第二章矩阵分解3_矩阵的最大秩分解

1、3 矩阵的最大秩分解矩阵的最大秩分解 前面两节介绍了前面两节介绍了n阶矩阵的几种分解，现在开始介绍几种长阶矩阵的几种分解，现在开始介绍几种长方阵的分解。本节介绍矩阵的最大秩分解，它在广义逆矩阵的方阵的分解。本节介绍矩阵的最大秩分解，它在广义逆矩阵的讨论中是十分重要的讨论中是十分重要的.定义定义2.11 设是一个设是一个 阶秩为阶秩为r0的复矩阵的复矩阵,记为记为 ,如果存在矩阵如果存在矩阵 和和 , 使得使得 (2.40)则称式则称式(2.40)为为A的最大秩分解（满秩分解）的最大秩分解（满秩分解）.定理定理2.7 设设 ,则必存在则必存在 和和,使得使得nm)0( rnmrCArmrCFnr

2、r CGFGA )0( rnmrCArmrCFnrr CGFGA 证证 当当 时时,可通过初等行变换将可通过初等行变换将A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B,即存在有限个即存在有限个m阶初等矩阵的乘积阶初等矩阵的乘积P,使得使得 , 或者或者把把 改写为分块阵改写为分块阵则有则有其中其中F是列满秩阵是列满秩阵,G是行满秩阵是行满秩阵. (证毕证毕)这个定理的证明过程给出了求矩阵满秩分解的初等行变换法这个定理的证明过程给出了求矩阵满秩分解的初等行变换法.rrankAnrrCGOGBPA,BPA11P)(1,rnmrnrmrCSCFSFPFGOGSFBPA1例例:用初等行变换法求矩阵用初等行变换法求矩

3、阵的满秩分解的满秩分解.解解 对对 进行初等行变换进行初等行变换,当当A变成阶梯阵变成阶梯阵B时，时，E就变成就变成初等矩阵初等矩阵P.122211212101AEA111000001130200012101100122201011210012101EA.故故000030202101B30202101G111011001P1120110011P121101F最后有最后有 求矩阵满秩分解的初等行变换法的缺点是必须求出求矩阵满秩分解的初等行变换法的缺点是必须求出，下面介绍一个不需求出，下面介绍一个不需求出 简便方法简便方法.30202101121101FGA1PP和1PP和定义定义2.12 如果如

4、果 ,并且满足条件并且满足条件:(1) B的前的前r行中每一行至少有一个非零元素行中每一行至少有一个非零元素,且从左到右第一个且从左到右第一个非零元素等于非零元素等于1;(2) B的后的后m-r行元素都等于零行元素都等于零;(3) B的第的第i行的第一个非零元素行的第一个非零元素1位于第位于第 列列, ;(4) B的的 列为单位矩阵列为单位矩阵 的前的前r列列.那么称那么称B为为 行标准形行标准形.定义定义2.13 称称n阶矩阵阶矩阵为置换矩阵为置换矩阵,其中其中 是单位矩阵的从左至右的是单位矩阵的从左至右的n个个列向量列向量, 是是 的一个排列的一个排列 .)0( rnmrCBij), 2

5、, 1(rirjjj 21rjjj,21mIHermite),(21njjjeeePneee,21njjj,21n,2,1,定理定理2.8 设设 的的 行标准形为行标准形为B(如定义如定义2.12), 令令A的的 列构成的列构成的 矩阵为矩阵为F,B的前的前r行构成的行构成的 矩阵为矩阵为G 则则A的满秩分解为的满秩分解为.证证 由条件知由条件知,存在存在m阶可逆矩阵阶可逆矩阵P,使得使得 , 或者或者根据定理根据定理2.7 ,设设 的分块阵为的分块阵为,可得最大秩分解可得最大秩分解 .rjjj,21)0( rnmrCArmnrFGA nrr CG,OGBPABPA11P)(1,rnmrnrm

6、rCSCFSFPHermiteFGA 设设A.B的分块矩阵为的分块矩阵为,对应对应A的的 行标准形行标准形B,构造阶置换矩阵构造阶置换矩阵,则有则有再根据再根据 ，得，得上式表明上式表明F是是AP1的前的前r列构成的矩阵列构成的矩阵,即即F是是A的的列构成的矩阵列构成的矩阵. 证毕证毕.),(),(2121nnbbbB,aaaAHermite),(1211nrrjjjjjeeeeeP),(111nrrjjjjaaaaAP)(121,),(11rnrrjjjjnrrCBOOBEbbbbBPBPA11212111)(FBFOOBESFBPPAPrrjjj,21定理定理2.8所提供的求矩阵最大秩的方

7、法所提供的求矩阵最大秩的方法,我们称为我们称为 行标行标准形法准形法.例例:用用 行标准形法求矩阵行标准形法求矩阵的最大秩分解的最大秩分解.解解 用初等行变换将用初等行变换将A化为化为 行标准形行标准形因此因此,这里这里 ,根据定理根据定理2.8, A的前三列组成矩阵的前三列组成矩阵611211042114000265141A00000511002101032001BA行3Arank3,2,1321jjjHermiteHermiteHermite而而B的前三个非零行组成矩阵的前三个非零行组成矩阵于是于是, 的最大秩分解为的最大秩分解为121421002141F511002101032001G5

8、11002101032001121421002141FGA最后需要指出最后需要指出, （2.40）给出的最大秩分解）给出的最大秩分解不是唯一的不是唯一的.事实上，任取一个事实上，任取一个r阶非奇异矩阵阶非奇异矩阵D，则，则 也是也是A的满秩分解。的满秩分解。下面将针对下面将针对“行行”的论述改为针对的论述改为针对“列列”，可得求的最大秩，可得求的最大秩分解的分解的 列标准形法列标准形法.例例:用用 列标准形法求前例中矩阵的最大秩分解列标准形法求前例中矩阵的最大秩分解.FGA GFGDFDA)(1Hermite005310351001000001000001BA 列Hermite因此因此,这里这里 , ,A 的前三行组成矩阵的前三行组成矩阵而而B的前三