人教版高中数学必修2 3.2--直线方程

1、3.2直线的方程v3.2.1直线的点斜式方程2022-1-151兴山一中高一数学组兴山一中高一数学组22022-1-15教学目的教学目的 v使学生掌握点斜式方程及其应用，掌握斜截式方程及其应用，知道什么是直线在y轴上的截距。 v教学重点教学重点：点斜式方程、斜截式方程及其应用。 v教学难点教学难点：斜截式方程的几何意义。 32022-1-15平行平行：对于两条不重合的直线对于两条不重合的直线l l1 1、l l2 2，其，其斜率分别为斜率分别为k k1 1、k k2 2，有，有l l1 1ll2 2 k k1 1k k2.2.垂直垂直：如果两条直线如果两条直线l l1 1、l l2 2都有斜率

2、都有斜率，且，且分别为分别为k k1 1、k k2 2，则有，则有l l1 1ll2 2 k k1 1k k2 2=-1=-1. .条件条件：不重合不重合、都有斜率都有斜率条件条件：都有斜率都有斜率42022-1-15 如果以一个方程的解为坐标的如果以一个方程的解为坐标的点都上某条直线上的点，反过来，点都上某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫方程的解，那么，这个方程就叫做这条做这条直线的方程直线的方程，这条直线就，这条直线就叫做这个叫做这个方程的直线方程的直线. .直线方程的概念直线方程的概念52022-1-15已知直线已

3、知直线l经过已知点经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率），并且它的斜率是是k，求直线，求直线l的方程。的方程。lOxy.P1根据经过两点的直线斜率根据经过两点的直线斜率公式，得公式，得11xxkyy可化为11xxyykP .1、直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：设点设点P（x，y）是直线）是直线l上上不同于不同于P1的任意一点。的任意一点。62022-1-151、直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：(1)、当直线、当直线l的倾斜角是的倾斜角是00时，时，tan00=0,即即k=0，这时直线，这时直线l与与x轴平行或重合轴平行或重合l的方程：的方程：y-y1=0 或或 y=y1(2)、当

4、直线、当直线l的倾斜角是的倾斜角是900时，时，直线直线l没有斜率，这时直线没有斜率，这时直线l与与y轴平行或重合轴平行或重合l的方程：的方程：x-x1=0 或或 x=x1Oxyx1lOxyy1l72022-1-15点斜式方程的应用：点斜式方程的应用：例例1：一条直线经过点：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角），倾斜角=450，求这条直线的方程，并画出图形。，求这条直线的方程，并画出图形。解：这条直线经过点解：这条直线经过点P1（-2，3）, 斜率是斜率是 k=tan450=1代入点斜式得代入点斜式得y3 = x + 2Oxy-55P182022-1-151 1、写出下列直线的点斜式方程：

5、、写出下列直线的点斜式方程：练习练习2),1, 3() 1 (斜率是经过A030),2 ,2()2(倾斜角是经过B2 2、说出下列点斜式方程所对应的直线斜、说出下列点斜式方程所对应的直线斜率和倾斜角：率和倾斜角：(1)y-2 = x-1(1)y-2 = x-1332)2(xy00),5 , 0()3(倾斜角是经过C92022-1-15Oxy.(0,b) 2、直线的斜截式方程：、直线的斜截式方程：已知直线已知直线l的斜率是的斜率是k，与，与y轴的交点是轴的交点是P（0，b），求直线方程。），求直线方程。代入点斜式方程，得代入点斜式方程，得l的直线方程：的直线方程：y - b =k （ x - 0

6、）即即 y = k x + b 。(2)直线直线l与与y轴交点轴交点(0,b)的纵坐标的纵坐标b叫做直线叫做直线l在在y轴轴上的上的截距截距。方程方程(2)是由直线的斜率是由直线的斜率k与它在与它在y轴上的截距轴上的截距b确定，所以方程确定，所以方程(2)叫做直线的叫做直线的斜截式方程斜截式方程，简，简称称斜截式斜截式。102022-1-15斜截式方程的应用：斜截式方程的应用：例例2：斜率是斜率是5，在，在y轴上的截距是轴上的截距是4的的直线方程直线方程。解：由已知得解：由已知得k =5， b= 4，代，代入斜截式方程入斜截式方程y= 5x + 4斜截式方程斜截式方程:y = k x + b

7、几何意义几何意义：k 是直线的斜率，是直线的斜率，b是直线是直线在在y轴上的截距轴上的截距112022-1-15练习练习3 3、写出下列直线的斜截式方程：、写出下列直线的斜截式方程：2,23) 1 (轴上的截距是在斜率是y4, 2)2(轴上的截距是在斜率是y122022-1-15练习练习4、已知直线、已知直线l过过A（3，-5）和）和B（-2，5），），求直线求直线l的方程的方程解：解：直线直线l过点过点A（3，-5）和）和B（-2，5）23255lk将将A（3，-5），），k=-2代入点斜式，得代入点斜式，得y(5) =2 ( x3 ) 即即 2x + y 1 = 0132022-1-15例

