的二次函数问题，应分 a = 0 和 a 工 0 两种情况讨论，指、对数函数的底数含有字母参数a 时，需按 a 1 和 0vav1 分两种情况讨论.4 解答函数性质有关的综合问题时，注意等价转化思想的运用第 3

18、课时函数图象与性质的综合应用(二)主干知识整合1 了解函数周期性的定义，熟记如下几个重要结论一般地，对于函数 f ( X),如果对于定义域中的任意一个 X 的值若 f (x+T)= f (x) ( TMO,贝yf (x)是周期函数，T 是它的一个周期；若 f (x+a) = f (x+b) (a 和),则 f (x)是周期函数，丨 b a 丨是它的一个周期；若 f (x+a)= f (x) (aO,则 f (x)是周期函数，2a 是它的一个周期；1若 f (x+a)=( aQ且 f (x)工0,则 f (x)是周期函数，2a 是它的一个周期f(x)若 f (x+a) =1+f(x)(aK 且

19、f (x)工 1),则 f (x)是周期函数，4a 是它的一个周期1-f(x)2掌握有关中心对称、轴对称的几个重要结论一般地，对于函数 f(x),如果对于定义域内的任意一个 x 的值若 f (x+a) = 1:(b x),贝 U 函数 f (x)的图象关于直线 x= 罗对称，特别地，若 f ( a+x)= f (a x),函数 f (x)的图象关于直线 x= a 对称;=f (a x),贝 U 函数 f (x)的图象关于点(a, 0)中心对称3周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地，若 f(x)的图象有两条对称轴 x= a 和 x= b(a 和),则 f (x)必为周期函数，且 2 | b

20、 a|是它的一个周期；若 f (x)的图象有两个对称中心(a, 0)和若有 f (a+x)= f ( b x),贝 U 函数 f (x)的图象关于点(a+b0)中心对称，特别地，若f (a+x)(b, 0)(ab),则 f (x)必为周期函数，且2 | b a |为它的一个周期；若 f(x)的图象有一对称轴x=a 和一个对称中心(b, 0) (a 潮)，则 f (x)必为周期函数，且 4 丨 b a 丨是它的一个周期真题新题探究【例 1】 已知函数 f( x)的定义域为 R，则下列命题中：1若 f (x 2)是偶函数，则函数 f (x)的图象关于直线 x = 2 对称；2若 f (x+2)=

21、f ( x 2),贝 U 函数 f (x)的图象关于原点对称；3函数 y= f (2+x)与函数 y= f ( 2 x)的图象关于直线 x= 2 对称；4函数 y= f (x 2)与函数 y= f (2 x)的图象关于直线 x= 2 对称.其中正确的命题序号是.【解析】 是错误的，由于 f (x 2)是偶函数得 f ( x 2)= f (x 2),所以 f (x)的图象关于直线 x= 2 对称；2是错误的，由 f (x+2) = f (x 2 )得 f (x+4) = f (x),进而得 f (x+8) = f (x),所以 f ( x) 是周期为 8 的周期函数；3是错误的，在第一个函数中，

22、用一x 代 x, y 不变，即可得第二个函数，所以这两个函数图象关于y轴对称；4是正确的，令 x 2= t,贝 U 2 x= t,函数 y = f (t) 与 y = f ( t)的图象关于直线 t = 0 对称, 即函数 y= f ( x 2)与 y = f (2 x)的图象关于直线 x= 2 对称.【评析】(1)函数的对称性与周期性的有关结论，容易混淆，注意区分(2)同一个函数图象本身的对称性与两个函数图象的对称性，既有联系，又有区别，两者应区分清0, f (1)= 0, f (4)= 0, f ( 3)= 0, f (5)= 0, 在区间(0, 6)内的解有 1, 2, 3, 4, 5故

23、选 D.变式题 若函数 y= f (x) ( x R)满足 f (x+2) = f ( x),且 x ( 1, 1)时，f (x)=| x |,则函 数 y= f (x)的图象与函数 y= log4Ix |的图象的交点的个数为()A . 3B . 4C . 6D . 8【例 3】已知函数 f (x)的定义域为x | x R 且XM1 , f (x+1 )为奇函数，当 xv1 时，f (x)=2x2 x+1，则当 x 1 时，f (x)的递减区间是(C)A. :5，+m)B. (1,5:C. : f,+m)D. (1,7:4444【解析】 由 f(x+1)为奇函数得 f ( x+1 )= f (

