信号与系统 2 系统时域分析(1)

1、主讲：王小川主讲：王小川信息科学与技术学院信息科学与技术学院系统的时域分析n线性时不变系统的描述及特点 n连续时间LTI系统的响应 n连续时间系统的单位冲激响应 n卷积积分及其性质 n离散时间LTI系统的响应 n离散时间系统的单位脉冲响应 n卷积和及其性质 n单位冲激响应表示的系统特性线性时不变系统的描述及特点线性时不变系统的描述及特点连续时间系统用连续时间系统用N N阶常系数微分方程描述阶常系数微分方程描述( )(1)110()(1)110 ( )( )n( )( )( )( )( )( ) nnnmmmmytayta yta y tb ftbftb ftb f ta ai i 、 b bi

2、 i为常数。为常数。离散时间系统用离散时间系统用N N阶常系数差分方程描述阶常系数差分方程描述00nmijija y kib f kja ai i 、 b bi i为常数。为常数。线性时不变系统的特点线性时不变系统的特点LTI系统除具有线性特性线性特性和时不变特性时不变特性外，还具有:1）微分特性与差分特性：若 T f(t)=y(t)则dttydttfT)(d)(d若 Tfk= yk则 T fk -fk-1= yk - yk-1 2）积分特性与求和特性：若 T f(t)=y(t)则d)(d)(yfTtt若 Tfk= yk则nynfTknkn连续时间LTI系统的响应n经典时域分析方法经典时域分析

3、方法n卷积法 n零输入响应求解 n零状态响应求解系统响应求解方法系统响应求解方法1. 1. 经典时域分析方法经典时域分析方法: : 求解微分方程求解微分方程2.2.卷积法卷积法: :系统完全响应系统完全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应求解齐次微分方程得到零输入响应求解齐次微分方程得到零输入响应利用卷积积分可求出零状态响应利用卷积积分可求出零状态响应( )( )( )xfy tytyt( )( )* ( )xytf th t一、一、 经典时域分析方法经典时域分析方法微分方程的全解即系统的完全响应微分方程的全解即系统的完全响应, , 由齐次由齐次解解y yh h( (t t

4、) )和特解和特解y yp p( (t t) )组成组成( )( )( )hpy tytyt齐次解齐次解y yh h( (t t) )的形式由齐次方程的特征根确定的形式由齐次方程的特征根确定特解特解y yp p( (t t) )的形式由方程右边激励信号的形式确的形式由方程右边激励信号的形式确定定一一. .线性常系数微分方程线性常系数微分方程齐次方程齐次方程特征方程特征方程齐次解的形式齐次解的形式i iN Ns s t th hi ii i= =1 1y y ( (t t) ) = =K K e e, ,其中其中K Ki i是待定的常数是待定的常数，si 是特征根是特征根。( )( )00( )

5、( )nmijijija ytb ft( )0( )0niiia yt00niiia s齐次解齐次解y yh h( (t t) )的形式的形式(1) (1) 特征根是不等实根特征根是不等实根s s1 1, , s s2 2, , , , s sn n1212( )ns ts ts thny tK eK eK e(2) (2) 特征根是相等实根特征根是相等实根s s1 1= =s s2 2= = =s sn n 1 12( )s ts tns thny tK eK teK te(3) (3) 特征根是成对共轭复根特征根是成对共轭复根11121n-1( )(cos sin)(cossin)itth

6、iniy teKtKteKtKt,/2iiisjin常用激励信号对应的特解形式常用激励信号对应的特解形式 输输入入信信号号 特特解解 K A Kt A+Bt Ke-at(特特征征根根 s a) Ae-at Ke-at(特特征征根根 s= a) Ate-at Ksin 0t 或或 Kcos 0t Asin 0t+ Bcos 0t Ke-atsin 0t 或或 Ke-atcos 0t Ae-atsin 0t+ Be-atcos 0t 例例3-83-8 已知某二阶线性时不变连续系统的动态方程已知某二阶线性时不变连续系统的动态方程初始条件初始条件y(0)=1, y(0)=2, 输入信号输入信号f(t)

7、=e t u(t)，求系统求系统的完全响应的完全响应y(t)。y y ( (t t) )+ +6 6y y( (t t) )+ +8 8y y( (t t) ) = =( (t t) ), , t t 0 0f2 2s s + + 6 6s s+ + 8 8 = = 0 01212s = -2s = -2，s = -4，s = -4-2t-4thy (t)= Ae+ Be特征根为特征根为齐次解齐次解y yh h( (t t) )解解 (1)(1)求齐次方程求齐次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齐次解的齐次解yh(t)特征方程为特征方程为2) 2) 求非齐次方程求非齐次方程y(t)

