第2章_平面问题的基本理论

1、第第2 2章章平面问题的基本理论平面问题的基本理论目录目录目录目录主要内容主要内容2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2.2 2.2 平面微分方程平面微分方程2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移2.5 2.5 物理方程物理方程2.6 2.6 边界条件边界条件目录目录主要内容（续）主要内容（续）2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2.10 2.10 常

2、体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题q 弹性力学平面问题共有应力、应变和位弹性力学平面问题共有应力、应变和位移移8 8个未知函数，且均为个未知函数，且均为 。q 弹性力学空间问题共有应力、应变和位移弹性力学空间问题共有应力、应变和位移1515个未知函数，且均为个未知函数，且均为 ；zyxf,yxf,目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 （4 4）约束约束作用于板边，平行于板的中面，沿板作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变。厚不变。 （3 3）面力面力作用于板

3、边，平行于板的中面，沿板作用于板边，平行于板的中面，沿板厚不变；厚不变； （2 2）体力体力作用于体内，平行于板的中面，沿板作用于体内，平行于板的中面，沿板厚不变；厚不变；条件是：条件是： 第一种：平面应力问题第一种：平面应力问题 （1 1）等厚度的）等厚度的薄板薄板；目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 坐标系如图选择。坐标系如图选择。目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题简化为平面应力问题简化为平面应力问题： 故只有平面应力故只有平面应力 存在。存在。0,2zzyzxz(在V中) , 0,zyzxz 由于薄板

4、很薄，应力是连续变化的，由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无又无z向外力，可认为：向外力，可认为：（1 1）两板面上无面力和约束作用，故）两板面上无面力和约束作用，故xyyx, ,目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 所以归纳为平面应力问题所以归纳为平面应力问题：a.a.应力中只有平面应力应力中只有平面应力 存在；存在；b.b.且仅为且仅为 。yxf,xyyx, ,（2 2）由于板为等厚度，外力、约束沿）由于板为等厚度，外力、约束沿z z向向不变，故应力不变，故应力 仅为仅为 。yxf,xyyx, ,目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题

5、平面应力问题与平面应变问题如：如：弧形闸门闸墩弧形闸门闸墩计算简图：计算简图：深梁深梁计算简图：计算简图：Fyfyf目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题因表面无任何面力，因表面无任何面力，0,0yxff 即：.0,zyzxz.0,zyzxzAB例题例题1 1：试分析：试分析ABAB薄层中的应力状态薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故接近平面应力问题。故表面上，有：故表面上，有：在近表面很薄一层内：在近表面很薄一层内：目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题 （2 2）体力体力作用于体内，平行于横截面，沿柱体作用

6、于体内，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；长度方向不变；第二种：平面应变问题第二种：平面应变问题条件是：条件是： （1 1）很长的）很长的常截面柱体常截面柱体； （3 3）面力面力作用于柱面，平行于横截面，沿柱作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变；体长度方向不变； （4 4）约束约束作用于柱面，平行于横截面，沿柱作用于柱面，平行于横截面，沿柱体长度方向不变。体长度方向不变。目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题坐标系选择如图：坐标系选择如图：oxzyozxy对称面zy目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题

7、故任何故任何z z 面（截面）均为对称面。面（截面）均为对称面。（平面位移问题）只有 ; , 0u,vw（平面应变问题）只有 ., , 0,0, 00 xyyxzyzxzyzxzw（1 1）截面、外力、约束沿）截面、外力、约束沿z z 向不变，外力、约束向不变，外力、约束 平行平行xy面，柱体非常长；面，柱体非常长；简化为平面应变问题：简化为平面应变问题：目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题（2 2）由于截面形状、体力、面力及约束沿）由于截面形状、体力、面力及约束沿z向 均 不 变 ， 故 应 力 、 应 变 和 位 移 均 为向 均 不 变 ， 故

8、应 力 、 应 变 和 位 移 均 为 。yxf,所以归纳为平面应变问题：所以归纳为平面应变问题：a.a.应变中只有平面应变分量应变中只有平面应变分量 存在；存在； b.b.且仅为且仅为 。yxf,xyyx,目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题例如：例如：隧道隧道挡土墙挡土墙yxyx目录目录l2.1 2.1 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题且仅为且仅为 。故只有故只有 ，本题中：本题中：0, 0zyzxzyxf,xyyx,oxyz例题例题2 2：试分析薄板中的应变状态。：试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。故为平面应变问题。.

