信号与系统2008第1章3讲

1、Signal and system11、信号的基函数表示法2、正交函数3、基本信号及其时域特性一、信号的基函数表示法一、信号的基函数表示法希望用统一的形式来表示任意信号：希望用统一的形式来表示任意信号：数学上证明可以用一组基函数的线性组合数学上证明可以用一组基函数的线性组合来表示信号来表示信号)()(ttfnnna n=0,1, 2 (1.31)就变成了如何选择最佳的就变成了如何选择最佳的 基函数基函数 n n(t),(t),和确和确 定相应的系数定相应的系数a an n的问题了。的问题了。复习Signal and system2 在在t1,t2区间上定义的非零实函数区间上定义的非零实函数f1

2、(t)与与f2(t)，若满足，若满足条件：条件：)94 . 1 (0)()(2121ttdttftf则函数则函数f1(t)与与f2(t)为区间为区间t1,t2上的正交函数。上的正交函数。如果系数要满足终结性，在表示式成立的时间如果系数要满足终结性，在表示式成立的时间 区间内，区间内，要求基函数集要求基函数集 n(t),是正交函数集。是正交函数集。二、正交函数二、正交函数Signal and system正交函数集：正交函数集：定义：定义：在在t1,t2区间上定义的区间上定义的n个非零实函数集个非零实函数集 g1(t), g2(t) ,gn(t)，其中任意两个函数，其中任意两个函数gi(t)、

3、gj(t)均满足：均满足：)134 . 1 (kdt(t)gji0(t)dtg(t)gi2iji2121tttt其中，其中，ki为常数，称此函数集为正交函数集为常数，称此函数集为正交函数集Signal and system 任意一个函数任意一个函数f(t)在区间在区间t1,t2内内，可以用这，可以用这n个正个正交函数的线性组合交函数的线性组合来近似表示：来近似表示： nrrrnntgctgctgctgctf12211)()(.)()()( 在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数系数c1,c2,cn： dttgctftttttnrrr2112

4、221)()(1 Signal and system令02 idcd 则： 212121)()(1)()()(2ttiittittiidttgtfkdttgdttgtfc dttgctftttttnrrr2112221)()(1 Signal and system常用的完备正交函数集常用的完备正交函数集:1、三角函数集：、三角函数集： 函数函数1，cos t,cos2 t, ,cosn t,.,sin t, sin2 t, ,sinn t, 当所取函数有无限多个时，在区间当所取函数有无限多个时，在区间t0，t0+T内组成内组成完备正交函数集。其中完备正交函数集。其中T=2 / 2、复指数函数集

5、：、复指数函数集：函数集函数集ejn t,n=0,1, 2,是一个复变函数集，在区是一个复变函数集，在区间间t0，t0+T内是完备正交函数集内是完备正交函数集。Signal and system 所谓完备，是指对任意函数所谓完备，是指对任意函数f(t)，都可以用一无穷级，都可以用一无穷级数表示：数表示：1)()(rrrtgctf此级数收敛于此级数收敛于f(t)。上式即。上式即f(t)的正交分解。的正交分解。Signal and system8表示常用信号的连续函数表示常用信号的连续函数正弦函数正弦函数指数函数指数函数抽样函数抽样函数钟形脉冲函数（高斯函数）钟形脉冲函数（高斯函数）三、基本信号及

6、其时域特性三、基本信号及其时域特性Signal and system92、单位阶跃函数、单位阶跃函数3、单位冲激函数单位冲激函数 (t)4、单位冲激偶、单位冲激偶 (t)1、单位斜坡函数、单位斜坡函数奇异信号奇异信号有简单的数学形式，但其本身、或其导数、有简单的数学形式，但其本身、或其导数、或其积分有不连续点。或其积分有不连续点。Signal and system101、单位斜坡函数、单位斜坡函数) 55 . 1 (000)(ttttRR(t)11t1t0tR(t-t0)如果将起始点移至如果将起始点移至t0，则，则 000)(ttttR)(0tt )(0tt 返回Signal and syst

7、em112、单位阶跃函数、单位阶跃函数)65 . 1 (0100)(tttu10u(t)t10u(t-t0)tt0若跳变点移至若跳变点移至t0，则，则 10)(0ttu)(0tt )(0tt Signal and system12单位阶跃函数单位阶跃函数的特性：的特性：)75 .1()()(tdutR)85 .1()0()()(tdttdRtuSignal and system13单位阶跃函数的接入特性：单位阶跃函数的接入特性：)(sin)(tuttf 信号在信号在t0时刻接入：时刻接入：sin t u(t)0t)(sin)(0ttuttf sin （t) u(t-t0)tt00Signal

8、and system14)115 . 1 ()2()2(1)(lim0tutut3、单位冲激函数单位冲激函数 (t)矩形脉冲演变为冲激函数矩形脉冲演变为冲激函数tG(t) 12 2 00t0(1) (t) )2()2(1)( tututGSignal and system15狄拉克（狄拉克（Dirac）定义）定义满足狄拉克条件：满足狄拉克条件：)125.1(00)(1)(ttdtt若冲激点在若冲激点在t=t0处，则定义式为：处，则定义式为： 0)(1)(00ttdttt )(0tt t0(1)(t-t0)t0t0(1)(t)Signal and system16单位冲激函数单位冲激函数的特性：

9、的特性：单位冲激函数单位冲激函数的积分是的积分是单位阶跃函数单位阶跃函数)165 . 1 ()()(tdtu)175.1()()(tudtdtSignal and system17连续函数连续函数f(t)与与单位冲激函数单位冲激函数的乘积等于的乘积等于冲冲 激点的函数值激点的函数值与与 (t)相乘相乘)2115()()0()()(tfttf若冲激点在若冲激点在t0处，且处，且f(t)在在t0处连续，则处连续，则)()()()(000tttftttfSignal and system18筛选特性：筛选特性：单位冲激函数单位冲激函数与连续函数与连续函数f(t) 的乘积的积分等于的乘积的积分等于冲激

10、点的函数值冲激点的函数值)145 .1()0()()( fdtttf或或 )()()(00tfdttttf Signal and system19奇偶性奇偶性：)185 . 1 ()()(tt返回)0()()()()()()()(fdttfttdtftdttft)0()()(fdttftSignal and system20尺度变换：尺度变换：)205.1(0)(1)(ataat证明：1、当、当a0时，令时，令 =at)()()( addtat ada1)(1 Signal and system211、当、当a0时时，f(t-t0)的波形为：的波形为：f(t)沿时间轴沿时间轴右移右移t0t01

11、时时，f(at)的波形为：的波形为：f(t)的波形的波形沿时间轴压缩沿时间轴压缩1/a倍倍，幅值不变。，幅值不变。0tf(2t)120tf(t/2)1240a1时时，f(at)的波形为：的波形为：f(t)的波形的波形沿时间轴扩展沿时间轴扩展1/a倍倍，幅值不变。，幅值不变。Signal and system44例例1： 已知已知f(t)的波形，试画出的波形，试画出f(1-2t)的波形。的波形。0tf(t)12310tf(t+1)123-11平移：平移：展缩：展缩：0tf(2t+1)12121 反褶：反褶：0tf(1-2t)12121 -1Signal and system45例例2：用用反褶反褶展缩展缩时移时移的顺序解的顺序解例例10tf(t)1231平移：平移：展缩：展缩：反褶：反褶：-30tf(-t)-1-21-30tf(-2t)-1-21-30tf(1-2t)-1-21Signal a