线性代数：3-1 矩阵的初等变换（1）

1、本章先引进矩阵的本章先引进矩阵的初等变换初等变换, 建立矩阵的建立矩阵的秩秩的的概念概念; 然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有然后利用矩阵的秩讨论齐次线性方程组有非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充非零解的充要条件和非齐次线性方程组有解的充要条件要条件, 并介绍用初等变换解线性方程组的方法并介绍用初等变换解线性方程组的方法. 如果两个如果两个 n 元线性方程组元线性方程组 ( I ) 与与 ( II ) 有相同的解有相同的解集，即集，即( I )的每个解都是的每个解都是( II )的解，同时的解，同时( II )的每个解的每个解 也都是也都是( I ) 的解，则称方程组的解，则称方程组

2、 ( I )与与( II ) 线性方程组的下述三种变换是同解变换：线性方程组的下述三种变换是同解变换： (由于这三种变换都是可逆由于这三种变换都是可逆回回的的, 因此变换前的方因此变换前的方程程组与变换后的方程组是同解的组与变换后的方程组是同解的。公元前250年，中国数学家就已使用了针对线性方程组的一种类似的消元法。这一算法，直到19世纪被著名的德国数学家卡尔弗里德里希高斯发现，才为西方世界所知。1888年,德国工程师Wilhelm Jordan将其收录于一本测地学著作，这一算法因而得以推广。也称这一算法为也称这一算法为高斯高斯约当消元法约当消元法。为引进矩阵的初等变换为引进矩阵的初等变换,

3、先介绍解线性方程组的先介绍解线性方程组的.通过方程组的通过方程组的同解变换同解变换消去线性方程组中的一些消去线性方程组中的一些未知量，把方程组替换为另一个更简单的同解方程组。未知量，把方程组替换为另一个更简单的同解方程组。用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组123121232231(1)2(2)22(3)xxxxxxxx 交换方程交换方程 (1) 与与 (2) , 得得(3)22(2)1322(1)232132121xxxxxxxx1223232(1)433(2)0(3)xxxxxx 交换方程交换方程 (2) 与方程与方程 (3), 得得1223232(1)0(2)433(3)xxxxxx

4、 方程方程 (1) 乘以乘以 -2 加到方程加到方程 (2); 方程方程 (1) 乘以乘以 1 加到方程加到方程 (3), 得得 方程方程 (2) 乘以乘以 -4 加到方程加到方程 (3) , 得得12232(1)3(2)3(3)xxxx 方程方程 (3) 加到方程加到方程 (2) , 得得 122332(1)0(2)3 (3)xxxxx 3x2x3x 方程方程 (2) 加到方程加到方程 (1), 方程方程 (3) 乘乘以以 -1 -1 得得123133xxx 注意：引例中的消元过程注意：引例中的消元过程,实际上实际上只是对各方程的系数只是对各方程的系数和常数项进行运算，和常数项进行运算，未知

5、量并未参与运算未知量并未参与运算。因此，。因此，今后消元今后消元过程只写出发生改变的系数和常数项（过程只写出发生改变的系数和常数项（省略掉未知量）省略掉未知量）。请掌握消元顺序！请掌握消元顺序！按这样的顺序，计按这样的顺序，计算量小，效率高。算量小，效率高。 ) 把定义中的把定义中的“行行”换成换成“列列”,即得矩阵的即得矩阵的的定义的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换矩阵的初等行变换与初等列变换, 统统称称.11122122 注注意意 ： ：aaaa11122122aaaa【注】 rc 【注】 。rc A A; 若若 A B, 则则 B A; 若若 A B, B C, 则则 A C. 用矩

6、阵及其用矩阵及其初等变换初等变换记号表示引例记号表示引例中的方程组的消元过程。中的方程组的消元过程。用消元法解线性方程组用消元法解线性方程组123121232231(1)2(2)22(3)xxxxxxxx 交换方程交换方程 (1) 与与 (2) , 得得(3)22(2)1322(1)232132121xxxxxxxx方程组的方程组的223111021212A211 02223112112rr1223232(1)433(2)0(3)xxxxxx 交换方程交换方程 (2) 与方程与方程 (3), 得得1223232(1)0(2)433(3)xxxxxx 方程方程 (1) 乘以乘以 -2 加到方程加