9、 0,zyzx目录目录l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 平衡微分方程平衡微分方程-表示物体内任一点的表示物体内任一点的微分体的平衡条件微分体的平衡条件。 注意建立平衡微分方程时应用的基本假注意建立平衡微分方程时应用的基本假定，定， 考虑的三个平衡条件，方程中各项的量考虑的三个平衡条件，方程中各项的量纲等。纲等。 目录目录l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 在任一点（在任一点（x，y）取出一微小的平行六取出一微小的平行六面体面体 , ,作用于微分体上的力：作用于微分体上的力：体力：体力： 。1dd yxyxff ,应力：作用于各边上，应力：作用于各边上， 并表示出正面上并表示出

10、正面上 由坐标增量引起由坐标增量引起 的应力增量。的应力增量。目录目录l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程应用的基本假定应用的基本假定：连续性假定连续性假定应力用连续函数来表示。应力用连续函数来表示。小变形假定小变形假定用变形前的尺寸代替变用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。形后的尺寸。 目录目录l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程列出平衡条件列出平衡条件：合力合力 = = 应力面积，体力体积；应力面积，体力体积； 以正向物理量来表示。以正向物理量来表示。平面问题中可列出平面问题中可列出3 3个平衡条件。个平衡条件。目录目录l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程其中一阶微量抵消，

11、并除以 得： .01dd1d1)dd(1d1)dd(, 0yxfxxyyyyxxFxyxyxyxxxxxyxdd0.(a)yxxxfxy0yF0 .(b)yxyyfyx目录目录l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 , 0cM 当 时，得切应力互等定理,得,d21d21yyxxyxyxxyxy0d,dyx.(c)xyyx 代表代表A中所有点的平衡条件，中所有点的平衡条件， 因位（因位（ ，），）A；目录目录l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 适用的条件适用的条件-连续性，小变形；连续性，小变形；xy对平衡微分方程的说明：对平衡微分方程的说明： 应力不能直接求出；应力不能直接求出；

12、对两类平面问题的方程相同。对两类平面问题的方程相同。弹性力学弹性力学考虑微分体考虑微分体 的平衡（精确）。的平衡（精确）。材料力学材料力学考虑有限体考虑有限体 的平衡（近似）。的平衡（近似）。 目录目录l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程理论力学理论力学考虑整体考虑整体 的平衡（只决定整的平衡（只决定整体的运动状态）。体的运动状态）。 VVVd比较比较: :目录目录l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 当当 均平衡时，保证均平衡时，保证 ， 平衡；平衡；反之则不然。反之则不然。 VVVd 所以弹力的平衡条件是严格的，并所以弹力的平衡条件是严格的，并且是精确的。且是精确的。 目录目录

13、l2.2 2.2 平衡微分方程平衡微分方程理力（理力（ V ）材力（材力（ ）弹力（弹力（ ）bxhVd1dddyxVhV dxdy dx目录目录l2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态 已知已知坐标面上应力坐标面上应力 ， 求求斜面上的应力。斜面上的应力。问题的提出：问题的提出：xyyx, ,求解求解：取出一个三角形微分体（包含取出一个三角形微分体（包含x 面，面，y面，面，n面），边长面），边长目录目录).,(),(nnyxpppp.,mdsPAldsPBdsAB斜面应力表示斜面应力表示：l2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态目录目录l

14、2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态由平衡条件，并略去高由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得阶分量体力项，得(1)(1)求求（ , , ）(a)(a)xpyp,xyyyyxxxlmpmlp其中：其中：l=cos(n,x), m=cos(n,y)。目录目录l2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态(2)(2)求求（ ）将将 向法向，切向法向，切向投影，得向投影，得nn ,),(yxppp22222, (b)() ().nxyxyxynyxyxxylpmpl mlmlpmplmlm目录目录l2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的

15、应力状态 设某一斜面为主面，则只有由此建立方程，求出:, 0,nn(3)求主应力求主应力121221,22tan .xxyxyxyxy(c c)目录目录l2.3 2.3 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态将将x，y放在放在 方向，列出任一斜面上方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设应力公式，可以得出（设 ）21, 21 . 45 ,2,2121的斜面上应力成发生在与主nmaxminnmaxmin(4)(4)求最大，最小应力求最大，最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。说明：以上均应用弹力符号规定导出。(d)目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移几何方