8、题分析：例题分析：?l(2) ?l ) 1 ( :,: 32121222111的条件是什么的条件是什么试讨论已知直线例llbxkylbxkyl1l ,l 2121212121kklbbkkl且222111:,:bxkylbxkyl142022-1-15练习练习判断下列各直线是否平行或垂直判断下列各直线是否平行或垂直(1)(2)11:32lyx21:22lyx15:3lyx 23:5lyx 152022-1-15直线的点斜式，斜截式方程在直线的点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时直线斜率存在时才可以应用。才可以应用。直线方程的最后形式应表示成二元一次方程的一般形式。直线方程的最后形式应表示成二元一

9、次方程的一般形式。斜截式方程斜截式方程:y = k x + b 几何意义几何意义：k 是直线的斜率，是直线的斜率，b是直线在是直线在y轴上的轴上的截距截距点斜式方程：点斜式方程：y-y1=k(x-x1)1l ,l / 2121212121kklbbkkl且直线直线L1:y = k 1x +b1,L2:y=k2x+b2162022-1-15练习练习5、求过点（、求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰）且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程。直角三角形的直线方程。解：解：直线与坐标轴组成一等腰直角三角形直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 k=1直线过点（直线过点（1，2）代入点斜式方程得）代入点

10、斜式方程得y- 2 = x - 1 或或y（）（）即即0或或0172022-1-15练习练习巩固：巩固： 经过点（经过点（- ，2）倾斜角是）倾斜角是300的直线的方程是的直线的方程是 （A）y = （ x2） （B）y+2= （x ） （C）y2= （x ）（）（D）y2= （x ） 已知直线方程已知直线方程y3= （x4），则这条直线经过的已知），则这条直线经过的已知 点，倾斜角分别是点，倾斜角分别是 （A）（）（4，3）；）；/ 3 （B）（）（3，4）；）；/ 6 （C）（）（4，3）；）；/ 6 （D）（）（4，3）；）；/ 3 直线方程可表示成点斜式方程的条件是直线方程可表示成点斜

11、式方程的条件是 （A）直线的斜率存在）直线的斜率存在 （B）直线的斜率不存在）直线的斜率不存在 （C）直线不过原点）直线不过原点 （D）不同于上述答案）不同于上述答案 222223333333182022-1-15 已知A（0，3），B（-1，0），C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）。.ACBOxyDD192022-1-15注意：注意：直线上任意一点直线上任意一点P与这条直线上与这条直线上一个定点一个定点P1所确定的斜率都相等。所确定的斜率都相等。 当当P点与点与P1重合时，有重合时，有x=x1，y=y1，此时，此时满足满足y-y1=k（x

12、-x1），所以直线），所以直线l上所有点的坐上所有点的坐标都满足标都满足y-y1=k（x-x1），而不在直线），而不在直线l上的点，上的点，显然不满足（显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足即不满足y-y1=k（x-x1），因此），因此y-y1=k（x-x1）是直线）是直线l的的方程。方程。 如直线如直线l过过P1且平行于且平行于x轴，则它的斜率轴，则它的斜率k=0，由点斜式由点斜式 知方程为知方程为y=y0;如果直线如果直线l过过P1且平行且平行于于Y轴，此时它的倾斜角是轴，此时它的倾斜角是900，而它的斜率不，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直存在，它的方程不能

13、用点斜式表示，但这时直线上任一点的横坐标线上任一点的横坐标x都等于都等于P1的横坐标所以的横坐标所以方程为方程为x=x1 P为直线上的任意一点，它的为直线上的任意一点，它的 位置与方程无关位置与方程无关OxyP1P3.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 y=kx+b y- y0 =k(x- x0 )1). 直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：2). 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程：k为斜率，为斜率， P0(x0 ,y0)为直线经过的点为直线经过的点 k为斜率，为斜率，b为截距为截距一、复习、引入一、复习、引入 解：设直线方程为：解：设直线方程为：y=kx+b.例例1.已知直线经过已知

14、直线经过P1(1,3)和和P2(2,4)两点，求直线的方程两点，求直线的方程一般做法：一般做法：bkbk324由已知得：由已知得：12kb解方程组得：解方程组得：所以，直线方程为所以，直线方程为: y=x+2Oxyp.Q.123413xy简单的做法：简单的做法：化简得：化简得： x-y+2=0还有其他做法吗？为什么可以这样做，这样做为什么可以这样做，这样做的根据是什么？的根据是什么？Oxyp.Q.k kPPPP1 1= k= kP P1 1P P2 2123413xy即：即： 得得:y=x+2:y=x+2设设P(x,y)P(x,y)为直线上不同于为直线上不同于P P1 1 ， P P2 2的动

