第5章-线性定常系统的综合2

1、1 1 1第5章 线性定常系统的综合 系统的描述q主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等； 系统的分析q主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)。 综合与设计问题q在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。2 2 25.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 状态反馈 反馈的两种基本形式 输出反馈5.1.1 状态反馈状态反馈方框图如图所示：受控系统：通常，D=0，则记为xAxBuyCxDu0( , ,)A B C xAxBuyCx3 3 3

2、 xAxBuyCxDu：uvKx得闭环系统给定系统在系统中引入反馈控制律() ()KxABK xBvyCDK xDv：0D () KxABK xBvyCx：若 ，则1( )()kW sC sIABKB闭环系统传递函数引入K，可以改变系统的特征值，使系统获得所要求的性能。5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性4 4 45.1.2 输出反馈输出反馈结构图如下：0( , ,)A B C D 受控系统：xAxBuyCxDu若D=0，xAxBuyCx0( , ,)A B C 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性5 5 5()uH CxDuvHCxHDuv1() ()uIHDHCxv代入受控系统

3、：uHyv在系统中引入反馈控制律1111()()()()xAB IHDHC xB IHDvyCD IHDHC xD IHDv 得：xAxBuyCxDu若D=0：()xABHC xBvyCxxAxBuyCx引入输出反馈H，也可以改变系统的特征值，从而改变系统特性。5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性6 6 6D=0 时，闭环系统传递函数原受控系统传递函数为：则还有以下关系式成立：1( )()HWsC sIABHCB10( )()W sC sIAB100( )( )( )HWsWsIHWs100( )( )( )HWsIWs HWs或5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性7 7 75.1

4、.3 从输出到 的反馈 结构图如下：x ACyxx uGB()xAGC xBuyCx() ()()xAxBuGyAxBuG CxDuAGC xBGD uyCxDu若D0，则xAxBuyCxDu5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性8 8 8:(,)ddddA B C0:( , ,)A B Cyv串联连接5.1.4 动态补偿器 直接引入一个子系统来改善系统的性能。0:( , ,)A B C:(,)ffffA B Cyv反馈连接5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性9 9 95.1.5 闭环系统的能控性与能观性定理5.1.1 状态反馈不改变受控系统 的能控性，但不保证系统的能观性不变。能控

5、性：由能控性矩阵秩相等可得。0( , ,)A B C 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性能观性：对SISO系统而言，状态反馈虽然不改变系统的零点，但改变了系统的极点，有可能造成零极点对消现象，从而改变系统的能观性。1nMBABAB1()()nkMBABK BABKB101010解：原的能控性和能观性：因此，受控系统既是能控也是能观的。加入状态反馈 后，【例5-1】试分析以下系统引入状态反馈 K-1 0后的能控 性和能观性。010,01101xxuyx 0121001210rank bAbrankcrankrankcA10K 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性111111有010

6、011010100AbK 01()210011()00rank bAbK brankcrankrankc AbK121( )()ksW sc sIAbKbss102( )()1sW sc sIAbs故引入状态反馈后，系统是能控但不能观的。实际上，由传递函数闭环系统矩阵产生了零极点对消，从而破坏了系统的能观性。5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性121212定理5.1.2：输出反馈不改变系统的能控性和能观性。能控性：输出反馈可看成状态反馈的特例 K=HC，状态反馈不改变系统能控性，故输出反馈也不改变系统的能控性。1nCCAQCA能观性：由能观性矩阵验证秩相等可得。1()()HnCC ABH

7、CQC ABHC5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性131313极点配置问题：是通过选择反馈增益矩阵K，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能。5.2.1 采用状态反馈5.2 极点配置问题定理5.2.1 给定系统0:xAxbuycx0采用状态反馈对系统任意配置极点的充要完全能控。条件是系统0( , , )A b c 141414证明：仅证充分性，即证，若系统完全能控，则通过状态反 馈必能使极点任意配置。 （此证明过程即为极点配置 问题的设计步骤 ）*1*1101det()( )()nnniniIAbKf 0 xAxbuycx：() KxAbK xbvycx

