2016-2017年山西省重点中学协作体高三（上）期末数学试卷(解析版)

1、2016-2017学年山西省重点中学协作体高三（上）期末数学试卷一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知全集U=R，集合A=x|y=，集合B=y|y=2x，xR，则（RA）B=（）Ax|x2Bx|0x1Cx|1x2Dx|x02（5分）设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（1t），且x时，f（x）=x2，则f（3）+f（的值等于（）ABCD3（5分）设集合M=x|0x3，N=x|0x2，那么“aM”是“aN”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分

2、）已知命题p：“xR，exx10”，则命题p（）AxR，exx10BxR，exx10CxR，exx10DxR，exx105（5分）已知x，则函数y=4x2+的最大值是（）A2B3C1D6（5分）函数的零点个数为（）A2B3C4D57（5分）若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A2，1B2，2+C，D0，+）8（5分）今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，

3、第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是（）A21257B21147C21038D29309（5分）函数f（x）=|x5|+2x1的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）10（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）ABCD11（5分）设点M（x1，f（x1）和点N（x2，f（x2）分别是函数f（x）=sinx+x3和g（x）=x1图象上的点，且x10，x20，若直线MNx轴，则M，N两点间的距离的最小值为（）A1B2C3D412（5分）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，

4、若PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（）ABCD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共15分）13（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是，体积是14（5分）设函数则不等式f（x）f（1）的解集是15（5分）已知函数满足2f（x）f（x）=3x，则f（x）的解析式为16（5分）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f（x）存在，且导函数f（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f（x）=（f（x），若f（x）0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是（）Af（x）=sinx+cosxBf（x）=lnx2xCf（x

5、）=x3+2x1Df（x）=xex三、解答题：（本大题分必考题和选考题两部分，共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）必考题：本部分共五大题，每题12分，共60分17（12分）在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求an；（）设bn=log3an，求数列bn的前n项和Sn18（12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（）求频率分布直方图中a的值；（）分别求出成绩落在50，60）与60，70）中的学生人数；（）从成绩在50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在60，70）中的概率19（12分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角

6、形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60°，O为EF的中点（）求证：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值20（12分）已知椭圆的标准方程为：+=1（a0）（1）当a=1时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率；（2）过椭圆的右焦点F2的直线与圆C：x2+y2=4a2（常数a0）交于A，B两点，求|F2A|F2B|的值21（12分）已知函数f（x）=x33ax2+3x+1（）设a=2，求f（x）的单调区间；（）设f（x）在区间（2，3）内至少有一个极值点，求a的取值范围选考题：考生在下列三题中任选一题作答，选修4-4：极

7、坐标与参数方程22（10分）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（，）对应的参数=，射线=与曲线C2交于点D（1，）（1）求曲线C1，C2的直角坐标系方程；（2）若点A（1，），B（2，+）都在曲线C1上，求+的值选修4-4：不等式选讲23已知|x12|1，|x22|1（1）求证：2x1+x26，|x1x2|2（2）若f（x）=x2x+1，求证：|x1x2|f（x1）f（x2）|5|x1x2|选修4-1：几何证明选讲24在圆O中，AB，CD是互相平行的两条弦，直线AE

8、与圆O相切于点A，且与CD的延长线交于点E，求证：AD2=ABED2016-2017学年山西省重点中学协作体高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）（2014许昌三模）已知全集U=R，集合A=x|y=，集合B=y|y=2x，xR，则（RA）B=（）Ax|x2Bx|0x1Cx|1x2Dx|x0【分析】由全集U=R，集合A=x|y=x|2xx20=x|0x2，求出RA=x|x0，或x2，再由B=y|y=2x，xR=y|y0，能求出（RA）B【解答】解：全集U=R，集合A=x|y=x|2x

9、x20=x|0x2，RA=x|x0，或x2，B=y|y=2x，xR=y|y0，（RA）B=x|x2故选A【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数性质的灵活运用2（5分）（2013淄博一模）设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（1t），且x时，f（x）=x2，则f（3）+f（的值等于（）ABCD【分析】利用奇函数的性质和对任意tR都有f（t）=f（1t），即可分别得到f（3）=f（0），再利用x时，f（x）=x2，即可得出答案【解答】解：定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（1t），f（3

10、）=f（13）=f（2）=f（2）=f（12）=f（1）=f（11）=f（0），=x时，f（x）=x2，f（0）=0，f（3）+f（=0故选C【点评】熟练掌握函数的奇偶性和对称性是解题的关键3（5分）（2006天津）设集合M=x|0x3，N=x|0x2，那么“aM”是“aN”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由题意NM，由子集的定义可选【解答】解：设集合M=x|0x3，N=x|0x2，MN，所以若“aM”推不出“aN”；若“aN”，则“aM”，所以“aM”是“aN”的必要而不充分条件，故B【点评】本题考查充要条件的判断和集合包含关系之间的联系