16、程几何方程表示任一点的微分线段表示任一点的微分线段 上形变与位移之间的关系。上形变与位移之间的关系。通过点通过点P( (x, ,y) )作两作两正坐标向的正坐标向的微分线段微分线段, ,dyPBdxPA目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移变形前位置：变形前位置： 变形后位置：变形后位置： 各点的位置如图。各点的位置如图。 , , ,P A B,P A B目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移32sin,3!cos11,2 !tan.应用基本假定应用基本假定：连续性；连续性；小变形小变形。当很小时，目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移

17、刚体位移().xuudxuuxdxx由位移求形变：由位移求形变：PA 线应变线应变PA 转角转角tan.vdxvxdxx目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移.yvyPB 线应变线应变PB 转角转角同理，同理，yu. , ,yuxvyvxuxyyx所以平面问题的几何方程平面问题的几何方程为：目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 适用于区域内任何点，因为（适用于区域内任何点，因为（x, ,y） A A；对几何方程的说明：对几何方程的说明： 适用条件：适用条件：a.a.连续性；连续性；b.b.小变形。小变形。 应用小变形假定，略去了高阶小量应用小变形假

18、定，略去了高阶小量 线性的几何方程线性的几何方程；目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 几何方程是变形后物体连续性条件几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。的反映和必然结果。 形变和位移之间的关系：形变和位移之间的关系： 位移确定位移确定 形变完全确定：形变完全确定： 从物理概念看，各点的位置确定，从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定则微分线段上的形变确定 。 从数学推导看，位移函数确定，则从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定其导数（形变）确定 。目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 从物理概念看，从物理概

19、念看， ， 确定，物体还确定，物体还可作刚体位移。可作刚体位移。 从数学推导看，从数学推导看， ， 确定，求位移确定，求位移是积分运算，出现待定函数。是积分运算，出现待定函数。形变确定，位移不完全确定形变确定，位移不完全确定： 目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移由由 , ,两边对两边对y积分，积分，由由 , ,两边对两边对x积分，积分，例：若例：若 , ,求位移：求位移：0 xyyx0, (a)xyvuxy0 xxu0yyv).(0),(1yfyxu).(0),(2xfyxv代入第三式代入第三式目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移分开变量，分开

20、变量， 12d ( )d( ) ( ).(b)ddfyfxyx 因为几何方程第三式对任意的（因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当均应满足。当x（y）变化时，式变化时，式( (b) )的左，的左，右均应右均应= =常数常数 ，由此解出，由此解出 。可得。可得21, ff , . (c)oou uyv vx 目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移物理意义：物理意义：00,vu表示物体绕原点的刚体转动。表示物体绕原点的刚体转动。表示表示x，y向的刚体平移，向的刚体平移，目录目录l2.4 2.4 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移结论结论 形变确定，则与形变有关的位移

21、可以形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移确定，而与形变无关的刚体位移则未定。则未定。须通过边界上的约束条件来须通过边界上的约束条件来确定确定 。,oovu,oovu目录目录l2.5 2.5 物理方程物理方程物理方程物理方程表示（微分体上）应力和形变表示（微分体上）应力和形变 之间的物理关系。之间的物理关系。11(), ,11(), ,11(), .xxyzyzyzyyzxzxzxzzxyxyxyEGEGEG即为即为广义胡克定律广义胡克定律：目录目录l2.5 2.5 物理方程物理方程物理方程的说明物理方程的说明： 正应力只与线应变有关；切应力只与切正应力只与线应变有关；切

22、应力只与切 应变有关。应变有关。 是线性的代数方程；是线性的代数方程； 是总结实验规律得出的；是总结实验规律得出的； 适用条件适用条件理想弹性体；理想弹性体； 物理方程的两种形式物理方程的两种形式： 应变用应力表示，用于应变用应力表示，用于 按应力求解；按应力求解； 应力用应变（再用位移表示）应力用应变（再用位移表示） 表示，用于按位移求解。表示，用于按位移求解。目录目录l2.5 2.5 物理方程物理方程)(f)(f目录目录l2.5 2.5 物理方程物理方程平面应力问题的物理方程：平面应力问题的物理方程： 代入代入 ，得：，得：在在z z方向方向0zyzxz11(), (),(a)2(1).x

23、xyyyxxyxyEEE).( , 0yxzzEl2.5 2.5 物理方程物理方程 代入代入 得得, 0zyzxz221(),11(),(b)12(1).xxyyyxxyxyEEE平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程在在z z方向，方向，).(,0yxzzl2.5 2.5 物理方程物理方程n平面应力物理方程平面应力物理方程平面应变物理方程：平面应变物理方程：.1 ,12EE变换关系变换关系：.1 ,)1()21(2EE平面应变物理方程平面应变物理方程平面应力物理方程：平面应力物理方程：l2.5 2.5 物理方程物理方程思考题n1.1.试证：由主应力可以求出主应变，且两试证：由主应力可以

