2016数学分析2复习题答案(级数部分)

1、精选优质文档-倾情为你奉上级数一、数项级数1. 级数收敛的定义为： (1). 用定义判别的敛散性. 解 ，故发散.(2) 证明: 若收敛, 且, 则级数收敛.证明 设的和为S，与的部分和分别为，则于是又，从而故收敛，即收敛.2. 级数收敛的柯西准则为：(1) 用柯西收敛准则证明：若，收敛，则级数收敛，其中为常数. 3. 级数收敛的必要条件为： 如：判别的敛散性: 4. 收敛级数的性质（简述）如： 5. 级数部分和数列有界是级数收敛的必要条件, 部分和数列有界是正项级数收敛的充要条件.如证明：若单调减少，且，则级数收敛.证明 情形1 由已知 级数, 收敛.情形2 单调减少，设的部分和为，则即此正

2、项级数的部分和数列有界，于是级数收敛.6. 重要比较标准：； ; 7. 叙述正项级数比较法及其极限形式、比式法与根式法的极限形式、积分判别法，并判别敛散性：(1) 解 或 (2)解 设，则，由比式判别法，发散.(3)解 (4)解 (5)解 (6)解 ，级数发散.p>0时， 而p=1时, ,发散. p¹1时, 故在8. 绝对收敛与条件收敛的定义为： 条件收敛的级数本身一定收敛.(1)若绝对收敛，则必定 收敛 ；若条件收敛，则必定 发散. (2)证明：若与都收敛，则收敛. 证明 于是(7) 设绝对收敛，证明：也绝对收敛.证明 由收敛，知收敛 从而有界，即于是，故绝对收敛，从而收敛.

3、9. 叙述交错级数的莱布尼茨判别法；叙述狄利克雷判别法及阿贝尔判别法；简述绝对收敛级数的性质.判别下列级数判断下列级数的收敛性，并指出是绝对收敛还是条件收敛：(1) 解 由于, 发散，所以发散. 又单调减少趋于零, 所以收敛, 原级数条件收敛.(2)解 单调减少趋于零，由狄利克雷判别法原级数收敛， 同理可证 但 从而发散，即原级数条件收敛.(3) 解 由Leibniz判别法收敛，单调有界，由阿贝尔判别法，原级数收敛，但 即原级数条件收敛.(4) 解 从而原级数绝对收敛，也收敛.(5)，其中，且解 由，知 记，于是从而原级数收敛, 即原级数条件收敛.(6) 解 . 1)2) 单调有界，由阿贝尔判

4、别法原级数收敛，但从而即原级数条件收敛.3)解 , 故绝对收敛,而条件收敛，故原级数条件收敛.二、函数列及其一致收敛性1. 极限函数、收敛域2. 在数集一致收敛于的定义; 叙述函数列一致收敛的柯西准则及确界极限法(13.1, 13.2）. (1), ，. ； (2)判别一致收敛性 1)在R解 （），故在上一致收敛.2) 在; 在解 ，故在上一致收敛.在上不一致收敛. 3) 解 （），故在上不一致收敛.另解，又故即于是在上不一致收敛.3. 一致收敛函数列的性质(1)若的每个函数都在连续,且, 则 ( A )A、当在上间断时,在上不一致收敛; B、当在上连续时,在上一致收敛;C、当在上不一致收敛时

5、, 在上间断; D、在上有界. (2)证明：若在R一致收敛于, 且, 在R一致连续，则在R也一致连续.证明 由已知在上一致收敛于，有.从而对有 及 .由在R一致连续 ，只要，此时，即在R也一致连续.三、函数项级数 1. 收敛域、和函数的定义为2. 函数项级数的一致收敛与不一致收敛及其判别(P33-37）(1) 叙述函数项级数在数集D一致收敛的定义(2) 叙述函数项级数一致收敛的柯西准则 (3) 叙述函数项级数一致收敛的必要条件(4) 叙述M判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法，并判别一致收敛性： 1). 在R 解 当时，由于收敛，由M判别法，原级数在R上一致收敛. 2).在 解 当，时，而 由

6、比式判别法，收敛, 从而由M判别法，原级数在R上一致收敛. 3). 在R 解 当时，级数收敛，从而由M判别法，原级数在R上一致收敛. 4).在R解 设，则对固定的关于是单调的，且即在上一致收敛于零，同时，由狄利克雷判别法，在上一致收敛.3. 叙述和函数的连续性、可积性、可微性定理(1) 证明：函数在上连续可导，并求解 由于，而收敛，由M判别法，在上一致收敛，而每项在连续，所以在上连续. 由上知在上收敛，在上连续, 且，由M判别法，在上一致收敛，从而在上可导，.(注本题也可只证可导性)(2) 证明：函数在上内闭一致收敛、可积；并计算. 证 ，当，有，而，于是收敛，由M判别法，在上一致收敛，即在上

