2016-2017年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷（解析版）

1、2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）已知集合A=x|x0，B=1，0，1，2，则AB=2（5分）设=a+bi（i为虚数单位，a，bR），则ab的值为3（5分）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是4（5分）如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x的值为5，则输出的y的值为5（5分）若直线x+y2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于6（5分）已知A，B3，1，1，2且AB，则直线Ax+By+1=0

2、的斜率小于0的概率为7（5分）若实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值为8（5分）若正四棱锥的底面边长为2（单位：cm），侧面积为8（单位：cm2），则它的体积为（单位：cm3）9（5分）已知抛物线y2=16x的焦点恰好是双曲线=1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为10（5分）已知cos（+）=（0），则sin（+）=11（5分）已知x=1，x=5是函数f（x）=cos（x+）（0）两个相邻的极值点，且f（x）在x=2处的导数f（2）0，则f（0）=12（5分）在正项等比数列an中，若a4+a32a22a1=6，则a5+a6的最小值为13（5分）已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆

3、心的单位圆上一动点，点Q满足=+，则|的最小值是14（5分）已知一个长方体的表面积为48（单位：cm2），12条棱长度之和为36（单位：cm），则这个长方体的体积的取值范围是（单位：cm3）二、解答题（共10小题，满分130分）15（14分）在ABC中，AB=6，AC=3，=18（1）求BC的长；（2）求tan2B的值16（14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD平面ABCD，证明：AF平面PCD17（14分）如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区

4、域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，MPN=，记EPM=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围：（参考数据：tan3）（2）求S的最小值18（16分）如图，椭圆C：+=1（ab0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y=kx+b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设=（1）若点P（3，0），点Q（4，1），求椭圆C的方程；（2）若=3，

5、求椭圆C的离心率e的取值范围19（16分）已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意nN*，an+1an=2（bn+1bn）恒成立（1）若An=n2，b1=2，求Bn；（2）若对任意nN*，都有an=Bn及+成立，求正实数b1的取值范围；（3）若a1=2，bn=2n，是否存在两个互不相等的整数s，t（1st），使，成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由20（16分）已知函数f（x）=g（x）h（x），其中函数g（x）=ex，h（x）=x2+ax+a（1）求函数g（x）在（1，g（1）处的切线方程；（2）当0a2时，求函数f（x）在x2a，a上的最大值；（3）当a=

6、0时，对于给定的正整数k，问函数F（x）=ef（x）2k（lnx+1）是否有零点？请说明理由（参考数据e2.718，1.649，e4.482，ln20.693）21（10分）已知a，bR，若点M（1，2）在矩阵A=对应的变换作用下得到点N（2，7），求矩阵A的特征值22（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=，试求直线l与曲线C的交点的直角坐标23（10分）为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史、生活中的数学、数学与哲学、数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学

7、每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每一课程都是等可能的（1）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求X的分布列和数学期望E（X）24（10分）已知Fn（x）=（1）0Cn0f0（x）+（1）1Cn1fi（x）+（1）nCnnfn（x），（nN*）（x0），其中，fi（x）（i0，1，2，n）是关于x的函数（1）若fi（x）=xi（iN），求关于F2（1），F2017（2）的值；（2）若fi（x）=（iN），求证：Fn（x）=（nN*）2016-2017学年江苏省扬州市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析

8、一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1（5分）（2016秋扬州期末）已知集合A=x|x0，B=1，0，1，2，则AB=1，0【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【解答】解：A=x|x0，B=1，0，1，2，AB=1，0，故答案为：1，0【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）（2015扬州二模）设=a+bi（i为虚数单位，a，bR），则ab的值为0【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等求得a，b的值，则答案可求【解答】解：由，得a=0，b=1ab=0故答案为：0【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础

9、题3（5分）（2014石家庄模拟）某学校共有师生3200人，先用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是200【分析】根据学校的总人数和要抽取的样本容量，做出每个个体被抽到的概率，根据学生要抽取150人，做出教师要抽取的人数是10，除以概率得到教师的人数【解答】解：学校共有师生3200人，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，每个个体被抽到的概率是=，=，学校的教师人数为10×20=200故答案是：200【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是做出每个个体被抽到的概率，且在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等4

10、（5分）（2016秋扬州期末）如图是一个求函数值的算法流程图，若输入的x的值为5，则输出的y的值为15【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，代入x=5，即可得到答案【解答】解：执行算法流程图，可得该程序的作用是计算分段函数y=的值，x=5，不满足条件x0，有y=54×5=15输出y的值为15故答案为：15【点评】要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题，本题属于基础题5（5分）（2016秋扬州期末）若直线x+y2=0与圆x2+y2=4相交于A，B两点，则弦AB的长