8、+6y(t)+8y(t) = f(t)的特解的特解y yp p( (t t) )解得解得 A A=5/2=5/2，B B= -11/6= -11/6由输入由输入f (t)的形式，设方程的特解为的形式，设方程的特解为y yp p( (t t)=)=CeCe-t-t将特解带入原微分方程即可求得常数将特解带入原微分方程即可求得常数 C C=1/3=1/3。3) 3) 求方程的全解求方程的全解- -2 2t t- -4 4t t- -t th hp p1 1y y( (t t) ) = = y y ( (t t) )+ +y y ( (t t) ) = = A Ae e+ +B Be e+ +e e3

9、 3- -2 2t t- -4 4t t- -t t5 51 11 11 1y y( (t t) ) = =e e- -e e+ +e e , ,t t 0 02 26 63 31 1y y( (0 0) ) = = A A + +B B+ += =1 13 31 1y y( (0 0) )= = - -2 2A A - -4 4B B- -= = 2 23 3讨论讨论1) 1) 若初始条件不变，输入信号若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则，则系统的完全响应系统的完全响应y(t) = =？2) 2) 若输入信号不变，初始条件若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y

10、(0)=1, 则则系统的完全响应系统的完全响应y(t)= =？经典法不足之处经典法不足之处n若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。 n若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。 n若初始条件发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。 n这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。应的物理概念。二二 卷积法卷积法系统完全响应系统完全响应= =零输入响应零输入响应+ +零状态响应零状态响应1. 系统的零输入响应系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统

11、的是输入信号为零，仅由系统的 初始状态单独作用而产生的输出响应。初始状态单独作用而产生的输出响应。 aaa( (n n) )( (n n- -1 1) )n n- -1 11 10 0y y( (t t) )+ +y y( (t t) )+ + +y y ( (t t) )+ +y y( (t t) ) = = 0 0数学模型数学模型: :求解方法：求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式，根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式，再由初始条件确定待定系数。再由初始条件确定待定系数。 解解 系统的特征方程为系统的特征方程为例例3-103-10 已知某线性时不变系统的动态方程式为已知

12、某线性时不变系统的动态方程式为: : 系统的初始状态为系统的初始状态为y(0- -)=1，y (0- -)=3，求系统的零，求系统的零输入响应输入响应yx(t)。2 22 2d d y yd dy y+ +5 5+ +6 6y y( (t t) ) = = 4 4( (t t) )d dt td dt tf0t2 2s s + +5 5s s+ +6 6 = = 0 01212s = -2s = -2，s = -3，s = -3- 2t- 3tx12y (t)=K e+K e- - 2 2t t- - 3 3t tx xy y ( (t t) )= = 6 6e e- -5 5e e, , t

13、 t 0 0系统的特征根为系统的特征根为 y(0 )=yx(0 )=K1+K2=1 y (0 )= yx(0 )= 2K1 3K2 =3解得解得 K1=6，K2= 5例3 已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0)=2，y(0)= 1，求系统的零输入响应yx(t)。解 系统的特征方程为)(3 2)(4422tfdtfdtydtdydtyd0442 ss221 ssttxteKeKty2221)(0,5)(22tteetyttx系统的特征根为（两相等实根） y(0)=yx(0)=K1=1; y(0)= yx(0)= 2K1+K2 =3 解得 K1 =1, K2=5例4 已知某线性

14、时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0)=1，y(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。)(3 4)(5222tfdtfdtydtdydtydn解 系统的特征方程为系统的特征根为0522 ssjsjs212121，)2sin2cos)(21tKtKetytx（y(0)=yx(0)=K1=1 y (0)= yx(0)= K1+2K2 =3解得 K1=1，K2=20),2sin22(cos)(tttetytx2 2、 系统的零状态响应系统的零状态响应n求解系统的零状态响应求解系统的零状态响应y yf (t)方法：方法： n1) 1) 直接求解初始状态为零的微分方程。直接求解初始状态为零的

15、微分方程。n2) 2) 卷积法：卷积法： n利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。 当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用产生的响应称为系统的零状态响应，用yf (t)表示。表示。卷积法求解系统零状态响应卷积法求解系统零状态响应yf (t)的思路的思路n1) 1) 将任意信号分解为将任意信号分解为单位冲激信号单位冲激信号的线性组合。的线性组合。 n2) 2) 求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应应 单位冲激响应单位冲激响应h h