15、点，与的动点，与P P1 1(1,3)P(1,3)P2 2(2,4)(2,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：在同一直线上，根据斜率相等可得：二、直线两点式方程的推导二、直线两点式方程的推导Oxyp.Q. 已知两点已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这，求通过这两点的直线方程两点的直线方程解：设点解：设点P(x,y)是直线上不同于是直线上不同于P1 ， P2的的点点121121xxxxyyyy可得直线的两点式方程：可得直线的两点式方程：121121yyyyxxxxkPPPP1 1= kP P1 1P P2 2记忆特点：记忆特点：推广推广左边全为左边全为y，右边全

16、为，右边全为x两边的分母全为常数两边的分母全为常数 分子，分母中的减数相同分子，分母中的减数相同不是不是! ! 121121xxxxyyyy 是不是已知任一直线中的两点就是不是已知任一直线中的两点就能用两点式能用两点式 写出直线方程呢？写出直线方程呢？ 两点式不能表示平行于坐标轴或两点式不能表示平行于坐标轴或与坐标轴重合的直线与坐标轴重合的直线注意：注意： 当当x x1 1 x x2 2或或y y1 1= = y y2 2时，直线时，直线P1 P2没没有两点式方程有两点式方程. .( 因为因为x x1 1 x x2 2或或y y1 1= = y y2 2时，时，两点式的分母为零，没有意义两点式

17、的分母为零，没有意义) 那么两点式不能用来表示哪些直那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢？线的方程呢？三、两点式方程的适应范围三、两点式方程的适应范围 若点若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有中有x1 x2 , ,或或y1= y2, ,此时过这两点此时过这两点的直线方程是什么？的直线方程是什么？当当x1 x2 时时方程为：方程为： x x当当 y1= y2时时方程为：方程为： y= yOxyOxy例例2 2：如图，已知直线：如图，已知直线 l l 与与x x轴的交点为轴的交点为A(a,0),A(a,0),与与y y轴的交点为轴的交点为B(0,b),B(0,b),其中

18、其中a0,b0,a0,b0,求直线求直线l l 的方程的方程 解：将两点解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式的坐标代入两点式, 得得：0,00yxaba1.xyab即即所以直线所以直线l l 的方程为：的方程为：1 .xyab四、直线的截距式方程四、直线的截距式方程Oxyab截距可是正数截距可是正数, ,负数和零负数和零 注意注意：不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 直线与直线与x x轴的交点轴的交点(o,a)(o,a)的横坐标的横坐标a a叫做直线在叫做直线在x x轴上的截距轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？是不是

19、任意一条直线都有其截距式方程呢？1.xyab截距式直线方程截距式直线方程: 直线与直线与y y轴的交点轴的交点(b,0)(b,0)的纵坐标的纵坐标b b叫做直叫做直线在线在y y轴上的截距轴上的截距 过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条等的直线有几条? ?解解: 两条两条例例3:3:那还有一条呢？那还有一条呢？y=2x (与与x轴和轴和y轴的截距都为轴的截距都为0)所以直线方程为：所以直线方程为：x+y-3=0a=3121aa把把(1,2)代入得：代入得：1xyaa设设 直线的方程为直线的方程为:解：解：三条三条 过过(1,2)(1,2)

20、并且在两个坐标轴上的截并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条距的绝对值相等的直线有几条? ? 解得：解得：a=b=3或或a=-b=-1直线方程为：直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或或y=2x1xyabab设设 例例4:4:已知三角形的三个顶点是已知三角形的三个顶点是A(A(5 5，0)0)，B(3B(3，3)3)，C(0C(0，2)2)，求，求BCBC边所在的直线边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。方程，以及该边上中线的直线方程。解：过解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：两点式方程为：203230yx 整理得：整理得：5x+3y-6=0这就是这就是BC边

21、所在直线的方程。边所在直线的方程。五、直线方程的应用五、直线方程的应用3032,22 BC边上的中线是顶点边上的中线是顶点A与与BC边中点边中点M所连所连线段，由中点坐标公式可得点线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：的坐标为：31,22即即整理得：x+13y+5=0这就是BC边上中线所在的直线的方程。05130522yx 过过A(-5,0),M 的直线方程的直线方程31,22M中点坐标公式：中点坐标公式：则则121222xxxyyyB(3,-3),C(0,2) M 3032,22 M思考题：思考题： 已知直线已知直线l l 2x+y+3=0,2x+y+3=0,求关于点求关于点A(1,2)A(

22、1,2)对称的对称的直线直线l l 1 1的方程。的方程。 解：当解：当x=0 x=0时，y=-3y=-3. (0,-3) (0,-3)在直线在直线l l上，关于上，关于(1,2)(1,2)的对称点为的对称点为(2,7)(2,7). OxyA.当当x=-2x=-2时，时，y=1y=1. (-2,1) (-2,1)在直线在直线l l上，关于上，关于(1,2)(1,2)的对称点为的对称点为(4,3)(4,3). 那么，点那么，点 (2,7) (2,7) ，(4,3)(4,3)在在l l 1 1上上因此，直线因此，直线l l 1 1的方程为：的方程为：723742yx化简得化简得: 2x + y -