11、度等于2【分析】易得圆的圆心和半径，由距离公式可得圆心到直线的距离d，由勾股定理可得|AB|【解答】解：圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，圆心到直线x+y2=0的距离d=1，弦长|AB|=2=2故答案为：2【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属基础题6（5分）（2016秋扬州期末）已知A，B3，1，1，2且AB，则直线Ax+By+1=0的斜率小于0的概率为【分析】求出基本事件的所有情况，利用概率公式可得结论【解答】解：直线Ax+By+1=0的斜率为，所有情况有1=11种（A=1，B=1与A=1，B=1斜率相等），即3，3，1，2，2，满足直线Ax+By+1=0的斜率小于0的情况有

12、4种，所求概率为，故答案为【点评】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定基本事件的情况是关键7（5分）（2016秋扬州期末）若实数x，y满足，则z=2x+3y的最大值为8【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，2），化目标函数z=2x+3y为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8故答案为：8【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）（2016秋扬州期末）若正四棱锥的底面边长为2（单位：

13、cm），侧面积为8（单位：cm2），则它的体积为（单位：cm3）【分析】根据侧面积计算出棱锥的斜高，利用勾股定理计算棱锥的高【解答】解：设四棱锥为PABCD，底面ABCD的中心为O取CD中点E，连结PE，OE则PECDOE=1S侧面=4SPCD=4××CD×PE=8，PE=2PO=，正四棱锥体积V=故答案为【点评】本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于基础题9（5分）（2016秋扬州期末）已知抛物线y2=16x的焦点恰好是双曲线=1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为y=±x【分析】根据题意，求出抛物线y2=16x的焦点坐标，可得双曲线=1的右焦点坐标，进

14、而可得12+b2=16，解可得b的值，由a、b的值结合双曲线渐近线方程计算可得答案【解答】解：根据题意，抛物线的标准方程：y2=16x，其焦点坐标为（4，0），则双曲线=1的右焦点坐标为（4，0），则c=4，有12+b2=16，解可得b=2，则双曲线的方程为=1，则该双曲线的渐近线方程y=±x；故答案为：y=±x【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及抛物线的标准方程，注意要先求出抛物线的焦点坐标10（5分）（2016秋扬州期末）已知cos（+）=（0），则sin（+）=【分析】由已知求出的范围，进一步求得sin（+），则由sin（+）=sin=sin（），展开两角差的正弦得

15、答案【解答】解：0，（），又cos（+）=，sin（+）=，sin（+）=sin=sin（）=sin（）cos+cos（）sin=故答案为：【点评】本题考查三角函数的化简求值，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题11（5分）（2016秋扬州期末）已知x=1，x=5是函数f（x）=cos（x+）（0）两个相邻的极值点，且f（x）在x=2处的导数f（2）0，则f（0）=【分析】根据已知可得函数f（x）的周期T=8，且在1，5上为减函数，进而求出=，可得答案【解答】解：x=1，x=5是函数f（x）=cos（x+）（0）两个相邻的极值点，=51=4，T=8，0=，f（x）在x=2处的导数f（2）0，

16、函数f（x）在1，5上为减函数，故+=，=，f（0）=cos=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数的图象，函数的周期性，函数的单调性，函数求值，难度中档12（5分）（2016秋扬州期末）在正项等比数列an中，若a4+a32a22a1=6，则a5+a6的最小值为48【分析】设 a2+a1=x，等比数列的公比为q，则a4+a3 =xq2，a5+a6 =xq4，由此推导出a5+a6 =6（ q22+4 ），由此利用均值定理能求出a5+a6的最小值【解答】解：设 a2+a1=x，等比数列的公比为q，则a4+a3 =xq2，a5+a6 =xq4再由a4+a32a22a1=6，得 xq2=6+2x，

17、x=0，q1a5+a6 =xq4 =6=6（ q2+2+）=6（ q22+4 ）6（4+4）=48，当且仅当q22=2时，等号成立，故a5+a6的最小值为48故答案为：48【点评】本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质、均值定理的合理运用13（5分）（2016秋扬州期末）已知ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，点Q满足=+，则|的最小值是【分析】首先建立平面直角坐标系：以A为原点，平行于CB的直线为x轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出C，B点的坐标，并根据题意设P（cos，sin），从而得到的坐标，用表示|

18、即可【解答】解：如图建立平面直角坐标系，设P（cos，sin），则A（0，0），B（，），C（，）；=+=（）=（）则|=故答案为：【点评】本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14（5分）（2016秋扬州期末）已知一个长方体的表面积为48（单位：cm2），12条棱长度之和为36（单位：cm），则这个长方体的体积的取值范围是16，20（单位：cm3）【分析】求出体积关于c的函数，利用导数确定函数的单调性，即可得出结论【解答】解：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，则a+b+c=9，ab+bc+ac=24，化简可得V=abc=c（c29c+24），V=3（