16、( (t t) ) 。 n3) 3) 利用线性时不变系统的特性，求出单位冲激利用线性时不变系统的特性，求出单位冲激信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号任意信号f f( (t t) )激励下的零状态响应激励下的零状态响应y yf f( (t t) ) 。单位脉冲响应单位脉冲响应( ( impulse response ) )LTI系统对系统对 的响应的响应( ) t( )h t( )( ) ()f tftd 用单位冲激用单位冲激 表示任意信号表示任意信号( ) t( )f t系统分析的线性原理：系统分析的线性原理：( )( )iiif ta f

17、 t( )( )iif ty t则则( )( )iiiy ta y t卷积法求解系统零状态响应卷积法求解系统零状态响应y yf f ( (t t) )推导推导( )( )th t ()()th t ( ) ()( ) ()ftfh t 由时不变特性由时不变特性由均匀特性由均匀特性由积分特性由积分特性( )( )()f tftd ( ) ( )()fytfh td( )( )()( )( )fytfh tdf th t 例例 已知某已知某LTILTI系统的动态方程式为系统的动态方程式为y(t)+3y(t)=2f(t)，系，系统的冲激响应统的冲激响应h(t)=2e-3t u(t), f(t)=3u

18、(t), 试求系统的零试求系统的零状态响应状态响应yf(t)。( )( )( )( )()fytf th tfh td 3()=3 ( ) 2()tueu td -3( - )03 2ed 0= 0 0tttt 解32(1 ) 0= 0 0tett3=2(1 ) ( )teu t连续时间系统的单位冲激响应n连续时间系统单位冲激响应的定义连续时间系统单位冲激响应的定义 n冲激平衡法求系统的单位冲激响应冲激平衡法求系统的单位冲激响应 n连续时间系统的单位阶跃响应连续时间系统的单位阶跃响应连续时间系统单位冲激响应的定义连续时间系统单位冲激响应的定义 在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信在系统初始

19、状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，以符号冲激响应，以符号h(t)表示。表示。N N阶连续时间阶连续时间LTILTI系统的冲激响应系统的冲激响应h h( (t t) )满足满足( )(1)110()(1)110 ( )( ) ( )( )( )( )( )( ) nnnmmmmhtahta h ta h tbtbtbtbt冲激平衡法求系统的单位冲激响应冲激平衡法求系统的单位冲激响应由于由于t 0+后后, 方程右端为零方程右端为零, , 故故nm时i in ns s t ti ii i= =1 1h h( (

20、t t) )= =( (K K e e ) )u u( (t t) )n m时时, ,为使方程两边平衡为使方程两边平衡, , h(t)应含有冲激及其高阶导数应含有冲激及其高阶导数, ,即即inm -ns t(j)iji=1j=0h(t) = (K e)u(t)+A (t)将将h(t)代入微分方程代入微分方程，使方程两边平衡使方程两边平衡, ,确定系数确定系数Ki ， Ai (n)(n-1)(m)(m-1)n-10mm-10 h (t)+a h(t)+ah(t)=b (t)+b (t)+b(t) 例例1 1 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的单位冲激响应。0),(2)(3)(ttft

21、ydttdy解解：当f (t)=(t)时, y(t)=h(t), 即( )3 ( )2 ( )dh th ttdt 动态方程式的特征根s=3, 且nm, 故h(t)的形式为)()( t3tuAeth)(2)( 3+ )( 33ttuAetuAedtdtt解得A=2)(2)( 3tuetht例例2 2 已知某线性时不变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应。解解：当f (t)=(t)时, y(t)=h(t), 即)( 3)(2)(6)(ttthdttdh动态方程式的特征根s= 6, 且n=m, 故h(t)的形式为)()()( t6tBtuAeth解得A= 16, B =30),( 3)(2)(6

22、)(ttftftydttdy)( 3)(2)()( 6+ )()( 66tttBtuAetBtuAedtdtt)(16)(3)( t6tuetth冲激平衡法小结冲激平衡法小结1)1)由系统的特征根来确定由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式前的指数形式. .2) 由动态方程右边由动态方程右边 (t)的最高阶导数与方程的最高阶导数与方程 左边左边h(t)的最高阶导数确定的最高阶导数确定 (j)(t)项项. (n)(n-1)(m)(m-1)n-10mm-10 h (t)+a h(t)+ah(t)=b (t)+b (t)+b(t) inm-ns t(j)iji=1j=0h(t)=(K e)u(t)

