人教版 初中数学八年级上册12.3角的平分线性质

1、做一做做一做1 1、在准备好的角上标好字母、在准备好的角上标好字母:A,O,B, :A,O,B, 把把 AOBAOB对对折，使得这个角的两边重叠。折，使得这个角的两边重叠。结论：折痕是结论：折痕是 AOBAOB的角平分线。的角平分线。试一试,你能获得成功! 1 1、如右图，是一个平分角的仪器，其中、如右图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD,BC=DCAB=AD,BC=DC，将点，将点A A放在角的顶点放在角的顶点, ,使使ABAB和和ADAD沿着角的两边放下沿着角的两边放下, ,沿线段沿线段ACAC画一条射线画一条射线AE,AE,那么那么AEAE就是角平分线就是角平分线: :A议一议：议一议

2、：为什么为什么 AEAE一定是一定是A A的角平分线的角平分线, ,你能说明你能说明它的道理吗它的道理吗? ?DCBE探究：探究：画法：画法：以为圆心，以任以为圆心，以任意长为半径作弧，交于意长为半径作弧，交于，交于，交于分别以，为圆分别以，为圆心大于心大于 1/2 的长为半的长为半径作弧两弧在径作弧两弧在的的内部交于内部交于作射线作射线射线即为所求的射线射线即为所求的射线O尺规作角的平分线尺规作角的平分线为什么OC是角平分线呢？ O O想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC。求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB。证明：在证明：在OMCOMC和和ONCONC

3、中，中， OM=ONOM=ON， MC=NCMC=NC， OC=OCOC=OC， OMC OMC ONCONC（SSSSSS） MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB 按照做一做的顺序画按照做一做的顺序画AOBAOB的折痕的折痕OC ,OC ,在折痕（即平分线）上任意找一在折痕（即平分线）上任意找一点点P P。过。过P P点作点作PDPD垂直于垂直于OAOA，垂足为，垂足为D D。作作PEPE垂直于垂直于OBOB、垂足为、垂足为E E ，并度量所，并度量所画垂线段画垂线段PDPD、PEPE是否等长？是否等长？画一画画一画同学甲、乙谁的画法是正确的?（）（）议一议：由

4、此你可得到什么猜想？议一议：由此你可得到什么猜想？角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等点点P是是AOB平分线上的一点平分线上的一点 且且PDOA，PEOB PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）角平分线上的点到角的两边的距离相等）AOBEDP P证明线段相等证明线段相等有角的平分线，有垂直距离有角的平分线，有垂直距离应用定理的前提条件是：应用定理的前提条件是：定理的作用：定理的作用：AOBEDP P已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E

5、.求证：求证：PD=PE证明：证明： PD OA ，PE OB， PDO= PEO= 90在在PDO和和PEO中中PDO= PEOAOC= BOCOP=OPC PDO PEO (AAS) PD=PE角平分线的性质的角平分线的性质的 证明：证明：例1： 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：证明：过点过点P P作作PD PD 、PEPE、PFPF分别垂直于分别垂直于ABAB、BCBC、CACA，垂足为垂足为D D、E E、F F BM BM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P P在在BMBM上上 且且PE PE BC ,PD

6、AB PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN应用迁移，巩固提高应用迁移，巩固提高1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DEABDEAB垂足为垂足为E E，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ ABCDE 2 2 、 如 图、 如 图 , O C, O C 是是 A O BA O B 的 平 分 线的 平 分 线 , , 点点 P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PD

7、OA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知识应用知识应用 2 2 、 如 图、 如 图 , O C, O C 是是 A O BA O B 的 平 分 线的 平 分 线 , , 点点 P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,则则PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC3：已知：在等腰直角已知：在等腰直角ABC中，中，AC BC，C90，AD平分平分 BAC，DEAB于于点点E。 求证：求证：BDDE AC变式：变式：

8、已知已知AB 15cm, 求求DBE的周长。的周长。知识拓展知识拓展点评：解题思路的突破口点评：解题思路的突破口ACBDE综合探究、拓展提高综合探究、拓展提高如图，已知：如图，已知：E E是是AOBAOB的平分线上一点，的平分线上一点，ECOBECOB，EDOAEDOA，C C，D D是垂足，连接是垂足，连接CDCD，求证求证: : （1）OD=OC ； （2 2）ECD=EDCECD=EDC老师期望老师期望: :做完题目后做完题目后, ,一定要一定要“悟悟”到点东西到点东西, ,纳入到自己的认知结构中去纳入到自己的认知结构中去. . OADEBCF回味无穷回味无穷w定理：定理： 角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边的距离相等个角的两边的距离相等. .l 点点P P是是AOBAOB平分线上的一点平分线上的一点l 且且PDOA