19、c2）（c4），函数在（0，2），（4，9）上单调递增，（2，4）上单调递减，c=2时，V=20，c=4时，V=16，这个长方体的体积的取值范围是16，20故答案为：16，20【点评】本题考查长方体体积的计算，考查导数知识的运用，属于中档题二、解答题（共10小题，满分130分）15（14分）（2016秋扬州期末）在ABC中，AB=6，AC=3，=18（1）求BC的长；（2）求tan2B的值【分析】（1）根据向量积的运算由=18可得ABACcosA=18，利用余弦定理可求BC的长度（2）方法1：利用余弦定理求解cosB和sinB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B方法2：利用正弦定理求s

20、inB，在求cosB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B【解答】解：（1）由=18可得ABACcosA=18，AB=6，AC=3cosA=，0A，A=由余弦定理可得：BC=；（2）方法1：由（1）可得：a=3，b=3，c=6，可得：cosB=那么sinB=tanB=故得tan2B=方法2：由（1）可得：cosA=，A=那么：a=3，b=3，c=6，那么sinA=正弦定理可得：，可得sinB=，那么：cosB=tanB=故得tan2B=【点评】本题考查了正余弦定理的运用和二倍角公式，同角三角关系式的运用属于基础题16（14分）（2016秋扬州期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD

21、是矩形，点E、F分别是棱PC和PD的中点（1）求证：EF平面PAB；（2）若AP=AD，且平面PAD平面ABCD，证明：AF平面PCD【分析】（1）证明CDEF，ABCD，即可证明ABEF，利用线面平行的判定即可得解；（2）利用平面PAD平面ABCD，证明CDAF，PA=AD，所以AFPD，即可证明AF平面PCD；【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以CDEF因为底面ABCD是矩形，所以ABCD可得：ABEF，又因为EF平面PAB，AB平面PAB，所以EF平面PAB（6分）（2）证明：在矩形ABCD中，CDAD又因为平面PAD平面ABCD，且平面

22、PAD平面ABCD=AD，所以CD平面PAD又AF平面PAD，所以CDAF由（1）可知ABEF，又因为ABCD，所以CDEF由点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点在PAD中，因为PA=AD，所以AFPD又因为PDCD=D，所以AF平面PCD（12分）【点评】本题考查线面平行的性质，平面与平面垂直的性质，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17（14分）（2016秋扬州期末）如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在

23、线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，MPN=，记EPM=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围：（参考数据：tan3）（2）求S的最小值【分析】（1）利用正弦定理，求出PM，PN，即可求S关于的函数关系式，M与E重合时，=0，N与D重合时，tanAPD=3，即=，即可写出的取值范围；（2）当2+=即时，S取得最小值【解答】解：（1）在PME中，EPM=，PE=4m，PEM=，PME=，由正弦定理可得PM=，同理，在PNE中，PN=，SPMN=，M与E重合时，=0，N与D重合时，ta

24、nAPD=3，即=，0，综上所述，SPMN=，0；（2）当2+=即时，S取得最小值=8（1）平方米【点评】本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查三角函数知识的运用，属于中档题18（16分）（2016秋扬州期末）如图，椭圆C：+=1（ab0），圆O：x2+y2=b2，过椭圆C的上顶点A的直线l：y=kx+b分别交圆O、椭圆C于不同的两点P、Q，设=（1）若点P（3，0），点Q（4，1），求椭圆C的方程；（2）若=3，求椭圆C的离心率e的取值范围【分析】（1）由P（3，0）在圆O上，可得b=3再由点Q在椭圆C上求得a则椭圆方程可求；（2）分别联立直线方程与圆、椭圆的方程，求出P、Q的横坐标，

25、由=，=3，得，代入点的坐标可得再由k20求得e的取值范围【解答】解：（1）由P（3，0）在圆O：x2+y2=b2上，可得b=3又点Q在椭圆C上，得，解得a2=18椭圆C的方程为；（2）联立，得x=0或xP=，联立，得x=0或xQ=，=3，即k20，4e21，得e，或又0e1，【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆标准方程的求法，考查平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是中档题19（16分）（2016秋扬州期末）已知数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且对任意nN*，an+1an=2（bn+1bn）恒成立（1）若An=n2，b1=2，求Bn；（2）若对任意nN*，都有an=Bn及+成立

26、，求正实数b1的取值范围；（3）若a1=2，bn=2n，是否存在两个互不相等的整数s，t（1st），使，成等差数列？若存在，求出s，t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）An=n2，可得a1=1，n2时，an=AnAn1，可得an由对任意nN*，an+1an=2（bn+1bn）恒成立可得bn+1bn=（an+1an）=1b1=2，利用等差数列的求和公式即可得出（2）Bn+1Bn=an+1an=2（bn+1bn）=bn+1，可得bn+1=2bn，bn=，an=Bn=b1（2n1）=，利用“裂项求和”方法即可得出（3）由an+1an=2（bn+1bn）=2n+1n2时，an=（anan1）+（