23、11=0还有其它的方法吗？还有其它的方法吗？ l l l l 1 1，所以所以l l 与与l l 1 1的斜率相同，的斜率相同， k kl l1 1=-2=-2经计算，经计算，l l 1 1过点过点(4,3)(4,3)所以直线的点斜式方程为：所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)y-3=-2(x-4)化简得：化简得： 2x + y -11=03)3)中点坐标：中点坐标：121222xxxyyy小结：小结：121121yyyyxxxx1)1)直线的两点式方程直线的两点式方程2)2)两点式直线方程的适应范围两点式直线方程的适应范围3.2.32022-1-152022-1-15 (一)填空名

24、称 已知条件 标准方程 适用范围 点斜式 斜截式 两点式 截距式 有斜率的直线有斜率的直线不垂直于x,y轴的直线不垂直于x,y轴的直线不过原点的直线(x0,y0) , kk,y轴上截距b(x1,y1)(x2,y2)x轴上截距ay轴上截距by-y0=k(x-x0)y=kx+by-y1y2-y1=x-x1x2-x1xa+yb=1过点 与x轴垂直的直线可表示成 ， 过点 与y轴垂直的直线可表示成 。）（00, yx）（00, yx0 xx0yy 2022-1-15（二）填空1过点(2,1)，斜率为2的直线的方程是_ 2过点(2,1)，斜率为0的直线方程是_ 3过点(2,1)，斜率不存在的直线的方程是

25、_ y-1=2(x-2)y=1x=2思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程? 所有的直线方程是否都是二元一次方程？所有的直线方程是否都是二元一次方程？2022-1-15思考2：对于任意一个二元一次方程 （A，B不同时为零） 能否表示一条直线？0CByAxB 时,方程变为 y=-ABx-CB 表示过点(0,-CB),斜率为-AB的直线B=0 时,方程变为 x=-CA 表示垂直于x轴的一条直线)0A（2022-1-15总结:由上面讨论可知由上面讨论可知, ,(1)(1)平面上任一条直线都可以用一个关于平面上任一条直线都可以用一个关于x,yx,y的的二元一次方程表示二元一次方程表示, ,(2)(2

26、)任一关于任一关于x,yx,y的二元一次方程都表示一条的二元一次方程都表示一条直线直线. . 2022-1-15 我们把关于我们把关于x,yx,y的二元一次方程的二元一次方程Ax+By+C=0 (A,BAx+By+C=0 (A,B不同时为零不同时为零) ) 叫做叫做直线的一般式方程直线的一般式方程, ,简称简称一般式一般式1.1.直线的一般式方程直线的一般式方程2022-1-15例例1：已知直线经过点：已知直线经过点A（6，- 4），斜率），斜率为为 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距，求直线的点斜式、一般式和截距式方程。式方程。解：经过点解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于）并且斜率等于

27、- 4/3 的直线方程的点斜式是的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 （x 6）143yx化成一般式，得化成一般式，得 4x+3y 12=02022-1-15例例2 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一般式：式：2.在x轴,y轴上的截距分别是32,-3;1.经过点P(3,-2),Q(5,-4);y+2-4+2=x-35-3x+y-1=02x-y-3=01332xy2022-1-152 2.二元一次方程的系数和常数项对直二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响线的位置的影响2022-1-15探究：在方程探究：在方程 中，中， 1.当

28、当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴轴 ；2.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴垂轴垂直；直；3.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与x轴轴_ ；4.当当 时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与y轴重合轴重合 ；5.当当 时，方程表示的直线过原点时，方程表示的直线过原点.平行重合0AxBy C000ABC，00ABC， 为任意实数000ABC，000ABC，0, ,0CA B不同时为2022-1-153.3.一般式方程与其他形式方程的转化一般式方程与其他形式方程的转化 （一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转化为

29、一般式，把握直线方程一般式的特点转化为一般式，把握直线方程一般式的特点2022-1-15注：对于直线方程的一般式，一般作如下注：对于直线方程的一般式，一般作如下约定：一般按含约定：一般按含x x项项、含、含y y项项、常数项常数项顺序顺序排列；排列；x x项的系数为项的系数为正正；x x，y y的系数和常数的系数和常数项一般项一般不出现分数不出现分数；无特别说明时，最好；无特别说明时，最好将所求直线方程的结果写成一般式。将所求直线方程的结果写成一般式。 2022-1-15（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法

