高中数学 第一章第九节《最小二乘估计》教学课件 北师大版必修3

1、高中数学必修第一章第九节最小二乘估计教学课件问题导入：问题导入： 上一节课我们学习了人的身高与右手上一节课我们学习了人的身高与右手一拃长之间近似存在着线性关系，这种一拃长之间近似存在着线性关系，这种线性关系可以有多种方法来进行刻画，线性关系可以有多种方法来进行刻画，那么用什么样的线性关系刻画会更好？那么用什么样的线性关系刻画会更好？这就是本节课我们要讨论的问题。这就是本节课我们要讨论的问题。 用什么样的线性关系刻画会更用什么样的线性关系刻画会更好一些？好一些？问题问题1：想法：保证这条直线与所有点都近想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离最小）。（也就是距离最小）。最小二乘法就是基于这种想

2、法。最小二乘法就是基于这种想法。 问题问题2：用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？设直线方程为设直线方程为y=a+bx，样本点，样本点A（xi，yi）方法一、点到直线的距离公式方法一、点到直线的距离公式 12baybxdii方法二、方法二、2iibxay y0iiyx ,iibxax,bxay 显然方法二能有效地表示点显然方法二能有效地表示点A与直线与直线y=a+bx的距的距离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表离，而且比方法一更方便计算，所以我们用它来表示二者之间的接近程度示二者之间的接近程度 问题问题3：怎样刻画多个点与直线的接近程

3、度？怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 例如有例如有5个样本点，其坐标分别为（个样本点，其坐标分别为（x1，y1），），（x2，y2），（），（x3，y3），（），（x4，y4），（），（x5，y5）与直线与直线y=a+bx的接近程度：的接近程度：255244233222211bxaybxaybxaybxaybxay 若有若有n个样本点：（个样本点：（x1，y1）, ,（xn，yn），可以），可以用下面的表达式来刻画这些点与直线用下面的表达式来刻画这些点与直线ya+bx的接近程的接近程度度:2211)()(nnbxaybxay 使上式达到最小值的直线使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所求的直

4、线，这就是所求的直线，这种方法称为最小二乘法。种方法称为最小二乘法。xbyaxnxxyxnyxyxbnnn,.2221111212.x,ynnnxxxyyyn如果用 表示用 表示则可得到抽象概括：抽象概括：这样得到的直线方程称为这样得到的直线方程称为线性回归方程线性回归方程，a,b为其系数。为其系数。 1、在回归直线方程中，在回归直线方程中，b是回归直线方程的是回归直线方程的斜率，斜率，a是截距；是截距；b的含义容易理解成增加的单的含义容易理解成增加的单位数，而实际上，它代表位数，而实际上，它代表x每增加一个单位，每增加一个单位，y的平均增加单位数。一般的说，当回归系数的平均增加单位数。一般的

5、说，当回归系数b0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当当x每增加一个单位时，每增加一个单位时，y就增加就增加b个单位；当个单位；当b0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当是：当x每增加一个单位时，每增加一个单位时，y就减少就减少b个单位。个单位。2、回归直线必经过点、回归直线必经过点 ),(yx注：注：求线性回归方程的系数求线性回归方程的系数:xbyaxnxyxnyxxnxxyxnyxyxbniiniiinnn1221222111)(线性回归方程线性回归方程:abxyxx1x2x3x4.xnyy1y

6、2y3y4.yn3.例题例题1 1 从某大学中随机选出从某大学中随机选出8 8名女大学生，其名女大学生，其身高和体重数据如下表：身高和体重数据如下表：编号12345678身高165165157170175165155170体重4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为回归方程，并预报一名身高为172172的女的女大学生的体重。大学生的体重。1. 散点图；散点图；2.2.回归方程：回归方程：172.85849. 0 xy分析：由于问题中分析：由于问题中要求根据身高预报要求根据身高预报体重，因此选取身体重，

7、因此选取身高为自变量，体重高为自变量，体重为因变量为因变量学学身身高高172cm女172cm女大大生生体体重重y = 0.849y = 0.849172-85.712 = 60.316(kg)172-85.712 = 60.316(kg)例例2：上节中的练习热茶的杯数（：上节中的练习热茶的杯数（y）与气温（）与气温（x） 之间是线性相关的之间是线性相关的1）求线性回归方程）求线性回归方程2）如果某天的气温是）如果某天的气温是30C，预测这天，预测这天 能卖热茶多少杯？能卖热茶多少杯？气温261813104-1杯数202434385064课堂练习：课堂练习：1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时( ) A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位 C.y平均减少3个单位 D.y平均减少3个单位2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（ ）A.y=x+1 B. y=x+2 C. y=2x+1 D. y=x-1.5 . 35 . 2,5 . 3, 5 . 24