正交向量组及正交矩阵

1、15.3.2 正交向量组及正交矩阵正交向量组及正交矩阵 Rn 中一个向量组中不含零向量，若其中任意两个中一个向量组中不含零向量，若其中任意两个向量都正交，则称该向量组为向量都正交，则称该向量组为正交向量组。正交向量组。 若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该若正交向量组中每个向量都是单位向量，则称该向量组为向量组为标准正交向量组。标准正交向量组。例如例如 设向量组设向量组12( , , ) ,( , ) ,( , ,) TTT31 1 111 01 12为一个正交向量组。把它的每个向量单位化，就得到为一个正交向量组。把它的每个向量单位化，就得到标准的正交向量组：标准的正交向量组：12(,)

2、 ,(, ) ,(,) TTT3111111120333226662证：证：innii ex ex ex eex1122(1), 为为Rn 的一个标准的一个标准正交基正交基,定理定理5.2 设设 neee12, ,为为V 中任意向量，设中任意向量，设nnx yx yx y1122(2), nxxx22212(3) nnxyxyxy2221122(4)()()() iiiixeye(1), 则则nnx ex ex e1 122, nny ey ey e1122, 3nnxxx2212(3), nnnnx ex ex ey ey ey e1 1221 122, nnnnx ey ex ey ex

3、ey e1 11 12222 ，nnx yx yx y1122 ,)2(性质：性质：正交系必是线性无关的向量组。正交系必是线性无关的向量组。证：证：设设 n21, 为正交系，则为正交系，则 ji , 0ji, ,2iji4令令nkkk12,，使使nnkkk11220 n21, 故故线性无关。线性无关。iiii k , k0 , in,01,2, innikkk1122,00 用用i 与两边作内积，则与两边作内积，则 定义定义 （正交矩阵）（正交矩阵）如果实方阵如果实方阵A 满足满足AAT = ATA = I，或或A-1 = AT, 则称则称A为为正交矩阵。正交矩阵。如如cossin,sinco

4、s 1000101/21/21001/21/2都是正交矩阵。都是正交矩阵。5 定理定理5.3 方阵方阵A 为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是 A的列的列 (行行) 向量组为标准的正交向量组。向量组为标准的正交向量组。 证证 必要性必要性 设设A为为n阶正交矩阵，阶正交矩阵，A的按列分块为的按列分块为 12nA则有则有 12nTTT12nTAAI即即 TTT11121nTTT21222nTTTn1n2nn1000100016比较两边的对应的元素，得比较两边的对应的元素，得, Tijij1 ij0 ij这表明这表明A的列向量组的列向量组 是标准的正交向量组。是标准的正交向量组。, 12n

5、充分性充分性 将以上证明过程倒过来即可。将以上证明过程倒过来即可。 定义定义 设设A为为n阶正交矩阵，则称阶正交矩阵，则称Rn 到到 Rn 的线性变换的线性变换nyAx xR, 为为Rn为上的一个为上的一个线性变换线性变换。定理定理5.4 Rn上的线性变换上的线性变换 y = Ax 有如下性质：有如下性质：保持内积不变，即保持内积不变，即保持长度不变，即保持长度不变，即保持夹角不变，即保持夹角不变，即212n122Ax Ax = x ,x, Axx x xRAx Axx x111211,cos(,)cos(,) 75.3.3 Gram-Schmidt正交化方法正交化方法证证 (1) TTTT2

6、212112Ax Ax = AxAxxA A x =x x = x ,x 121,() ()() (2) 在（在（1）中取）中取 x1=x2 即可。即可。22AxAxxxAxAxxxAxAxxx1212111212,cos(,)cos(,) (3) 线性无关向量组未必是正交向量组，而正交向量组线性无关向量组未必是正交向量组，而正交向量组又是十分重要，所以，现在的问题是能否从一组线性又是十分重要，所以，现在的问题是能否从一组线性无关的向量组无关的向量组 出发，来构造出一组标准出发，来构造出一组标准的正交向量组的正交向量组 ？ 12naaa,12neee,而且还要求而且还要求 和和 是等价的？是等

7、价的？ 12ne ee,12na aa, 定理定理5.5 设设 为线性无关的向量组，则必能为线性无关的向量组，则必能构造出一组与其等价的标准正交的向量组构造出一组与其等价的标准正交的向量组 。 12na aa,12ne ee,8。则则 , 1111222 , ,k 1112 令令*证：证：12211 k , 令令11212 ,k, 使使, ,k,01112 331122 令令 kk ,22211323 ,kk,12211313 ,kk, 使使, ,k11131 , ,k,011113 , ,k22232 , ,k,022223 , , 222231111333 即即O1 2 2 1 k9这样就

8、可使这样就可使 ji,ji,iji02即即 n, 21是一个正交基。是一个正交基。GramSchmidt 这这种种构构造造正正交交基基正正交交的的方方法法称称为为化化方方法法。以此类推，可得以此类推，可得iikiikkkk in 1111,1,2,1, 则则就是一个标准正交基。就是一个标准正交基。nnn e e , e121212, 再再令令 neee12,10 因为只能找到一个线性无关的特征向量，所以，因为只能找到一个线性无关的特征向量，所以，A不不能对角化。能对角化。 xIA kx120111000 将将代代入入，得得， 所所以以 对于一般的对于一般的n阶方阵不一定都能对角化阶方阵不一定都