7、到方程 (2); 方程方程 (1) 乘以乘以 1 加到方程加到方程 (3), 得得2131( 2)11 02433111000r rr r 231 02104303101rr 方程方程 (2) 乘以乘以 -4 加到方程加到方程 (3) , 得得12232(1)3(2)3(3)xxxx 方程方程 (3) 加到方程加到方程 (2) , 得得 122332(1)0(2)3 (3)xxxxx 32( 4)010210001311r r 231000001331121r r 方程方程 (2) 加到方程加到方程 (1), 方程方程 (3) 乘乘以以 -1 -1 得得123133xxx 1231( 1)-0

8 rr 称满足下列条件的矩阵：（1） 零行（若有的话）都在非零行的下方；零行（若有的话）都在非零行的下方；（2）每个非零行的首非零元下方的元素（若有的话）全为零每个非零行的首非零元下方的元素（若有的话）全为零；（3）每一行首非零元在上一行首非零元的右下边每一行首非零元在上一行首非零元的右下边。 例如例如210003000115 310010401000030000000123 : 每个台阶每个台阶只有一行（可能只有一行（可能不只一列）。不只一列）。00009600012300523371004002002111701230221010890511000问：下列是行阶梯

9、形矩阵吗问：下列是行阶梯形矩阵吗? ?432112300100400285004000010010：（1）首非零元全为）首非零元全为1；（2）每个首非零元）每个首非零元1上方的元素（若有的话）全为零。上方的元素（若有的话）全为零。234500800001200 用矩阵的初等行变换解线性方程组用矩阵的初等行变换解线性方程组123123412341(1)2222(2)2(3)xxxxxxxxxxx解解 ：线性方程组的：线性方程组的增广矩阵增广矩阵为为1101( , )22122111121A b 1111101( , )221221111211011101020020021303110111000

10、00000001020020101110200000000011113111111110A b 行阶梯形行阶梯形行最简行最简形形（由它可直接写出解集）最后得到的行最简形矩阵对应的方程组为最后得到的行最简形矩阵对应的方程组为将上述方程组改写为将上述方程组改写为21341,2,1xxxx 2134121xxxx 自由未知量自由未知量基本未知量基本未知量或约束未知量或约束未知量从而原方程组的从而原方程组的1234121xkxkxx 其中其中k 为任意常数为任意常数. .无穷多解！无穷多解！1234121xkxkx,xx或123123412341(1)2222(2)42(3)xxxxxxxxxxx解

11、：线性方程组的增广矩阵为1101( , )22122111421A b有尾巴，有尾巴，无解！无解！ 用矩阵的初等行变换解线性方程组用矩阵的初等行变换解线性方程组110111010200020024330000111100 线性方程组的线性方程组的高斯消元法高斯消元法增广矩阵增广矩阵（A，b）11,1111111,000000000000000rrnr rrnrrrrcccdcccddc1,111,10000000000011000000rnr rrnrccdccd可直接写出解可直接写出解可判定解的情况：可判定解的情况：1.当当 时，无解时，无解2.当当 时，有解时，有解 且且10rdrnrn有

12、唯一解有无穷多解10rd0,1,2,iicir其中, n r行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 初行等变换行最简形矩阵行最简形矩阵 初等变换（有解时）行高斯消元顺序：化行阶梯阵与行最简阵的顺序高斯消元顺序：化行阶梯阵与行最简阵的顺序 2 称为称为矩阵矩阵A的的1,11,1000000001001m nrnr rrnm ncccc 行行A（有限次）（有限次）A的的 .rmm nn000AE （有限次）（有限次）称为矩阵称为矩阵A的的标准形的极端情况？标准形的极端情况？rm n000E即形如：即形如：0rm0rn例例 211111214622,B设求矩阵求矩阵 B 的行阶梯形、行最简形的行阶梯形、行最简形(行标准形行标准形)和标准形。和标准形。解解211112111212111462223111121113311010121211122201(行阶梯形行阶梯形)0001121211101213311100111121011001012B 2101011100000B 3100010000001B 求下列矩阵的等价标准形求下列矩阵的等价标准形153541132)2110201111211) 1 从上面的例子可见从上面的例子可见, 任何矩阵经单纯的初等任何矩阵经单纯的初等准形是唯一的准形是唯一的，这反映了矩阵的另一个属性，即，这反映了矩阵的另一个属性，即所得结果也不