24、求出主应变，且两者方向一致。者方向一致。n2.2.试证：试证：3 3个主应力均为压应力，有时可以个主应力均为压应力，有时可以产生拉裂现象。产生拉裂现象。n3.3.试证：在自重作用下，圆环（平面应力试证：在自重作用下，圆环（平面应力问题）比圆筒（平面应变问题）的问题）比圆筒（平面应变问题）的变形大。变形大。l2.6 2.6 边界条件边界条件 位移边界条件位移边界条件 设在设在 部分边界部分边界上给定位移分量上给定位移分量 和和 , ,则有则有),()( ),()(svvsuuss（在 上)。（a）usus)(su)( sv 边界条件边界条件 表示在边界上位移与约表示在边界上位移与约束，或应力与面

25、力之间的关系。束，或应力与面力之间的关系。l2.6 2.6 边界条件边界条件 若为简单的若为简单的固定边固定边， 则有则有位移边界条件的说明：位移边界条件的说明：sus, 0 vu, 0)( , 0)(ssvuus（在在 上）。（上）。（b） 它是它是在边界上在边界上物体保持连续性的条物体保持连续性的条 件，或件，或位移保持连续性的条件位移保持连续性的条件。 它是它是函数方程函数方程，要求在，要求在 上每一点上每一点 ， 位移与对应的约束位移相等。位移与对应的约束位移相等。l2.6 2.6 边界条件边界条件在在23 中，通过三角形微分体的平衡条件，导中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应

26、力与斜面应力的关系式，出坐标面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件应力边界条件设在设在 上给定了面力分上给定了面力分 量量 , ,xyyyyxxxlmpmlp).( ),(sfsfyxs（在（在A中）。（中）。（c）l2.6 2.6 边界条件边界条件将此三角形移到边界上，并使斜面与边界将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得面重合，则得应力边界条件应力边界条件: :()( ), . (d)()( ),xyxsxyxysylmfssmlfs（在 上）l2.6 2.6 边界条件边界条件 它是边界上微分体的静力平衡条件；它是边界上微分体的静力平衡条件；应力边界条件的说明：应力边界条件的说明：

27、 式（式（c）在在A中每一点均成立，而中每一点均成立，而 式（式（d）只能在边界只能在边界 s上成立；上成立； 它是它是函数方程函数方程，要求在边界上每一点，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；上均满足，这是精确的条件；l2.6 2.6 边界条件边界条件 所有边界均应满足，无面力的边界所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边）（自由边） 也必须满足。也必须满足。 式（式（d）中，中， 按应力符号规定，按应力符号规定， ， 按面力符号规定；按面力符号规定；yfxf 位移位移, ,应力边界条件均为每个边界两应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示个，分别表示 ， 向的条件；向的条件；,

28、 0yxffxyxyyx, ,l2.6 2.6 边界条件边界条件若若x=a为正为正x 面，面，l = 1, m = 0, 则式则式( (d) )成为成为( ), (). (e)x ax x axxyyff当边界面为坐标面时，当边界面为坐标面时，yxbaxfyfxxfyfxyxxyl2.6 2.6 边界条件边界条件若若x=-b为负为负x 面，面，l = -1, m = 0 , 则式则式( (d) )成为成为( ), (). (f)xbx xbxxyyffyxbaxfyfxxfyfxyxxyl2.6 2.6 边界条件边界条件应力边界条件的两种表达式：应力边界条件的两种表达式： 在同一边界面上，应力

29、分量应等于对在同一边界面上，应力分量应等于对 应的面力分量（数值相等，方向一应的面力分量（数值相等，方向一 致）。致）。即在同一边界面上即在同一边界面上, ,应力数值应应力数值应 等于面力数值等于面力数值( (给定给定),),应力方向应同面应力方向应同面 力方向力方向( (给定给定) )。 在边界点取出微分体，考虑其平衡条在边界点取出微分体，考虑其平衡条 件件，得式（，得式（d）或（或（e），（，（f ）；）；l2.6 2.6 边界条件边界条件 在斜面上，在斜面上， 在坐标面上，由于应力与面力的在坐标面上，由于应力与面力的符号规定不同，故式（符号规定不同，故式（e），（，（f ）有区有区别。别