9、能对角化. . 例如例如 1011A IA211(1)0,01 , 1211 IA1101 5.3.4 正交矩阵与实对称矩阵的对角化正交矩阵与实对称矩阵的对角化11然而，对于实的对称矩阵，有然而，对于实的对称矩阵，有 定理定理5.6 实对称矩阵必能对角化。（证明从略）实对称矩阵必能对角化。（证明从略） 我们知道实矩阵的特征值可能为实数也可能为复数，我们知道实矩阵的特征值可能为实数也可能为复数， 然而，对于对称矩阵，有下列重要性质然而，对于对称矩阵，有下列重要性质 ：定理定理5.7 实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的特征值都是实数。 证证 反证法反证法 若若 （复数）为复数）为的特征值，相

10、应的特征向量为的特征值，相应的特征向量为 xA Axx 则则两边取共轭两边取共轭 xxAxxAxAx 两边取转置两边取转置 TTTTxxxAAx )()(TTx x Axx x 用用 右右乘乘得得 12TTT xxx x x x()0即，即，Tnnxx x xx xxx1212(,) 而而nnnx xx xx xxx22112210 0 ， 即即， 所所以以 为为实实数数。注意注意 :由此定理可知实对称矩阵的特征值均为实数，因而由由此定理可知实对称矩阵的特征值均为实数，因而由 求出的非零解（特征向量）也必为实向量。求出的非零解（特征向量）也必为实向量。 IA x()0 对于实对称矩阵对于实对称

11、矩阵A ，一般希望用一般希望用 “正交矩阵正交矩阵” 使之对使之对角化。角化。13定义定义 正交矩阵是指这个矩阵按列分块所得的正交矩阵是指这个矩阵按列分块所得的n个个向量是标准正交系，即向量是标准正交系，即n个向量都是两两正交，而且每个向量都是两两正交，而且每个向量的范数都为单位个向量的范数都为单位1.这件事不难做到，根据上述定理：这件事不难做到，根据上述定理： (1)先求出先求出n个特征值；个特征值； (2)对于单重特征值，我们取出标准化（单位化）对于单重特征值，我们取出标准化（单位化）的特征向量的特征向量； (3)对于多重特征值，如对于多重特征值，如s重特征值，它的特征向量重特征值，它的特

12、征向量的全体是的全体是S维线性空间，维线性空间，s个个“基础解系基础解系”的向量是线性的向量是线性 无关的，因而可以按无关的，因而可以按Schmidt方法将其正交化和标准方法将其正交化和标准化，得到化，得到s个标准正交系。个标准正交系。14定理定理5.6 设设 为实对称矩阵为实对称矩阵A的不同的特征值的不同的特征值， 21, xx xx 121212, 分分别别为为的的特特征征向向量量，则则。21 Txx120 niii xxa b121,0 即即 xx , xx 1212 与与正正交交。Axx ,111 Axx222 证证 设设nnababx xab112212， ， 两边取转置两边取转置

13、TTxAx111, TT xxxx ,122112 即即T xx2112()0 或或TT x xAxxx212112 右右乘乘得得15把上述两个情况所得出的把上述两个情况所得出的n个标准正交向量组个标准正交向量组 nxxx12,按列排列即得相似变换的矩阵：按列排列即得相似变换的矩阵： nPxxx ,12, nPAPD121 成对角矩阵。成对角矩阵。 A220212020 , ,求正交矩阵求正交矩阵P , 使使P -1AP解解IA220212(2)(1)4402 2(1)(28)(1)(4)(2)0 123 1 , 4 , 2 。例例5.10 设设16A222254245 , ,求正交矩阵求正交

14、矩阵P ,使其对角化。使其对角化。 P AP1142 Px xx ,123221333122(,)333212333 从从 0)( xAI 中分别求出中分别求出 相应的单位化的特征向量相应的单位化的特征向量 i , 3231321 x, 3132322 x. 3232313 x例例5.11 设设17时时，当当 1 IA xxxx 123()220 IA122()244244 000000221xxkkx12123221001 xkkxk ,xk112213222 通通解解为为0)10()1(2 解解 542452222AI 542110222 123 1 , 10 。18适当取适当取 k k1

15、2,，使这两个特解正交化。，使这两个特解正交化。 k k 12,1 令令，kk , kk12121202211 令令kkkk121212,( 22) 00 kk120 k k 121 ,1 不不妨妨取取，, 114 2 则则这时这时 21 ，然后再标准化得，然后再标准化得 T T2e , e1114110223 23 23 219 IA x(10)0 令令变为变为 xxxx13231020 x x k ,x1231/2,11 3/23/23/1e 3取取单单位位向向量量3xk x kx k1212 令令000990542 0001102/101IA822(10)254245 5429901818010 当当 时时，20 Peee ,12341033 2112323 2112323 2 PAP11110 121232210,01xxkkx 另另解解为为221,00112 2222,1,01,0101211122111854455 21PAPD1111 , ,使使解解P实对称矩阵必能对角化，所以若能找出实对称矩阵必能对角化，所以若能找出则必可求出则必可求出A。 T 11 1 0 为为 1 所对应的特征向量，试求矩阵所对应的特征向量，试求矩阵 A? 设设3阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的特征值为的特征值为 , 1, 1