7、内闭一致收敛，又每项在连续，所以在上可积.(3) 证明：函数并求其积分.证 于是上一致收敛，又每项在连续，所以0.4. 总结求和函数 方法并求和函数：（1） 解 .对于，当时，级数收敛，当时，级数发散，当时，级数通项不趋于0，发散，于是级数的收敛域为. 同理可求的收敛域为. 令 则 于是于是原级数的收敛域为，且（2） 解 ，当时，级数收敛，当时，级数发散，当时，级数为，由莱布尼兹判别法收敛，于是级数的收敛域为. 令 当当，则，故又于是 从而 (3) 解 于是级数的收敛域为.令，于是和函数四、幂级数1.叙述阿贝尔定理：(1)已知在处发散，则其在处（C ）(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散

8、 (2)设幂级数在点处收敛 , 则( B )(A)在点 x =3处绝对收敛 (B)在点x =2处绝对收敛 (C)在点x =3处收敛 (D)在点x =4处发散.2.求收敛半径：(皆可看做,对用比式或根式法)(1)已知在处条件收敛，则收敛半径为_2_.(2) 求收敛域： 1) ；解 当时，级数收敛，当时，级数发散，当时，级数通项不趋于0，发散，于是级数的收敛域为. 2) (也可用解 当时，级数收敛，当时，级数发散，当时，级数通项不趋于0，发散，于是级数的收敛域为.3.幂级数的性质（P51-52包括和函数的连续性、可积性与可导性（积分及求导前后的幂级数收敛半径相同）4. 函数展开为幂级数 1） 的泰

9、勒级数为;麦克劳林级数为.2） 基本展开式 cosx 利用即得 3） 用间接法展开成麦克劳林级数 1> 解 2> cos2x 解 cos2x3> 解 4> 5x 3> 五、 函数展开为傅立叶级数1. 三角函数系的正交性；傅立叶系数; 傅立叶级数.2. 叙述收敛定理及黎曼-勒贝格定理.3. 的奇函数展开成傅立叶级数时，奇函数换为偶函数时，傅立叶系数.练习 1、将下列函数在指定的区间展开成傅立叶级数 (1) （a是常数）（2），并求的和2、证 对做偶式周期延拓后的函数满足收敛定理, 连续，其傅里叶级数;3、设在可积，证明:若, 有, 则的傅立叶系数.证 (1) 则于是

10、(),同理可证, ().4、P89 第2题证明帕塞瓦尔等式.证 由已知由于f(x)在可积,所以 f(x)在有界，在一致收敛，故在一致收敛，于是判断与填空：( 对的题目有：1,4,5,6,7,10,11,13,14,18,20,21,23,26,29,30,33 )1. 在上可积, 但不一定存在原函数( ) 2.( )3.设. 则当时,有 ( )4.任意可积函数都有界,但反之不真( ) 5.若,则必发散 ( )6.的傅里叶级数不一定收敛于 ( ) 7.若一致收敛, 则 ( )8.若收敛, 则亦收敛( ) 9.若在上一致收敛,则它在上绝对收敛 ( )10.上有界函数可积有对的一个分法，使 ( )1

11、1.任一幂级数在它的收敛区间内是绝对收敛的 ( ) 12.幂级数的收敛区间就是它的收敛域 ( )13.任一幂级数在它的收敛区间内总可逐项求导( ) 14若收敛，则一定有收敛 ( )15.若各阶导数皆存在，则在上可展成的幂级数 ( )16.函数列在I上一致收敛是指：对和,当时,有 ( )17.若函数项级数在I上一致收敛，则在I上也一致收敛 ( )18.设以为周期的函数在区间上按段光滑, 则在每一点,的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值( )19.若是以为周期的连续的奇函数，则傅立叶系数 ( )20.若收敛 , 则必有 ( ) 21.设I上收敛于. 若存在数列I, 使,则在I上不一致收敛 ( )22. 在-1,1上的傅立叶级数的和函数是,则23.若，则发散( )24.若敛， 则收敛( )25.若在只有有限个间断点，则在必可积( )26.,则P<M<N ( )27.设级数