30、。例如：例如：.)( ,)(yyxsxfpfpsl2.6 2.6 边界条件边界条件lh/2h/2qyxoyyxxyyyxx例例1 1 列出边界条件：列出边界条件：1ql2.6 2.6 边界条件边界条件0( )0 ( )0.x 0 x 0 x,u,v边界()0, ()0.x x lxy x lxl,边界( ) ( )0.yhyxhyy22xhy,q ,2l边 界1( )0, ( ).yhyxhyy22hy,q2边 界l2.6 2.6 边界条件边界条件yxoqqqqbbaa例例2 2 列出边界条件：列出边界条件：xyyyxxl2.6 2.6 边界条件边界条件显然，边界条件要求在显然，边界条件要求在

31、 上，上， 也成抛物线分布。也成抛物线分布。b()0, ()0.yyyxybyb 边界：axx2()( ) , ()0.x xaxyxaxayqb边界：l2.6 2.6 边界条件边界条件 部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；部分边界上为应力边界条件；混合边界条件：混合边界条件： 同一边界上，一个为位移边界条件，同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。另一个为应力边界条件。l2.6 2.6 边界条件边界条件n例例3 3列出列出 的边界条件：的边界条件：ax .0)(,0)(,axxyaxuaxyxoal2.7 2.7 圣维南原理及其

32、应用圣维南原理及其应用 弹性力学问题是微分方程的边值问题。弹性力学问题是微分方程的边值问题。应力，形变，位移等未知函数必须满足应力，形变，位移等未知函数必须满足A内内的方程和的方程和S上的边界条件。主要的困难在于上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。难以满足边界条件。 圣维南原理圣维南原理可用于简化小边界上的应可用于简化小边界上的应力边界条件。力边界条件。l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 如果把物体的如果把物体的一小部分边界一小部分边界上的面力，上的面力，变换为分布不同但变换为分布不同但静力等效的面力静力等效的面力（主矢量（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），相同

33、，对同一点的主矩也相同），那么，那么，近处近处的应力分量将有显著的改变，的应力分量将有显著的改变，但但 远处远处所受的影响可以不计。所受的影响可以不计。圣维南原理：圣维南原理：l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用1 1. .圣维南原理只能应用于圣维南原理只能应用于一小部分边界一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）；（小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：圣维南原理的说明：4 4. .远处远处 指指“近处近处”之外。之外。3 3. .近处近处 指面力变换范围的一，二倍指面力变换范围的一，二倍 的局部区域；的局部区域；2 2. .静力等效静力等效 指两者主矢量相同

34、，对指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；同一点主矩也相同；l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 圣维南原理表明，在小边界上进行面力圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。明显影响。 圣维南原理推广：圣维南原理推广：如果物体一小部分边如果物体一小部分边界上的面力是界上的面力是一个平衡力系一个平衡力系（主矢量及主矩主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而

35、远处的应力可以不计。产生显著的应力，而远处的应力可以不计。l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用n例例1 1比较下列问题的应力解答：比较下列问题的应力解答：hFF/2F/2F/2F/2FF/b3465421321 )(bh 6543214321 l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用n例例2 2比较下列问题的应力解答：比较下列问题的应力解答：0 0 0 03412 0 02 01l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 圣维南原理的应用：圣维南原理的应用：1 1. .推广解答的应用；推广解答的应用；2 2. .简化小边界上的边界条件。简化小边界上的

36、边界条件。l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用：lx 精确的应力边界条件精确的应力边界条件如图，考虑如图，考虑 小边界，小边界，l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 上式是函数方程，要求在边界上任一上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。往难以满足。)(),(),(),(yfyxyfyxylxxyxlxx(a)在边界在边界 上，上，lx l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 在小边界在小边界x=l上，用下列条件代

37、替式上，用下列条件代替式(a)的条件：的条件： 在同一边界在同一边界 x=l 上，上， 应力的主矢量应力的主矢量 = = 面力的主矢量（给定面力的主矢量（给定) ); ; 应力的主矩应力的主矩( (M) = ) = 面力的主矩（给定）面力的主矩（给定）. .),(yxFF数值相等数值相等,方向一致方向一致.(b)圣维南原理圣维南原理的应用的应用积分的应力边界条件积分的应力边界条件l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 右端面力的主矢量，主矩的数值及方右端面力的主矢量，主矩的数值及方向，均已给定；向，均已给定； 左端应力的主矢量，主矩的数值及方左端应力的主矢量，主矩的数值及方向，