30、直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法2022-1-15例例3 把直线把直线 化成斜截式，化成斜截式，求出直线的斜率以及它在求出直线的斜率以及它在y轴上的截距。轴上的截距。 :35150lxy35解：将直线的一般式方程化为斜截式：解：将直线的一般式方程化为斜截式： ，它的斜率为：它的斜率为： ，它在，它在y轴上的截距是轴上的截距是3335yx 思考：若已知直线思考：若已知直线 ，求它在，求它在x轴上轴上的截距的截距:35150lxy2022-1-15求直线的一般式方程求直线的一般式方程 的斜率和截距的方法：的斜率和截距的方法：（1）直线的斜率）直线的斜率 （2）直线在）直线在y轴上的截距轴上

31、的截距b令令x=0，解出，解出 值，则值，则 (3) 直线与直线与x轴的截距轴的截距a令令y=0，解出，解出 值，则值，则0(,AxByCA B在都不为零时)BAkBCyBCbACxACa2022-1-15例例4：利用直线方程的一般式，求过点（：利用直线方程的一般式，求过点（0，3）并且与坐标轴围并且与坐标轴围 成三角形面积是成三角形面积是6的直线方程。的直线方程。解：设直线为解：设直线为Ax+By+C=0，直线过点（直线过点（0，3）代入直线方程）代入直线方程得得3B= -C， B= C/3A=C/4又直线与又直线与x，y轴的截距分别为轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B由三角形面

32、积为由三角形面积为6得得122ABC方程方程为034 CyCxC所求直线方程为所求直线方程为3x-4y+12=0或或3x+4y-12=0 xOy32022-1-15小结小结点斜式点斜式00()yyk xx斜率斜率和和一点坐标一点坐标斜截式斜截式ykx b斜率斜率k和和截距截距b两点坐标两点坐标两点式两点式点斜式点斜式两个截距两个截距截距式截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yyk xx化成一般式化成一般式0AxByC3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1 3.3.1 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标ks5u精品课件思考?,0 : 0: 22221111的坐标如何求这两条直

33、线交点相交已知两条直线CyBxAlCyBxAl平行相交无解唯一解解方程组直线212121,llllll问题问题1 1：方程组解的情况与方程组所表示的两条：方程组解的情况与方程组所表示的两条直线的位置关系有何对应关系？直线的位置关系有何对应关系？ks5u精品课件例例1 1：求下列两条直线的交点：求下列两条直线的交点：l l1 1：3x+4y3x+4y2=02=0；l l2 2：2x+y+2=0.2x+y+2=0.练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程练习：求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程: :l l1 1：x x2y+2=02y+2=0，l l2 2：2x2xy y2=0

34、.2=0.解：解方程组解：解方程组3x+4y2 =02x+y+2 = 0l1与与l2的交点是的交点是M（- 2，2）解：解方程组解：解方程组x2y+2=02xy2=0l1与与l2的交点是（的交点是（2，2）设经过原点的直线方程为设经过原点的直线方程为y=k x把（把（2，2）代入方程，得）代入方程，得k=1，所求方程为，所求方程为y= xx= 2y=2得得x= 2y=2得得ks5u精品课件问题问题2 2：如何根据两直线的方程系数之间的关：如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系？系来判定两直线的位置关系？0 : 0: 22221111CyBxAlCyBxAl 212121CCB

35、BAA 2121BBAA平行与21ll相交与21llks5u精品课件例例2 2、判定下列各对直线的位置关系，若相交，、判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点的坐标则求交点的坐标01086: 0543: )3( 026:043: )2(01033: 0: ) 1 (212121yxlyxlyxlyxlyxlyxlks5u精品课件已知两直线已知两直线 l l1 1:x+my+6=0,l:x+my+6=0,l2 2:(m-2)x+3y+2m=0:(m-2)x+3y+2m=0， 问当问当m m为何值时，直线为何值时，直线l l1 1与与l l2 2： (1)(1)相交，相交，(2) (2) 平行

36、，平行，(3) (3) 垂直垂直练习练习ks5u精品课件练习：求经过原点及两条直线练习：求经过原点及两条直线l l1 1:3x+4y-2=0,:3x+4y-2=0, l l2 2:2x+y+2=0:2x+y+2=0的交点的直线的方程的交点的直线的方程. .探究:?0)22(243 ,图形有何特点表示什么图形方程变化时当yxyxks5u精品课件 21212121,llllllllks5u精品课件3.3.2 3.3.2 两点间的距离两点间的距离ks5u精品课件 已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，如何，如何求

37、求P P1 1 P P2 2的距离的距离| P| P1 1 P P2 2 | |呢呢? ?两点间的距离两点间的距离|1221xxPP|1221yyPP(1) x1x2, y1=y2(2) x1 = x2, y1 y2(3) x1 x2, y1 y2ks5u精品课件 已知平面上两点已知平面上两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，如何，如何求求P P1 1 P P2 2的距离的距离| P| P1 1 P P2 2 | |呢呢? ?两点间的距离两点间的距离Q(x(x2 2,y,y1 1) )22| :),(,yxOPyxPO的距离与任一