11、，属基本题4（5分）（2016福州模拟）已知命题p：“xR，exx10”，则命题p（）AxR，exx10BxR，exx10CxR，exx10DxR，exx10【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定【解答】解：命题p：“xR，exx10”，命题p：xR，exx10，故选：A【点评】题考查特称命题、含逻辑连接词的否定形式，属于基础题5（5分）（2016秋山西期末）已知x，则函数y=4x2+的最大值是（）A2B3C1D【分析】将函数y=4x2+变形为y=3（54x）+，再利用基本不等式求解【解答】解：x，4x50，y=4x2+=（4x5）+3=3（54x）+

12、32=32=1，当且仅当54x=，即x=1时取等号故选：C【点评】本题考查基本不等式的应用：求最值创造基本不等式适用的形式是本解法的关键基本不等式求最值时要注意三个原则：一正，即各项的取值为正；二定，即各项的和或积为定值；三相等，即要保证取等号的条件成立6（5分）（2014武陟县校级模拟）函数的零点个数为（）A2B3C4D5【分析】将函数零点个数，转化为图象交点的个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可得到结论【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=3cos，y=log2x+的图象，如图所示，由图象知它们有3个交点，即函数有3个零点故选B【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象交点之间的关系，体现

13、了转化的思想，同时考查了学生利用图形分析解决问题的能力7（5分）（2016秋山西期末）若圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是（）A2，1B2，2+C，D0，+）【分析】求出圆心（2，2）与半径3，则圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2可化为圆心到直线l：ax+by=0的距离d；从而求直线l的斜率的取值范围【解答】解：圆x2+y24x4y10=0可化为（x2）2+（y2）2=18，则圆心为（2，2），半径为3；则由圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=

14、0的距离为2可得，圆心到直线l：ax+by=0的距离d32=；即，则a2+b2+4ab0，若a=0，则b=0，故不成立，故a0，则上式可化为1+（）2+40，由直线l的斜率k=，则上式可化为1+k24k0，则2，2+，故选B【点评】本题考查了直线与圆上点的距离的应用，题意中将圆x2+y24x4y10=0上至少有三个不同点到直线l：ax+by=0的距离为2可化为圆心到直线l：ax+by=0的距离d；是本题解答的关键，属于中档题8（5分）（2016秋山西期末）今年“五一”期间，某公园举行免费游园活动，免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30

15、分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来按照这种规律进行下去，到上午11时公园内的人数是（）A21257B21147C21038D2930【分析】先设每个30分钟进去的人数构成数列an，确定求数列an的通项公式，由于从早晨6时30分到上午11时，共有10个30分钟，故需求数列an的前10项和，再由等比数列前n项和公式即可得上午11时园内的人数【解答】解：设每个30分钟进去的人数构成数列an，则a1=2=20，a2=41，a3=82，a4=163，a5=324，an=2n（n1）设数列an的前n项和为Sn，依题意，只需求S10=（20）

16、+（221）+（232）+（2109）=（2+22+23+210）（1+2+9）=21147故选B【点评】本题考查数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，考查将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题的能力，属于中档题9（5分）（2016秋山西期末）函数f（x）=|x5|+2x1的零点所在的区间是（）A（0，1）B（1，2）C（2，3）D（3，4）【分析】本题可求出相应区间端点的值，由连续函数根的存在性定理，端点值异号时，该区间内有根，得本题的解【解答】解：函数f（x）=|x5|+2x1，f（0）=|05|+21=0，f（1）=|15|+20=30，f（2）=|25|+21=10，f（3）

17、=|35|+22=20，f（4）=|45|+23=70f（2）f（3）0，函数f（x）=|x5|+2x1的零点所在的区间是（2，3）故选C【点评】本题考查了方程根的存在性定理，本题难度不大，属于基础题10（5分）（2016邵阳三模）执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）ABCD【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S1，退出循环，输出S的值为【解答】解：模拟执行程序，可得S=600，i=1执行循环体，S=600，i=2不满足条件S1，执行循环体，S=300，i=3不满足条件S1，执行循环体，S=100，i=4不满足条件S1，执行循环体，S=25，i