38、应与面力相同，并按应力的方向规定向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。确定正负号。l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用具体列出具体列出3 3个积分的条件：个积分的条件：)( 1)(1)()(1)(1)()( 1)(1)(2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/ShhylxhhxyhhxlxhhxNhhxlxhhxFdyyfdyMydyyfydyFdyyfdyl2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用即：即： 应力的主矢量，主矩的数值应力的主矢量，主矩的数值=面力的主面力的主矢量，主矩的数值；矢量，主矩的数值； 应力的主矢量，主矩的方向应力的主矢量

39、，主矩的方向=面力的主矢面力的主矢量，主矩的方向。量，主矩的方向。 式中应力主矢量，主矩的正方向式中应力主矢量，主矩的正方向,正负号的确定：正负号的确定： 应力的主矢量的正方向应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，即应力的正方向， 应力的主矩的正方向应力的主矩的正方向，即（正应力），即（正应力） （正（正的矩臂）的方向。的矩臂）的方向。l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用讨论：讨论： 1. 1.如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式如果只给出面力的主矢量，主矩如图，则式(c)右边直接代入面力的主矢量，主矩；右边直接代入面力的主矢量，主矩； 2. 2.在负在负 x 面，面， ，

40、由于应力，面力的符号，由于应力，面力的符号规定不同，应在式规定不同，应在式(c)中右端取负号；中右端取负号； 3. 3.积分的应力边界条件积分的应力边界条件(b)或或(c)虽是近似的，虽是近似的，但只用于小边界，不影响整体解答的精度。但只用于小边界，不影响整体解答的精度。lxl2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用 精确的应力边界条件精确的应力边界条件 积分的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数方程个数 2 3方程性质方程性质 函数方程（难满足）函数方程（难满足） 代数方程（易满足）代数方程（易满足）精确性精确性 精确精确 近似近似适用边界适用边界 大，小边界大，小边界 小边界

41、小边界比较：比较：l2.7 2.7 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用思考题思考题1 1、为什么在大边界（主要边界）上，不能、为什么在大边界（主要边界）上，不能 应用应用圣维南原理圣维南原理？2 2、试列出负、试列出负 面上积分的应力边界条件，面上积分的应力边界条件， 设有各种面力作用，或面力的主矢量和设有各种面力作用，或面力的主矢量和主矩作用。主矩作用。xl2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 平面应力问题与平面应变问题，除平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似同。因此，两者的解答相

42、似, ,只须将只须将 进进行变换。以下讨论行变换。以下讨论平面应力问题平面应力问题。1.1.平面问题的基本方程及边界条件平面问题的基本方程及边界条件,El2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 平面应力问题平面应力问题0,0.yxxxyxyyfxyfyx 平面域平面域A内的基本方程内的基本方程: :平衡微分方程平衡微分方程（在（在A内）内）l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题, , .xyxyuvvuxyxy11(),(),2(1).xxyyyxxyxyEEE几何方程几何方程物理方程物理方程（在（在A内）内）（在（在A内）内）l2.8 2.8 按位移求解平面问题

43、按位移求解平面问题应力边界条件应力边界条件 位移边界条件位移边界条件 （在（在 上）上）（在（在 上）上）(),().xyxsxyxysylmfmlfs),(vuxyyxxyyxus(),().ssuuvvS上边界条件上边界条件: : 8 8个未知函数个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。必须满足上述方程和边界条件。l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 按位移求解（位移法）按位移求解（位移法）取取 ， 为基为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含变和应力，导出只含 ， 的方程和边界条的方程和边界条件，从而求出件，从而求出

44、 ， ；再求形变和应力。；再求形变和应力。2.2.解法解法消元法消元法 uvuvuvl2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 按应力求解（应力法）按应力求解（应力法）取取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。件，从而求出应力；再求形变和位移。xyyx, 这是弹力问题的两种基本解法这是弹力问题的两种基本解法。l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题3. 按位移求解按位移求解uvu vu vu v 将其他未知函数用将其他未

45、知函数用 ，表示：，表示： 形变形变用用 ，表示，表示几何方程几何方程; ; 应力应力先用形变来表示（物理方程），先用形变来表示（物理方程）， 再代入几何方程，用再代入几何方程，用 ，表示，表示: : 取取 ， 为基本未知函数；为基本未知函数；l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题2222()(),11()(),(a)11().2(1)2(1)xxyyyxxyxyEEuvxyEEvuyxEEvuxyl2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 在在A中导出求中导出求 ，的基本方程，的基本方程将式将式( (a) ) 代入平衡微分方程，代入平衡微分方程，222222222