24、x+1), f (x)的图象关于点(1, 0)中心对称,又由已知可画出 f ( X)在(一8,1) 上的图象，再根据中心对称画出f (乂)在(1 , +8)上的图象，由图【例2】2018 年福建 f (x)是定义在R 上的以 3 为(2)= 0,则方程 f (x)=0 在区间(0, 6)内解的个数的最小值是(D)A . 2【解/ f (x)为奇函数, f (0)= 0，又函数 f (x)以 3 为周期，且f (2)= 0, f ( 2)=象易知，f (x)在7, +8)上单调递减，故应选 C.4延伸拓展：若函数 f (x+a) ( a0)是奇函数，则函数 f (x)的图象关于点(a, 0)中心

25、对称；若函 数 f (x+a) (a0)是偶函数，则函数 f (x)的图象关于直线 x= a 对称.变式题 已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于点(一 3, 0)的对称，且满足 f (x)= f (x+?), f (-1 )= 1, f ( 0)=- 2,则 f (1) +f (2) +f (3) +, +f (2018)的值为()A 2B . 2C . 0D . 1【例 4】 2018 年广东对函数 f (x)，当 x ( ,8)时，f (2 x) = f (2+x), f( 7 x)= f ( 7+x),在闭区间0,7上，只有 f( 1 )= f ( 3)= 0.(1)试判断函数

26、 y= f (x)的奇偶性；(2 )试求方程 f (x)= 0 在闭区间2018, 2018上的根的个数，并证明你的结论 .【分析】 由已知 f (2+x)= f (2 x), f (7 x) = f ( 7+x)知f(x)的图象有两条对称轴 x= 2 和 x=7,从而知 f (x)是周期为 10 的周期函数，又在区间 0, 7上，只有 f (1 )= f ( 3)= 0，画图易知，它是非奇非偶函数，且在一个周期0, 10上只有 2 个根，故易求得方程 f (x)= 0 在的根的个数.【解】(1)由已知得 f (0)工 0, f (x)不是奇函数，又由 f (2 x)= f (2+x),得函数

27、 y= f (x)的对称轴为 x= 2, f ( 1)= f (5)故函数 y= f (x)是非奇非偶函数;又 f (3)= f (1)= 0, f (11)= f (13)= f ( 7)= f ( 9)= 0 ,故 f (x)在0 , 10和10 , 0上均有两个解，从而可知函数 y= f (x)在0 , 2018上有 418个解，在上 2018 , 0 有 400 个解，所以函数 y= f (x)在2018 , 2018 上有 818 个解.【评析】 本题主要考查函数的对称性、周期性、奇偶性、方程的根等基础知识，以及函数与方程，化归与转化等数学思想方法和逻辑推理能力，运算能力等其中(2)

28、问的关键发现 f (x)是周期为 10 的周期函数X1*【例 5】f(x)是定义在:0,1上的增函数，满足 f(x)= 2fq),且(1) = 1 ,在每个区间(2,右(i = 1 , 2 ,)上 y= f (x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分.11 1(1 )求 f (0)及 f (2), f (4)的值，并归纳出 f (2)(i = 1, 2 ,)的表达式；12，iiiiii同理：f（4）=2f （）=4，归纳得 f（刃=彳（i = 1, 2,）.（2 ）解决此问题的关键是：(1), f (x)不是偶函数.f (2-x) = f (2+x) _f ( 7-x) = f ( 7+x

29、) e从而知 y= f (x)的周期是 10.(2)由cf (x) = f (4-x) f(x) = f (14-x)= f (4 x)= f (14 x)f (x) = f (x+10),1写出 f（x）的表达式：当2 时，f （x）=（x 2i-i）;2利用梯形面积公式求 ai并化简，M/1 1 1 1当 2iVx2时，f（x）=尹+k （x尹），ai=2 2T7T+2T7T+k （21尹）（尹21）=（ 1 4）产（i=1，2,）,1k1所以an是首项为 2 （ 1 4），公比为 4 的等比数列.1 k2(1-4)2k所以 S ( k) =Iim(a1- a2 an)= = 3 (1 4