38、点原点特别地21221221)()(|yyxxPPyxoP1P2(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2,y,y2 2) )(3) x1 x2, y1 y2ks5u精品课件1、求下列两点间的距离：、求下列两点间的距离：(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1)(3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1)ks5u精品课件.|,|,),7, 2(),2 , 1( 3的值并求得使轴上求一点在已知点例PAPBPAPxBAks5u精品课件2、求在、求在x轴上与点轴上与点A(5,12)的距离为的距离为13的坐标；的坐标； 3、已知点、

39、已知点P的横坐标是的横坐标是7，点，点P与点与点N(-1,5)间的间的距离等于距离等于10，求点，求点P的纵坐标。的纵坐标。ks5u精品课件例例2 2、证明平行四边形四条边的平方和等于两、证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。条对角线的平方和。C(a+b,c)C(a+b,c)D(b,c)D(b,c)B(a,0)B(a,0)A(0,0)A(0,0)y yx x建立坐标系，建立坐标系，用坐标表示有用坐标表示有关的量。关的量。把代数运算结把代数运算结果果“翻译翻译”成成几何关系。几何关系。进行有关的代进行有关的代数运算。数运算。ks5u精品课件4、证明直角三角形斜边的中点到三个顶点、证

40、明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。的距离相等。yxoB CAM(0,0)(a,0)(0,b) )2 2b b, ,2 2a a(ks5u精品课件平面内两点平面内两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1), P), P2 2(x(x2 2,y,y2 2) ) 的距离公式是的距离公式是21221221)()(|yyxxPP22| :),(,yxOPyxPO的距离与任一点原点特别地ks5u精品课件ks5u精品课件QPyxol思考思考：已知点：已知点P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )和直线和直线l:Ax+By+C=0, l:Ax+By+C=0, 怎怎样求样求点点P P到直线到

41、直线l l的距离的距离呢呢? ?点到直线的距离点到直线的距离 如图，如图，P P到直线到直线l l的距离，就是指从点的距离，就是指从点P P到直线到直线l l的的垂线段垂线段PQPQ的长度，其中的长度，其中QQ是垂足是垂足. .ks5u精品课件 当当A=0A=0或或B=0B=0时时, ,直线方程为直线方程为y=yy=y1 1或或x=xx=x1 1的形式的形式. .QQxyox=x1P(x0,y0)10y-yPQ =10 x-xPQ =yo y=y1(x0,y0)xP(x0,y1)(x1,y0)ks5u精品课件 点点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线3x=23x=2的距离是的距离是_._.

42、(2)(2)点点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线3y=23y=2的距离是的距离是_._.3534ks5u精品课件下面设下面设A0,B 0, A0,B 0, 我们进一步探求点我们进一步探求点到直线的距离公式到直线的距离公式: : 思路一思路一 利用两点间距离公式利用两点间距离公式:PyxolQks5u精品课件QxyP(x0,y0)OL:Ax+By+C=0 思路二思路二 构造直角三角形求其高构造直角三角形求其高. .RSks5u精品课件3 3、求点、求点P P0 0（-1 -1，2 2）到直线）到直线2x+y-10=02x+y-10=0的距离的距离. .1 1、求点、求点A A（-2-2，

43、3 3）到直线）到直线3x+4y+3=03x+4y+3=0的距离的距离. .2. . 求点求点B B（-5-5，7 7）到直线）到直线12x+5y+3=012x+5y+3=0的距离的距离. . P P0 0(x(x0 0,y,y0 0) )到直线到直线l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0的距离：的距离：2200|BACByAxdks5u精品课件例例6: 6:已知点已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0)A(1,3),B(3,1),C(-1,0)，求的，求的 面积面积ABCx xy yO OA AB BC Ch hks5u精品课件yxol2l1 两条平行直线间的距离是指夹在两条平

44、行直两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的线间的公垂线段公垂线段的长的长. .例例7 7、求证：两条平行线、求证：两条平行线l l1 1:Ax+By+C:Ax+By+C1 1=0=0与与 l l2 2: Ax+By+C: Ax+By+C2 2=0=0的距离是的距离是2221-BACCdQPks5u精品课件1. 1.平行线平行线2x-7y+8=02x-7y+8=0和和2x-7y-6=02x-7y-6=0的距离是的距离是_;_;2. 2.两平行线两平行线3x-2y-1=03x-2y-1=0和和6x-4y+2=06x-4y+2=0的距离是的距离是_._.53531413132ks5u精品课件1

45、 1、点、点A(a,6)A(a,6)到直线到直线x+y+1=0 x+y+1=0的距离为的距离为4 4，求，求a a的值的值. .2 2、求过点、求过点A A（1,21,2），且与原点的距离等于），且与原点的距离等于 的直线方程的直线方程 . .22ks5u精品课件2.2.两条平行线两条平行线Ax+By+CAx+By+C1 1=0=0与与Ax+By+CAx+By+C2 2=0=0的距离是的距离是2221BAC-Cd+=2200BACByAxd+=1. 1.平面内一点平面内一点P(xP(x0 0,y,y0 0) ) 到直线到直线Ax+By+C=0Ax+By+C=0的距离公式是的距离公式是当当A=0