46、22211()0,122( ) (b)11()0.122xyEuuvfxyx yAEvvufyxx y u vu v上式是用上式是用 ，表示的平衡微分方程。，表示的平衡微分方程。l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题位移边界条件位移边界条件 （在（在 上）上）( (d) )（在（在 上）上）( (c) ).)(,)(vvuussus.)(21)(1,)(21)(122ysxsfyuxvlxuyvmEfxvyumyvxulEs应力边界条件应力边界条件将式将式(a)代入应力边界条件代入应力边界条件， 在在S S上的边界条件上的边界条件式式( (b)b)，(c)(c)，(d)(d)是

47、求解是求解 ， 的条件的条件; ;也是校核也是校核 ， 是否正确的全部条件。是否正确的全部条件。l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 按位移求解时，按位移求解时， ， 必须满足必须满足A A内的方程内的方程( (b)b)和边界条件和边界条件( (c)c)，(d)(d)。u vuvuv归纳：归纳：l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题n 按位移求解（位移法）的优缺点：按位移求解（位移法）的优缺点： 求函数式解答困难，求函数式解答困难，但在近似解法但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用广泛的应用。 适用性广适

48、用性广可适用于任何边界条件。可适用于任何边界条件。l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题n例例1 1 考虑两端固定的一维杆件。图考虑两端固定的一维杆件。图( (a)a)，只受重只受重力作用，力作用， 。试用位移法求解。试用位移法求解。gffyx , 0 xoyloyxgg( (a) () (b) )l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题解：解：为了简化，设为了简化，设位移位移 按位移求解，位移应按位移求解，位移应满足式满足式( (b),(),(c),(),(d) )。代入式代入式( (b),),第一式自第一式自然满足，第二式成为然满足，第二式成为, 0).(,

49、0yvvu.2222Egdyvdyvxoyloyxgg ( (a) () (b) ) 均属于位移边界条件，代入均属于位移边界条件，代入 ，l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题.22BAyyEgvly, 00( )0,yv0;B v得得得得( )0,y lv.2gAlE解出解出l2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题).2(2),2(2),(22ylgylEgylyEgvyy在在 处，处，2ly . 0y代入代入 ，并求出形变和应力，并求出形变和应力，vl2.8 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题思考题思考题试用位移法求解图试用位移法求解图( (b) )

50、的位移和应力。的位移和应力。l2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程（1 1）取）取 为基本未知函数；为基本未知函数；xyyx,1.1.按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题（2 2）其他未知函数用应力来表示）其他未知函数用应力来表示: : 位移用形变位移用形变应力表示，须通过积分，应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故时既复杂又难以求解。故在按应力求解时在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题

51、只考虑全部为应力边界条件的问题, ,即即 。 形变用应力表示（物理方程）。形变用应力表示（物理方程）。)0,(usssl2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程 在在A内求解应力的方程内求解应力的方程.22222yxxyxyyxvu( (b) ) 从几何方程中消去位移从几何方程中消去位移 ， ，得，得相容方相容方程（形变协调条件）程（形变协调条件）： 补充方程补充方程从几何方程，物理方程中从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出消去位移和形变得出 : :平衡微分方程平衡微分方程 （2个）。个）。 ( (a) )l2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题

52、 相容方程相容方程 代入物理方程，消去形变，并应用平衡代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得微分方程进行简化，便得用应力表示的相容用应力表示的相容方程方程 ： 2()(1)(),(c)yxxyffxy .22222yx其中其中 (4) 应力边界条件假定应力边界条件假定全部边界上均全部边界上均为应力边界条件为应力边界条件 。)0,(usssl2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程（1 1）A内的平衡微分方程；内的平衡微分方程；（2 2）A内的相容方程；内的相容方程；（3 3）边界）边界 上的应力边界条件；上的应力边界条件；（4 4）对于多连体，还

53、须满足位移的单值条）对于多连体，还须满足位移的单值条 件（见第四章）。件（见第四章）。 归纳：归纳：xyyx,ss (1)(1)- -(4)(4)也是校核应力分量是否正确的全部条件也是校核应力分量是否正确的全部条件。 按应力求解平面应力问题按应力求解平面应力问题 ，应力应力 必须满足下列条件必须满足下列条件：l2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程2.2.形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调形变协调对应的位移存在对应的位移存在位移必然连续；位移必然连续；形变不协调形变不协调对应的位移不存在对应的位移不存在不是物体实不是物体