30、)，J341-4S （k）的定义域为OVk1当k= 1 时取得最小值 2.【评析】 本题主要考查函数、数列等基础知识，以及分析问题、解决问题的能力和函数思想的运用方法技巧提炼1 熟记函数的周期性和对称性的有关结论对处理此类问题的十分有益2对称性与周期性结论要分清，即内同表示周期性，内反表示对称性”，中心对称与轴对称的结论不要混淆， 内反外同轴对称，内外都反中心对称 ”3 .若函数的图象同时具备两种对称性，两条对称轴或两个对称中心，或一条对称轴，一个对称中心， 则函数一定是周期函数，反之亦然第 4 课时不等式的性质及证明主干知识整合1 不等式的性质主要是指三条基本性质（对称性、传递性、同加（乘）

31、性）和七条运算性质（加、减、乘、除、乘方、开方及倒数法则），它是解（证）不等式的基础和依据，常与指（对）数函数的性质一起考查.2 证明不等式的方法灵活多样，常用的有比较法、综合法、分析法、反证法、数学归纳法、换元法及放缩法等，它常与函数、数列、三角、解析几何等知识综合在一起，重点考查逻辑推理能力真题新题探究1 12018年湖北若 a 10，则下列不等式:一一ba ”a+b| b|;a 2 中，正确的不等式有 a b所以，当 n= k+1 时，不等式也成立. 根据和，可知不等式对任意 n N*都成立.(2)【证明】由(1)知，bn/3：1”.所以2nSn= b 什 b2+, +bn( .3 1)

32、 +22n【例1】(B)【解由! b0得 bva0，则正确，错误，错误,正确，故选 B.变式题给出三个条件：ac2be2;ab;c ea2 b2.其中能分别成为ab 的充分条件的个数为【例2】(理)2018 年 辽宁已知函数f (x)x+3X+1 (x 1).设数列an满足 a1= 1, an+1= f (an),数列 bn满足bn=lan .3I(1 )用数学归纳法证明,Sn= b1+b2+, bn步;+ bn(n N*).(2)证明 Sn乎.(文)已知函数 f (X)讐，x(0,x+1+s),数列Xn满足 Xn+1=f(Xn),且 Xj=1.(1)设 an=xn2 |,证明：an+11,然

33、后再利用它来放缩得出所需结论(1)【证明】当时,2*f (X)=1+X+1 1.因为 a1= 1，所以 anl(n N ) 下面用数学归纳法证明不等式.-1)nbnW尹.当 n= 1 时，b1= .3 1,即尹,那么不等式成立.假设当 n = k 时，不等式成立，(V3-1)iak-V3iy3-1 V3-1)k+11 + ak 2bk2kbk+1=|ak+1V3| =1 _(虽)n(31)二v(31) 13-1_33.1一丁r大值为 0.故对任意n N, 5v 2, 3.【评本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力(文)【证明】(1)an+1= 1X

34、n+1J2 1=1f(xn),2 1_ | Xn+2j2| _ | Xn+2-/2xn-/2 |Xn+1Xn+1|Xn(1-；2(1- .2)|Xn_|Xn+ 1|_(21)討1.xn0 ,an+1 (；2 1 )| Xn计211xn/2 1_an.故 an+1an.(2)由(1) an+1v( 2 1) | Xn “j2 | C2 1) | Xn-1 2 | , ( 2 1)n| X1 .：2 | _ (冷2 1)n+1.Xn二 Sn=a 什 a2+, +anIX1.21+(21)2+, +(,21)n= I12I+ C 21)2+, +(21)_ (池一1)2_计=、一1 G2 -1)【例

35、 3】(理)2018 年 吉林已知函数 f (x)= In (1 + x) x, g(x)= xlnx.(1)求函数 f (x)的最大值;(2)设 0vavb,证明 Ovg (a) +g ( b) 2g (詈)0,函数 f (x)_, xx(0,2+8).设 0vxv，记曲线 y= f (x)在点 M (X1,af( X1)处的切(2)设 I 与 x 轴的交点为(X2, 0)，证明：Ov1 1 1X2亏若 X1 1，则 X1 X2 0,当 x 0 时，f( x)v0又 f (0)= 0故当且仅当 x= 0 时，f ( x)取得最大值，最(2 )证法一:g(a)+g(b)2g(ar)=aIna+