46、A=0或或B=0B=0时时, ,公式仍然成立公式仍然成立. .章末总结章末总结第九编 解析几何9.1 9.1 直线的方程直线的方程 基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理1.1.直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率（1 1）直线的倾斜角）直线的倾斜角 定义：当直线定义：当直线l l与与x x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x x轴作为基轴作为基 准，准，x x轴轴 与直线与直线l l 方向之间所成的角方向之间所成的角 叫叫 做直线做直线l l的倾斜角的倾斜角. .当直线当直线l l与与x x轴平行或重合时，轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 . .倾斜角的范围为倾斜

47、角的范围为 . .正向正向向上向上0 0 1801800 0(2)(2)直线的斜率直线的斜率定义：一条直线的倾斜角定义：一条直线的倾斜角 的的 叫做这条叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母直线的斜率，斜率常用小写字母k k表示，即表示，即k k= = ，倾斜角是倾斜角是9090的直线斜率不存在的直线斜率不存在. .过两点的直线的斜率公式过两点的直线的斜率公式经过两点经过两点P P1 1（x x1 1, ,y y1 1）, ,P P2 2( (x x2 2, ,y y2 2) () (x x1 1x x2 2) )的直线的直线的斜率公式为的斜率公式为k k= = 正切值正切值tan tan .1

48、212xxyy2.2.直线方程的五种形式直线方程的五种形式名称名称方程方程适用范围适用范围点斜式点斜式不含垂直于不含垂直于x x轴的直线轴的直线斜截式斜截式不含垂直于不含垂直于x x轴的直线轴的直线两点式两点式不含直线不含直线x x= =x x1 （x x1x x2）和直线和直线y y= =y y1 （y y1y y2）)(11xxkyybkxy121121xxxxyyyy截距式截距式不含垂直于坐标轴和过原不含垂直于坐标轴和过原点的直线点的直线一般式一般式平面直角坐标系内的直线平面直角坐标系内的直线都适用都适用1byax)0(022BACByAx3.3.过过P P1 1（x x1 1，y y1

49、 1），），P P2 2（x x2 2，y y2 2）的直线方程）的直线方程（1 1）若）若x x1 1= =x x2 2, ,且且y y1 1y y2 2时，直线垂直于时，直线垂直于x x轴，方程轴，方程为为 ; ;(2)(2)若若x x1 1x x2 2, ,且且y y1 1= =y y2 2时，直线垂直于时，直线垂直于y y轴，方程为轴，方程为 ; ;(3)(3)若若x x1 1= =x x2 2=0=0，且，且y y1 1y y2 2时，直线即为时，直线即为y y轴，方程轴，方程为为 ; ;(4)(4)若若x x1 1x x2 2, ,且且y y1 1= =y y2 2=0=0时，直线

50、即为时，直线即为x x轴，方程轴，方程为为 . .x x= =x x1 1y y= =y y1 1x x=0=0y y=0=04.4.线段的中点坐标公式线段的中点坐标公式 若点若点P P1 1、P P2 2的坐标分别为（的坐标分别为（x x1 1，y y1 1），）， （x x2 2，y y2 2），且线段），且线段P P1 1P P2 2的中点的中点M M的坐标为（的坐标为（x x, ,y y），）， 则则 ，此公式为线段，此公式为线段P P1 1P P2 2的中点的中点 坐标公式坐标公式. .222121yyyxxx基础自测基础自测1.1.过点过点M M（-2-2，m m），），N N（m

51、 m，4 4）的直线的斜率等）的直线的斜率等 于于1 1，则，则m m的值为的值为 （ ） A.1 B.4 C.1A.1 B.4 C.1或或3 D.13 D.1或或4 4 解析解析 k kMNMN= =1= =1，m m=1.=1.Amm242.2.经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（ ） A.A.（1818，8 8），（），（4 4，-4-4） B.B.（0 0，0 0），（），（ ，1 1） C.C.（0 0，-1-1），（），（3 3，2 2） D.D.（-4-4，1 1），（），（0 0，-1-1）3解析解析 对对A A过两点的直线斜率过两点的直

52、线斜率对对B B过两点的直线斜率过两点的直线斜率对对C C过两点的直线斜率过两点的直线斜率对对D D过两点的直线斜率过两点的直线斜率过过D D中两点的直线的倾斜角是钝角中两点的直线的倾斜角是钝角. .答案答案 D, 076418)4(8k, 0330301k, 010312k. 02104) 1(1k3.3.下列四个命题中，假命题是下列四个命题中，假命题是 （ ） A.A.经过定点经过定点P P（x x0 0，y y0 0）的直线不一定都可以用）的直线不一定都可以用 方程方程y y- -y y0 0= =k k( (x x- -x x0 0) )表示表示 B.B.经过两个不同的点经过两个不同的