54、实际存在的形变际存在的形变微分体变形后不保持连续。微分体变形后不保持连续。 形变协调条件是与形变对应的位移存在形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。且连续的必要条件。 形变协调条件是位移连续性的必然结形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体果。连续体位移连续位移连续几何方程几何方程形变协调形变协调条件。条件。l2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程点共点（连续），点共点（连续），变形后三连杆在变形后三连杆在 点共点，则三连杆点共点，则三连杆的应变必须满足一的应变必须满足一定的协调条件。定的协调条件。例例1 1 三连杆系统，由于物体是连续的，变三连

55、杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在形前三连杆在 DD FDDl2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程1.1.试比较按位移求解的方法和按应力求解的试比较按位移求解的方法和按应力求解的 方法，并与结构力学中的位移法和力法作方法，并与结构力学中的位移法和力法作 比较。比较。2.2.若若 是否可能是否可能成为弹性体中的形变？成为弹性体中的形变？3.3.若若 是是否可能为弹性体中的应力？否可能为弹性体中的应力？,)(,22xybabxayxyyx, 0, 022xyyxyxbyaxff思考题思考题l2.9 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方

56、程l2.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 相容方程相容方程 ( (A) () (a) )1.1.常体力情况下按应力求解的条件常体力情况下按应力求解的条件0)(2yx0,0yxyyxyxxfxyfyx( (A) () (b) ) 平衡微分方程平衡微分方程 l2.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 应力边界条件应力边界条件 ss .)( ,)(ysxyyxsyxxflmfml( (S) () (c) )0,(usss 多连体中的位移单值条件。多连体中的位移单值条件。 ( (d) )l2.10 2.10 常体力情况下的简化常体

57、力情况下的简化 应力函数应力函数 在在 - - 条件下求解条件下求解 的全部的全部条件条件( (a) )，( (b) )，( (c) )中均不包含弹性常数，中均不包含弹性常数，故故 与弹性常数无关。与弹性常数无关。2.2.在常体力在常体力, ,单连体单连体, ,全部为应力边全部为应力边界条件（界条件（ ）下的应力）下的应力 特征：特征：ss xyyx,xyyx,xyyx,l2.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数结论：结论：不同材料的应力不同材料的应力( )( )的理论解相的理论解相 同，用试验方法求应力时，也可以用不同，用试验方法求应力时，也可以用不 同的材

58、料来代替。同的材料来代替。xyyx,两类平面问题的应力解（两类平面问题的应力解（ ）相同，）相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应变的试验时可用平面应力的模型代替平面应变的模型。模型。 xyyx,l2.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数 3. 3.常体力下按应力求解的简化常体力下按应力求解的简化, , 0. (e)xxyyxyf xf y 22222, , . (f)xyxyyxx y 对应的齐次微分方程的对应的齐次微分方程的通解通解，艾里已求，艾里已求出为出为 非齐次微分方程非齐次微分方程( (b) )的任一的任一特解特解，如取，如取（1 1）常体力下平

59、衡微分方程的）常体力下平衡微分方程的通解通解是：是： 非齐次特解非齐次特解+ +齐次通解。齐次通解。l2.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数. yxy,fxx,fy2xyy22yx22x所以满足所以满足平衡微分方程的通解为平衡微分方程的通解为: :( (g)g)为艾里应力函数。为艾里应力函数。l2.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数如果，如果，则则A，B均可用一个函数表示，即均可用一个函数表示，即说明：说明：).()(xfyyfx),()(ByAx. ,xfByfAa.a.导出艾里（导出艾里（Airy）应力函数应力函数 ，

60、是应用偏，是应用偏导数的相容性，即导数的相容性，即l2.10 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数d. 由由 再去求应力（式（再去求应力（式（g）, ,必然满足平必然满足平衡微分方程，故不必再进行校核。衡微分方程，故不必再进行校核。c. 仍然是未知的。但已将按应力仍然是未知的。但已将按应力 求解转变为按应力函数求解转变为按应力函数 求解，求解，从从3 3个未知函数减少至个未知函数减少至1 1个未知函数个未知函数 。b. .导出应力函数导出应力函数 的过程，也就证明了的过程，也就证明了 的的存在性，故可以用各种方法去求解存在性，故可以用各种方法去求解 。),(yx),