23、+A (t)连续系统的阶跃响应连续系统的阶跃响应 )()( )()()()( )()( 01)1(1)(01)1(1)(tubtubtubtubtgatgatgatgmmmmnnn求解方法:1)求解微分方程2)利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系dttdgth)()(tdhtg)()(例例3 求例1所述系统的单位阶跃响应g(t)。tetg03d2)()()1 (323tuet例1系统的单位冲激响应为解：利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得h(t)=2e3t u(t)卷积积分的计算和性质卷积积分的计算和性质n卷积积分的计算卷积积分的计算 n卷积积分的性质卷积积分的性质 交换律、分配律交换律

24、、分配律 、结合律、位移特性、结合律、位移特性、 展缩特性展缩特性延迟特性、微分特性、积分特性、等效特性奇异信号的卷积积奇异信号的卷积积分分卷积积分的物理意义卷积积分的物理意义)()(tht)()(tht)()()()(thftf由时不变特性由均匀特性由积分特性dtftf)()()(dthftyf)()( )()()()()()(thtfdthftyf一一 卷积积分的计算卷积积分的计算卷积的定义定义：dthfthtfty)()()()()( )()( ()()thhhth t 翻转平移1）将）将f(t)和和h(t)中的自变量由中的自变量由t改为改为 ， 成为函数成为函数的自变量；的自变量；卷积

25、的计算步骤计算步骤：2）把其中一个信号翻转、平移；把其中一个信号翻转、平移；3）将将f( ) 与与h( t)相乘；对乘积后的图形积分。相乘；对乘积后的图形积分。)(tft)(tht)(h)()(thft)()(),()(),(*)(tuethtutfthtft计算)(f)(h()0( )* ( )10tttf th tedet 例1dtfftftf)()()(*)(2121要完成卷积运算的步骤：要完成卷积运算的步骤： 变量置换：变量置换：将将f1(t) ,f2(t)变为变为f1( )， f2( ) ，以，以 为积分变量为积分变量 ； 反褶：将反褶：将f2( )变为变为f2(- )； 平移：将平

26、移：将f2(- )平移平移t，变为，变为f2-( -t)； 相乘：相乘： 将将f1( )和和f2(t- )相乘；相乘；1. 积分：求积分：求f1( ) f2(t- )乘积下的面积。乘积下的面积。例例两个矩形波两个矩形波f1(t)与与 f2(t) 如图所示如图所示12tf1(t)c1tf2(t)其它0201)(1ttf其它010)(2tctf求解求解 f1(t) f2(t) dtfftftftg)()()()()(2121解：解：1、变量置换：、变量置换：12 f1( )c1 f2( )2、反褶：、反褶：c-1 f2(- )03、平移：、平移： 将将f(- )沿时间轴沿时间轴 平移平移t，t为参

27、变量为参变量c-1 f2(t- )0tt-1t0时向右平移，时向右平移，t0时向左平移时向左平移c-1 f2(t- )0tt-1)()(22 tftf随随t取值不同，取值不同，f2(t- )出现在不同位置出现在不同位置c-1 f2(- )04、相乘：将、相乘：将f1( )和和 f2(t- )相乘相乘12 f1( )c f1( )f2(t- )0tt-15、积分、积分c f2(t- )0tt-1c f1( )f2(t- )0tt-1阴影的面积，即阴影的面积，即g(t)的值，是一个的值，是一个t的函数的函数12 f1( )f1( ) f2(- ) 012 f1( )ct f2(t- )t-1f1(

28、 ) f2(1- ) 0t12 f1( )12 f1( )g(t)t21cct-1 f2(t- )0tct-1tf2(t- )0 f1( ) f2(2- ) 02t-1ct f2(t- )0t-1f1( ) f2(2- ) 0tt-1例2：计算y(t) = p1(t) p1(t)。)()(11tpp0.5t5 . 0t 5 . 01t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp01t1a) t 1b) 1 t 0tdttyt1)(5 . 05 . 0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0t 5 . 0t5 . 0)()(11tpp10 t1t5 . 0t 5 . 0)()(11tpp1t111-1)()(11tptptc) 0 t 1tdttyt1)(5 . 05 . 0d)1 t y(t)=0二二 卷积的性质卷积的性质n1)交换律交换律 f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t)n2)分配律分配律 f1(t) + f2(t) * f3(t) = f1(t)