36、bInb(a+b)lnr=aln+bln2ba+b由(结论知In(1+x)x1, 且 xf 由题设0a b,得詈0，-1 辟 旦 a+b2b 2b-22b b-a a-b “ 所以ain贏+b|门贏-二=.2a a+b 又 a+T 药，2a 2b a+b 2b2b ,、aina+b+bina+bain莎+bin赢=(ba)ln嬴(b-a)in2a+b综上：0vg (a) +g (b) - 2g ) a 时，F (x) 0,因此 F (乂)在(a, +)上为增函数.从而，当 x= a 时，F (x)有极小值 F (a) 因为 F (a) =0, ba,所以 F (b) 0,即 0 0, G (

37、x)a,所以 G (b) 0,即 g (a) +g (b) 2g (a)( b a) in2.【评析】 本题将函数、不等式、导数等知识融于一题，切入点虽易，但却不易得证，主要考查学生的综合推理论证能力，是一道纯代数推理题.1(文)【解】(1) / f (x)= 土切线i的方程为 y-詈一 x?(x-xi)(2)在切线方程中，令y 0， 贝 U x2 x1(1 ax1) +x1 x1(2 ax1).(0 x1-)a2 0 x? 0.又 x? a (X )a1 + _a(X1(20,；),-当1x?(当且仅当 Xi=1二丄时取等号)， 0 x21aaa1 x1 , / ax1 Xj,且由x21,a

38、 x1【评析】本 题 考 查 的 重 点 是 导 数 的 概 念 和 计 算 ， 切 线 的 概 念 和 方 程 以 及 不 等 式 的 基 本 性 质 和 证 明 ,将新增内容与传统内容有机地结合在一起，体现了新课改的方向证法二： g (x) xinx, g (x) Inx+1.设 F (x) g ( a) +g (x) 2g (2).a+x=inx In-.当 0 x a 时,F (x) X3时，含峰区间的长度为X1.*【例 4】2018 年 北京设 f (x)是定义在0, 1上的函数，若存在 x * ( 0, 1),使得 f (x)在0, x*:上单调递增，在x * , 1 上单调递减，

39、则称 f (x)为0, 1 上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的 区间为含峰区间对任意的0, 1上的单峰函数 f (x),下面研究缩短其含峰区间长度的方法(1 )证明：对任意的X1,X2( 0 , 1) ,X1VX2，若 f( X1)Af(X2),贝卩(0 ,X2)为含峰区间；若 f( Xj)詣(X2),贝卩(X1, 1 )为含峰区间；(2) 对给定的 r (0VrV0.5),证明：存在 X1, X2( 0 , 1),满足 X2-X12r ,使得由(1 )所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r;(3) 选取 x1,X2(0 , 1), x1Vx2,由(1)可确定含峰区间为(0 , x2)或(x

40、1, 1),在所得的含峰区间内选取 X3,由 X3与 X1或 X3与 X2类似地可确定一个新的含峰区间，在第一次确定的含峰区间为(0 , X2)的情况下，试确定 X1, X2, X3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.18 ,且使得新的含峰区间的长度缩短到 0.34.(区间长度等于区间的右端点与左端点之差)【解】(1)证明：设 X*为 f ( X)的峰点，则由单峰函数定义可知,f (X)在0, x*上单调递增,在x ,1 上单调递减.当 f( X1)( X2)时，假设X*( 0 ,X2),则 X1VX2W*,从而 f( x*)f( X2) f( X1),这与 f(x1) f(x2)矛盾，所以

41、x (0 ,x2),即(0 ,x2)是含峰区间.当 f (X1)wf (X2)时，假设X*( x1, 1),则 X*Wx1VX2,从而 f(X*)f(x1) f (X2),这与 f (X1)wf (X2)矛盾，所以 X (X1, 1),即(X1, 1)是含峰区间.(2)证明：由(1)的结论可知:当 f ( X1)f ( X2)时，含峰区间的长度为11= X2；当 f ( X1)Wf ( X2)时，含峰区间的长度为12= 1 X1.对于上述两种情况，由题意得X22.所以 X2 x1= 2r.将代入得X1 0.5+.由和解得 X1= 0.5-r , X2= 0.5+r.所以这时含峰区间的长度11=

42、 12= 0.5+r ,即存在 X1, X2使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5+r.(3)解：对先选择的x1, x2,X1Vx2,由(2)可知 x 计 x2= 1 ,在第一次确定的含峰区间为(0 , X2)的情况下，X3的取值应满足 X3+X1= X2,r“ X2=1-X1X3=1-2X1由与可得当 X1 X3时，含峰区间的长度为X1.由条件 Xi X3 018,得 Xi（ 1 2xi） 018,从而 Xi 0.34.因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取 xi= 0.34, X2= 0.66, X3= 0.32.【评析】本题是一道开放性试题，综合考查理解新知识并运用数学知识去解