53、点P P1 1（x x1 1，y y1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2） 的直线都可以用方程的直线都可以用方程( (y y- -y y1 1)()(x x2 2- -x x1 1)=)= ( (x x- -x x1 1)()(y y2 2- -y y1 1) )来表示来表示 C.C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方 程程 表示表示 D.D.经过点经过点Q Q（0 0，b b）的直线都可以表示为）的直线都可以表示为y y= =kxkx+ +b b 解析解析 A A不能表示垂直于不能表示垂直于x x轴的直线，故正确；轴的直线，故正确；

54、B B 正确；正确；C C不能表示过原点的直线即截距为不能表示过原点的直线即截距为0 0的直的直 线，故也正确；线，故也正确；D D不能表示斜率不存在的直线，不能表示斜率不存在的直线， 不正确不正确. .1byaxD4.4.如果如果A AC C0,0,且且B BC C0,0,那么直线那么直线AxAx+ +ByBy+ +C C=0=0 不通过不通过 （ ） A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 解析解析 由题意知由题意知A AB BC C0.0. 直线方程变为直线方程变为y y=- =- x x- - ， A AC C0 0，B

55、BC C0 0，A AB B0 0， 其斜率其斜率k k=- =- 0,0,在在y y轴上的截距轴上的截距b b=- =- 0,0, 直线过第一、二、四象限直线过第一、二、四象限. .CBABCBABC5.5.一条直线经过点一条直线经过点A A（-2-2，2 2），并且与两坐标轴），并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为围成的三角形的面积为1 1，则此直线的方程为，则此直线的方程为 . . 解析解析 设所求直线的方程为设所求直线的方程为 A A（-2-2，2 2）在直线上，）在直线上， 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1 1， | |a a|b b|=1|=1

56、 , 1byax122ba21 由可得由可得 由（由（1 1）解得）解得 方程组（方程组（2 2）无解）无解. . 故所求的直线方程为故所求的直线方程为 即即x x+2+2y y-2=0-2=0或或2 2x x+ +y y+2=0+2=0为所求直线的方程为所求直线的方程. . 答案答案 x x+2+2y y-2=0-2=0或或2 2x x+ +y y+2=0+2=0.21)2(21) 1 (abbaabba或，baba2112或，yxyx121112或题型一题型一 直线的倾斜角直线的倾斜角【例例1 1】 若若 ，则直线，则直线2 2x xcos +3cos +3y y+1=0+1=0 的倾斜角

57、的取值范围是的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B.A. B. C. D. C. D. 2,62,66, 0,6565,2题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围范围，再确定倾斜角范围. .解析解析 设直线的倾斜角为设直线的倾斜角为 , ,则则tan =- cos ,tan =- cos ,又又 ，0 0cos , cos , cos cos 0 0即即- tan - tan 0,0,注意到注意到0 0 , , . .答案答案 B322,62333323365探究提高探究提高 （1 1）求一个

58、角的范围，是先求这个角）求一个角的范围，是先求这个角某一个函数值的范围，再确定角的范围某一个函数值的范围，再确定角的范围. .（2 2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一）在已知两个变量之间的关系式要求其中一个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的 是消去变量是消去变量 得到。得到。知能迁移知能迁移1 1 直线直线x xsin -sin -y y+1=0+1=0的倾斜角的变化范的倾斜

59、角的变化范围是围是 （ ）A. B.(0,)A. B.(0,)C. D.C. D.解析解析 直线直线x xsin -sin -y y+1=0+1=0的斜率是的斜率是k k=sin ,=sin ,又又-1sin 1-1sin 1，-1-1k k11，当当00k k11时，倾斜角的范围是时，倾斜角的范围是 ；当当-1-1k k0 0时，倾斜角的范围是时，倾斜角的范围是 . .2, 04,4,434, 0D4, 0,43题型二题型二 直线的斜率直线的斜率【例例2 2】 已知直线已知直线l l过点过点P P（-1-1，2 2），且与以），且与以A A（-2-2，-3-3），），B B（3 3，0 0）

60、为端点的线段相交，）为端点的线段相交，求直线求直线l l的斜率的取值范围的斜率的取值范围. . 分别求出分别求出PAPA、PBPB的斜率，直线的斜率，直线l l处处于直线于直线PAPA、PBPB之间，根据斜率的几何意义利之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求用数形结合即可求. .解解 方法一方法一 如图所示，直线如图所示，直线PAPA的的斜率斜率直线直线PBPB的斜率的斜率, 5)2(1)3(2PAk思维启迪思维启迪当直线当直线l l绕着点绕着点P P由由PAPA旋转到与旋转到与y y轴平行的位置轴平行的位置PCPC时，它的斜率变化范围是时，它的斜率变化范围是5 5，+）；）；当直线当直线