27、an1an2）+（a2a1）+a1=2n+12An=2n+242n又Bn=2n+12可得=2假设存在两个互不相等的整数s，t（1st），使，成等差数列，等价于，成等差数列，可得2×=1+1，利用函数的单调性即可判断出结论【解答】解：（1）An=n2，a1=1，n2时，an=AnAn1=n2（n1）2=2n1，n=1时也成立，an=2n1对任意nN*，an+1an=2（bn+1bn）恒成立bn+1bn=（an+1an）=1b1=2，数列bn是等差数列，公差为1，首项为2，Bn=2n+=+n（2）Bn+1Bn=an+1an=2（bn+1bn）=bn+1，可得bn+1=2bn，数列bn是等

28、比数列，公比为2bn=，an=Bn=b1（2n1）=，+=+=成立，b1，b13（3）由an+1an=2（bn+1bn）=2n+1n2时，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=2n+2n1+22+2=2n+12当n=1时也成立An=2n=2n+242n又Bn=2n+12=2假设存在两个互不相等的整数s，t（1st），使，成等差数列等价于，成等差数列，2×=1+1，2×1，即2s2s+1，令h（s）=2s2s1，则h（s+1）h（s）=2s+12（s+1）1（2s2s1）=2s20，h（s）单调递增，若s3，则h（s）h（3）=10，不满足条件，舍去s=

29、2，代入得：=1+，可得2t3t1=0（t3）t=3时不满足条件，舍去t4时，令u（t）=2t3t1=0（t4），同理可得函数u（t）单调递增，u（t）u（4）=30，不满足条件综上可得：不存在两个互不相等的整数s，t（1st），使，成等差数列【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题20（16分）（2016秋扬州期末）已知函数f（x）=g（x）h（x），其中函数g（x）=ex，h（x）=x2+ax+a（1）求函数g（x）在（1，g（1）处的切线方程；（2）当0a2时，求函数f（x）在x2a，a上的最大值；（3

30、）当a=0时，对于给定的正整数k，问函数F（x）=ef（x）2k（lnx+1）是否有零点？请说明理由（参考数据e2.718，1.649，e4.482，ln20.693）【分析】（1）求出函数的导数，计算g（1），g（1），求出切线方程即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出f（x）的最大值即可；（3）问题转化为e令p（x）=e，q（x）=，根据函数的单调性判断即可【解答】解：（1）g（x）=ex，g（x）=ex，g（1）=e，函数g（x）在（1，g（1）处的切线方程为ye=e（x1），即y=ex；（2）f（x）=ex（x2+ax+a），f（x）=（x+2）（x+a）ex=0，可得

31、x=a或x=22a2，即0a1时，f（x）在2a，a上递减，在a，a上递增，f（x）max=f（a）；2a2，即1a2时，f（x）在2a，2上递增，2，a】递减，在a，a上递增，f（x）max=maxf（2），f（a）=f（a）；综上所述，f（x）max=f（a）=（2a2+a）ea；（3）k=1，函数F（x）=ef（x）2k（lnx+1）无零点，k2，函数F（x）=ef（x）2k（lnx+1）有零点理由如下：k=1时，证明ex2ex2lnx20即可，即证明e令p（x）=e，q（x）=，而p（x）=，令p（x）0，解得：x1，令p（x）0，解得：x1，p（x）min=p（1）=e2，q（x）=

32、，令q（x）0，解得：0x，令q（x）0，解得：x，故q（x）max=q（）=e2，e，故命题得证【点评】本题考查了切线方程问题，考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题21（10分）（2016秋扬州期末）已知a，bR，若点M（1，2）在矩阵A=对应的变换作用下得到点N（2，7），求矩阵A的特征值【分析】先求出矩阵A，再利用矩阵A的特征多项式f（）=（3）（5）=0，求矩阵A的特征值【解答】解：由题意得=，a=4，b=1，A=，矩阵A的特征多项式f（）=（3）（5），由f（）=0，可得=3或5【点评】本题考查矩阵变换，考查特征多项式的运用，属于中档题22（10

33、分）（2016秋扬州期末）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为=，试求直线l与曲线C的交点的直角坐标【分析】将两方程化为普通方程，联立，即可求出直线l与曲线C的交点的直角坐标【解答】解：直线l的极坐标方程为=，直角坐标方程为y=x，曲线C的参数方程为（为参数），普通方程为y=2x2（1x1），联立方程可得x2+x2=0，x=1或x=2（舍去），直线l与曲线C的交点的直角坐标为（1，1）【点评】本题考查三种方程的互化，考查方程思想，正确转化是关键23（10分）（2016秋扬州期末）为了提高学生学习数学的兴