18、=5不满足条件S1，执行循环体，S=5，i=6不满足条件S1，执行循环体，S=，i=7满足条件S1，退出循环，输出S的值为故选：C【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题11（5分）（2016秋山西期末）设点M（x1，f（x1）和点N（x2，f（x2）分别是函数f（x）=sinx+x3和g（x）=x1图象上的点，且x10，x20，若直线MNx轴，则M，N两点间的距离的最小值为（）A1B2C3D4【分析】求出导函数f（x），根据题意可知f（x1）=g（x2），令h（x）=sinx+x3+1

19、x，x0，求出其导函数，进而求得h（x）的最小值即为M、N两点间的最短距离【解答】解：当x0时，f'（x）=cosx+x20，函数y=f（x）在0，+）上单调递增点M（x1，f（x1）和点N（x2，g（x2）分别是函数f（x）=sinx+x3和g（x）=x1图象上的点，且x10，x20，若直线MNx轴，则f（x1）=g（x2），即f（x）=sinx1+x13=x21，则M，N两点间的距离为x2x1=sinx1+x13+1x1令h（x）=sinx+x3+1x，x0，则h（x）=cosx+x21，h（x）=sinx+x0，故h（x）在0，+）上单调递增，故h（x）=cosx+x21h（0）

20、=0，故h（x）在0，+）上单调递增，故h（x）的最小值为h（0）=1，即M，N两点间的距离的最小值为1，故选：A【点评】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12（5分）（2011云南模拟）过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的直线，交双曲线于P、Q，F1是另一焦点，若PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（）ABCD【分析】根据由题设条件可知，|F1F2|=2c，由此可以求出双曲线的离心率e【解答】解：由题意可知，|F1F2|=2c，4a2c2=b4=（c2a2）2=c42a2c2+a4，整理得e46e2+1=0，解得或（舍去）故选

21、C【点评】本题考查双曲线的离心率，解题要注意时双曲线的离心率大于1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共15分）13（5分）（2016绍兴二模）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是12，体积是【分析】由三视图知该几何体是组合体：上球下圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由球、圆柱的面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积；由柱体、球体体积公式求出几何体的体积【解答】解：由三视图可知该几何体是组合体：上面是半径为1的球；下面是一个圆柱，其底面圆的半径为1，高为3，且球切于圆柱上底面的圆心，S表面积=4×12+2×12+2×1&

22、#215;3=12，V体积=，故答案为：12；【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力14（5分）（2010海淀区校级模拟）设函数则不等式f（x）f（1）的解集是（3，1）（3，+）【分析】由函数，知f（1）=3当x0时，由f（x）f（1），可得x24x+63，得到x3或0x1当x0时，由f（x）f（1），可得x+63，得到3x0由此能求出不等式f（x）f（1）的解集【解答】解：函数，f（1）=14+6=3，当x0时，由f（x）f（1），可得x24x+63，即x24x+30，解得x3或x1，x0，x3或0x1当x0，由f（x）f（1）

23、，可得x+63，解得x3，所以3x0综上所述x|3x1或x3故答案为：（3，1）（3，+）【点评】本题考查一元二次不等式的解法和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用15（5分）（2016秋山西期末）已知函数满足2f（x）f（x）=3x，则f（x）的解析式为f（x）=x【分析】构造方程组，然后求出函数的解析式即可【解答】解：根据题意2f（x）f（x）=3x，用x代替x可得2f（x）f（x）=3x，消去f（x）可得：3f（x）=3x，f（x）=x，故答案为：f（x）=x【点评】本题考查函数解析式的应用问题，解题时应值域x的任意性，方程组的思想的应用16（5分）（20

24、10惠州模拟）给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f（x）存在，且导函数f（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f（x）=（f（x），若f（x）0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是（）Af（x）=sinx+cosxBf（x）=lnx2xCf（x）=x3+2x1Df（x）=xex【分析】对ABCD分别求二次导数，逐一排除可得答案【解答】解：对于f（x）=sinx+cosx，f（x）=cosxsinx，f（x）=sinxcosx，当x时，f（x）0，故为凸函数，排除A；对于f（x）=lnx2x，f（x）=，f（x）=，当x时，f（x）0，故为

25、凸函数，排除B；对于f（x）=x3+2x1，f（x）=3x2+2，f（x）=6x，当x时，f（x）0，故为凸函数，排除C；故选D【点评】本题主要考查函数的求导公式属基础题三、解答题：（本大题分必考题和选考题两部分，共5小题，满分60分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）必考题：本部分共五大题，每题12分，共60分17（12分）（2014福建）在等比数列an中，a2=3，a5=81（）求an；（）设bn=log3an，求数列bn的前n项和Sn【分析】（）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（）把（）中求得的an代入bn=log3an，得到数列bn的通项公