43、决未知问题的能力，同时考查转化与化归，分类整合与方程等数学思想的灵活运用方法技巧提炼1 对不等式的每一条性质，要弄清条件和结论，并分清条件与结论之间的关系，即充分条件或必要条件或充要条件.不等式性质用于证明不等式时往往是推出特性，而用于解不等式时，往往需同解变形.此外还要注意条件加强或放宽以后，条件与结论之间的变化2 不等式的证明没有固定的模式与套路，方法灵活多变，技巧性和综合性很强，经常在证一个不等式时，涉及到两个或多个基本方法的综合，有时还需要进行放缩变换，有时需构造函数利用函数单调性进 行证明；有时需利用反证法、数学归纳法等.第 5 课时不等式的解法及应用主干知识整合1 解不等式是研究函

44、数与方程的重要工具，其基本思想是等价转化，即利用不等式的性质及有关函数的性质把问题转化为一元一次不等式，一元二次不等式求解，因而一元一次不等式，一元二次不等式的 解法是基础，解含参数的不等式时，一般需分类讨论，它是这一部分的难点.高考中解不等式的题常以小题的形式出现，解答题多出现在文科试卷中.2 不等式在中学中有最广泛的应用，其中主要表现在：（i）求函数的定义域、值域； （2）求函数的最值；（3）讨论函数单调性；（4）研究方程的实根分布；（5）求参数取值范围；（6）解决与不等式有关的 应用性问题等.其中含参数的讨论和不等式在实际问题中的应用是高考命题的热点，也是学习中的难点.真题新题探究【解析

45、】由丨 X 2 |v2 得 0vxv4，由 X2 i 2 得 x 3 或 xV 3, 取交集得 J3VXV4，故选C.【评析】解不等式实质是一个等价转化的过程，因此要注意每一步变形的等价性，这里要注意真数X2 i 大于零.【例 U 20i8 年重庆不等式组A ( 0, .3)B ( 3, 2)【。漲丹的解集是C. （ .3, 4）D （2, 4）A. ( s, 2U0,10:B. ( s, 2)U0,1:C. ( s, 2) U1,10D. (2,0)U1,10c1【例 2】 2018 年天津若函数 f (x)= loga(2x2+x)(a0, ap 在区间(0, ?)恒有 f (x) 0,则

46、 f (x)的单调递增区间是(D )111A. (一s,；) B. (；, +s)C.(0,+s)D. (s,：)4421【解析】 设 u= 2x2+x,当 x (0, ?)时，u (0, 1),而此时 f (x) 0 恒成立， 0vav1,u=2x2+x=2(X+1)2-寺则递减区间为(-s， ,1 1又 u = 2x2+x 0, x 0 或 xv1,f (x)的单调递增区间为(一s,1),故选 D.【评析】 本题考查复合函数的单调性，对数函数的性质及解不等式等知识，这里要特别注意复合函数的定义域.变式题 2018 年 天津若函数 f (x)= loga(x3 ax) (a0, a1在区间(

47、y, 0)内单调递增, 则 a 的取值范围是()【例 3】2018 年上海 某地 2018 年第一季度应聘和招聘人数排行榜前行业名称计算机机械营销物流贸易变式题设函数f(X)=f2(x+1)2,xv14一Jx一1, x臭1则使得 f (x)的自变量 x 的取值范围是B. C3,1)4 1,化工就业情况=65 28070 436同理：建筑业就业情况v嗨v176 518物流行业就业情况=74 57070 436 1,故选 B.5 个行业的情况列表如下:1)应聘人数215 830200 250154 67674 57065 280行业名称计算机营销机械建筑化工应聘人数124 620118 93589

48、 11576 51870 436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是【评析】 读懂题意是关键，这里比值越小，就业情况越好(B)变式题 制作一个面积为 1 m2，形状为直角三角形的铁框架，有下列四种长度的铁管供选择，较经济 (够用，又耗材最少)的是()A . 4.6 mB . 4.8 mC. 5 mD . 5.2 m【例 4】2018 年浙江已知函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x.(1) 求函数 g (x)的解析式；(2)解不等式 g (x) f (x)-| x- 1 | ;(3)若 h (x)= g

49、( x)并(x) +1 在1, 1上是增函数，求实数入的取值范围.【分析】 利用对称性先求出 g ( X)的解析式.【解】(1)设函数 y= f(x)的图象上任一点Q(Xo, yo)关于原点的对称点为P (x, y),则xo+x=0 f2RnX0=-x即*yo+yy0=-y.2 =0 y = x 2x,即 y= x +2x, 故 g ( x)= x +2x.(2)由 g (x )f(x) | x 1 | 可得，2x2 | x 1 |w0.当 x 时，2x2X+1W0,此时不等式无解.1 1当 xV1 时，2x2+x 1WQ 1wxw；.因此，原不等式的解集为1 ,-.(3) h ( x)=(

50、1 +入)x2+2 (1 入)x +1.1当入=1 时，h (x)= 4x+1 在1, 1上是增函数，/_= 1 符合条件.1-入2当入-1 时，对称轴方程为.1+入1-入当入V5时， 1，解得 入V1,5 玄当心1 时，1 二1解得1V入 0W综上可知，入 ( , 0.【评析】本题主要考查函数图象的对称，二次函数的性质及不等式的应用等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力.12*【例 5】2018 年湖南(理)已知函数 f( x)= lnx, g (x)= ax +bx, a丰0.(1 )若 b = 2，且函数 h (x)= f (x) g (x)存在单调递减区间，求 a 的取值

51、范围.(2)设函数 f (x)的图象 C1与函数 g (x)的图象 C2交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点作 x 轴的垂线 分别交于 C2于点 M、N.证明 C1在点 M 处的切线与 C2在点 N 的切线不平行.点 Q (x0, y)在函数 y= f (x)的图象上,丿2 c *1ax +2x-1贝 U h (x)= 一一 ax 2 =-XX(文)2018 年湖南设点 P (t, 0)是函数 f (x)= x3+ax 与 g (x)= bx2+c 的图象的一个公共点， 两函数的图象在点 P处有相同的切线.(1 )用 t 表示 a、b、c;(2)若函数 y= f (x) g (x)在(1, 3

52、)上单调递减，求 t 的取值范围因为函数 h (x)存在单调递减区间，所以h (x)又因为 x0,则 ax +2x 1 0 有 x 0 的解.1当 a0 时，y= ax2+2x 1 为开口向上的抛物线，2当 av0 时，y= ax2+2x 1 为开口向下的抛物线, 且方程 ax2+2x1 0 至少有一正根，此时，V0 有解.2ax +2x 1 0 总有 x0 的解；, 2而ax +2x 1 0 有 x 0 的解，则= 4+4a 0,综上所述，a 的取值范围为(-1,0) u1Vav0.(0,+8).(理)【解】(1) b = 2 时，h (x)= Inx ax2 2x,(2 )证法一:令 t

53、=型，得(t+1) Int= 2 (t 1), t 1Xi因为111 t 1(Int+：)=-=字，所以 t 1 时,设点 P、Q 的坐标分别是(xi, yi)，(X2， y2),且 0vXivX2。则点 M、N 的横坐标为X1+ X2x=-,Ci在点 M 处的切线斜率为kiX2X1+X2C2在点 N 处的切线斜率为k2=ax ba+b .假设 Ci在点 M 处的切线与C2在点 N 处的切线平行，则ki= k2,即 叩 + b.则迤妝=a( x2 X2) +bX2+X12(X2 Xi) = ( |x2+ bX2)a2(2xi+bxi) = y2 yi= InX2 Inxi. 所以2(X2-1)

54、InX2XXi1.2XiInt =迪,t 1. i+t令 r (t)= Int 2 , t 1.则r(t)=1侖二辟.因为 t 1 时，r (t) 0,所以 r (X)在1, +8)上单调递增，故(x)r(1)= 0则 Int 聘.这与矛盾，假设不成立.故 Ci在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的切线不平行.证法二：同证法一得(X2+XI)(InX2- InXi)= 2 (X2-xi) 因为Xi 0 ,所以(嘗+1 )InX2= 2 ( 1).XiXi(t) = ( t+i) Int 2 (t i), t i,i则 r(t)= lnt+ i.故 Ci在点 M 处的切线与 C2在点 N 处的