26、式，由此得到数列bn是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案【解答】解：（）设等比数列an的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得；（），bn=log3an，则数列bn的首项为b1=0，由bnbn1=n1（n2）=1（n2），可知数列bn是以1为公差的等差数列【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题18（12分）（2014重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（）求频率分布直方图中a的值；（）分别求出成绩落在50，60）与60，70）中的学生人数；（）从成绩在50，70）的学生任选2人，求此2人的

27、成绩都在60，70）中的概率【分析】（）根据频率分布直方图求出a的值；（）由图可知，成绩在50，60）和60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求（）分别列出满足50，70）的基本事件，再找到在60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可【解答】解：（）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005（）成绩落在50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在60，70）中的学生人数为3×0.005×10

28、15;20=3（）记成绩落在50，60）中的2人为A，B，成绩落在60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题19（12分）（2015北京）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60°，O为EF的中点（）求证：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；

29、（）若BE平面AOC，求a的值【分析】（）根据线面垂直的性质定理即可证明AOBE（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角FAEB的余弦值；（）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：（）AEF为等边三角形，O为EF的中点，AOEF，平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，AO平面EFCBAOBE（）取BC的中点G，连接OG，EFCB是等腰梯形，OGEF，由（）知AO平面EFCB，OG平面EFCB，OAOG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a2），BH=2a，EH=BHtan60°=，则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，0），=（a，

30、0，a），=（a2，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=1，即=（，1，1），平面AEF的法向量为，则cos=即二面角FAEB的余弦值为；（）若BE平面AOC，则BEOC，即=0，=（a2，0），=（2，0），=2（a2）3（a2）2=0，解得a=【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法20（12分）（2016秋山西期末）已知椭圆的标准方程为：+=1（a0）（1）当a=1时，求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率；（2）过椭圆的右焦点F2的直线与圆C：x2+y2=4a2（常数a0）交于A，B两点，求

31、|F2A|F2B|的值【分析】（1）当a=1时，a=2，b=，c=1，焦点坐标F1（1，0），F2（1，0），离心率e=；（2）当斜率不存在时，丨F1A丨=丨F1B丨=a，此时|F2A|F2B|=3a2；当斜率不存在时，AB：y=k（xa），代入圆方程，由韦达定理及两点之间的距离公式即可|F2A|F2B|的值【解答】解：（1）当a=1时，a=2，b=，c=1，焦点坐标F1（1，0），F2（1，0），（2分）离心率e=；（3分）（2）当斜率不存在时，丨F1A丨=丨F1B丨=a此时|F2A|F2B|=3a2； （5分）当斜率不存在时，AB：y=k（xa），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，

32、整理得：（1+k2）x22ak2x+k2a24a2=0，（7分）x1+x2=，x1x2=，（9分）丨F1A丨=丨x1a丨，丨F2A丨=丨x2a丨，|F2A|F2B|=（1+k2）丨x1x2a（x1+x2）+a2丨，=（1+k2）丨+a2丨，=3a2，（11分） |F2A|F2B|为定值3a2（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及性质，直线与圆的位置关系，韦达定理，两点间的距离公式，考查计算能力，属于中档题21（12分）（2016秋山西期末）已知函数f（x）=x33ax2+3x+1（）设a=2，求f（x）的单调区间；（）设f（x）在区间（2，3）内至少有一个极值点，求a的取值范围【分析】（1

33、）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间，利用导数小于0，可得f（x）的单调减区间；（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f（x）=0在其判别式0（即a1或a1）的条件下在区间（2，3）有解【解答】解：（）由f（x）=x33ax2+3x+1得f（x）=3x26ax+3当a=2时，f（x）=3x26ax+3=3x212x+3=3（x24x+1）由f（x）=3（x24x+1）0得或；由f（x）=3（x24x+1）0得；所以f（x）的单调递增区间是和，f（x）的单调递减区间是（）f（x）=3x26ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x

34、26ax+3=0在其判别式0（即a1或a1）的条件下在区间（2，3）有解由3x26ax+3=0可得a=（x+），令g（x）=（x+），求导函数可得g（x）=（1），g（x）0在（2，3）上恒成立，即g（x）0在（2，3）上单调递增，（x+），解得，所以a的取值范围是【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f（x）=0在其判别式0（即a1或a1）的条件下在区间（2，3）有解选考题：考生在下列三题中任选一题作答，选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）（2016秋山西期末）在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（，）对应的参数=，射线=与曲线C2交于点D（1，）（1）求曲线C1，C2的直角坐标系方程；（2