55、切线不平行.【评析】 本题考查函数的性质、导数、不等式等知识以及函数思想、分类整合的思想、化归思想的运用、考查学生逻辑推理、分析问题和解决问题的能力 这里要注意运用导数研究函数的单调性及切线问题， 同时要根据情况，构造函数，并会用反证法证明(文)【解】(1)因为函数 f( x)、g(x)的图象都经过点(t,0),所以 f(t)= 0,即 t3+at=0,TtM0,所以 a= t2,又 g(t)=0,即 bt2+c=0,所以 c=ab.又因为 f (x)、g (x)在点(t, 0)处有相同的切线，所以f (t)= g (t),即 3t2+a = 2bt，将 a= t2代入上式得 b= t，因此

56、c= ab= t3, a = t2, b= t.(2)Ty= f (x) g (x)= x3 t2x tx2+t3,y= 3x2 2tx t2=( 3x+t) (x t).当 y=( 3x+t) (x t)v0 时，函数 y= f (x) g (x)单调递减，由 yv0,若 t0,则(一 1, 3)二(3, t)若3所以 t3或 33即 t 3.3故所求的 t 的取值范围是(汽9U3,+s)解法二：/ y= x3 t2x tx2+t3y = 3/ 2tx t2=( 3x+t) (x t)因为函数 y= f (x) g (x)在(一 1, 3)上单调递减”(一3+t)(1 t)兰0即八，解得 t

57、w9 或 t 3。故所求的 t 的取值范围为(一 卩一 9U:3, +R)(q+t)(3-1)【评析】 本题主要考查运用导数研究函数的性质和切线，不等式等知识，以及运用知识分析和解决问题的能力方法技巧提炼1 在解不等式时，需对不等式进行必要的变形，要注意不等式的同解性，即注意保持字母的允许值 范围不发生变化解含参数不等式时，注意对参数分类讨论，做到不重不漏2 应用不等式求最值时，注意三要，即一正、二定、三等号”应用不等式求字母或式子的取值范围，其处理方法主要有：一是利用函数思想转化为函数的值域等有关问题进行处理；二是利用方程、不等式的 思想方法，依据题设条件建立方程或不等式，然后利用方程或解不

58、等式求出参数或式子的取值范围；三是 利用数形结合的思想方法运用图象进行处理应用不等式求解实际问题时，需先构造出函数关系，利用相关知识处理tv0，则（一 1, 3）（ty 兰 0y x“0第 6 课时 函数、不等式、导数的综合应用(一)主干知识整合1 理解导数的概念及几何意义(1) 函数 y= f (x)在 x= x0处的导数:Ayf(xo+Ax)-f(xo)fJ =啊AX=啊A函数 y= f (乂)在(a, b)内的导函数：f (x)=lim函数 y= f (x)在 x= Xo处的导数 f (Xo)= f ( x)ix=x0(2) 函数 f (x)在点 xo处有导数，则函数 f (x)在该点处

59、必有切线，且导数值等于该切线的斜率, 但函数 f(x)在点xo处有切线，函数 f(x)在该点处不一定可导2 熟记八个求导公式和五条求导法则(加、减、乘、除、复合函数求导(理)3 导数的应用十分广泛，如求函数的单调区间、极值、最值，求曲线的切线以及解决某些实际问题 等利用导数作工具，考查函数、不等式的综合应用已成为高考的又一热点真题新题探究【例 1 下列命题中，正确的是1若函数 f (x)在点 x0处有极限，则函数 f (X)在 x0处连续;2若函数 f (x)在点 x0连续，则函数 f (X)在 x0处可导;3若函数 f (x)在点 xo处取得极值，则 f (xo)= 0;Ay=|imf(x+

60、Ax)-f(x)Ax、xoAx若函数在点 xo有 f (Xo)= 0,则 Xo一定是函数的极值点C. 2 个【解析】 是错误的，如f (x)=0 处连续，但不可导；是错误的,D.3 个xx 式 0Jx o在点 x= 0f (x)=| x | 在 xf (x)= x3在 x= 0 的导数为零，但 x= 0 不是函数的极值点.【评析】 函数 f ( X)在点 Xo有极限、连续、可导、有极值，四者之间关系要区分清楚函数 f ( X)在xo处连续是 f (x)在 Xo处有极限的充分非必要条件，只有可导函数在x0取得极值,才有f( xo)= 0，注意其前提条件.变式题设函数 f (x)在 x= 1 处连