8、：uvKx是我们所期望的极点。*(1,2, )iin其中：闭环系统的特征多项式为：5.2 极点配置问题151515(1) 若 能控，则必能通过变换 将 化为能控标准I型。001cxT x11111012101210100000100,000011cccnnAT ATbT baaaaCbbbb 12121001110( )nnnnnnnbsbsb sbW ssasa sa传递函数为：5.2 极点配置问题161616(2) 设状态反馈矩阵 ，加入状态反馈后，有011nKkkk()xAbK xbuyCx001111010001()()()nnAbKakakak其中，闭环系统的传递函数：1212101

9、111100( )()()()nnnnknnnnbsbsbsbW ssaksak sak5.2 极点配置问题171717(4) 最后，把对应于 的 ，变回对应于 x 的 K 。xK1111ccuvKxvKTxvKxKKT*( )( )ff*iiiaka*iiikaa*001111nnKaaaaaa(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：1111100( )()()()()nnnnfIAbKakakak闭环系统的特征多项式：5.2 极点配置问题181818*001111, , , nnKaaaaaa12n-1n-210( )nnnfIAaaaa*1*2*121210( )()()()nn

10、nnnnfaaaa 单输入系统极点配置的算法 求A的特征多项式 求闭环系统的期望特征多项式 计算 计算112123121101 1nnncnTAbAbb计算 Tc1-111cKKT 求5.2 极点配置问题191919001110011000 xx 2*131*3 , 2j3100110001rankrank2bAAbb解： 因为系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律能任意配置闭环特征值。例 考虑系统求状态反馈增益阵K，使反馈后闭环特征值为uvKx5.2 极点配置问题2020201) 由3200( )1102011fIA 得：0120, 1, 2 .aaa2) 由得*12332( ) ()()(

11、) (2)(13)(13) 488fjj *0128, 8, 4.aaa3)001122,8, 7, 2kaaaaaa 5.2 极点配置问题2121214)2121210000 11 0 01 2 1101 1 0 2 1 01 1 0110 01 2 11 0 0cTA bAb baaa 5)111121001110011100121cT6)11001872011233121cKKT 5.2 极点配置问题222222算法2：直接配置1) 将 带入系统状态方程，并求得相应 闭环系统的特征多项式uvKx 1110( )( )( )( )nnnfaka ka k其中， 是反馈矩阵k的函数，( )

12、1,ia kin 2) 计算理想特征多项式*1*12110( )()()()nnnnfaaa 3) 列方程组 并求解。 其解 即为所求。., 1,)(*niakaii01,nKkk5.2 极点配置问题232323解：设所需的状态反馈增益矩阵 K 为因为经过状态反馈 后，闭环系统的特征多项式为( )()fIAbkuvKx例 系统矩阵同上例001 ,110011000bA01,nKkk5.2 极点配置问题2424240123200101200000100110000011021 2kkkkkkkkk 根据闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为32( )(2)(13)(13) 488fjj 比较两

13、多项式同次幂的系数，有 ：00201224, 128, 8kkkkkk得： 即得状态反馈增益矩阵为 ： ，与上例的结果相同。1232,3,3kkk233K 5.2 极点配置问题252525【例5-2】系统传递函数为 设计状态反馈控制器，使闭环系统极点为解：（1）因为没有零极点对消，故系统完全能控，可以由传递函数直接写出其能控标准型：2, 1j 10( )(1)(2)W ss ss321010( )(1)(2)32W ss sssss01000010,02311000 xxuyx 5.2 极点配置问题262626012Kkkk32210( )() (3)(2)()fIAbKkkk （2）加入状态

14、反馈 闭环特征多项式为：（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：*32( )(2)(1)(1) 464fjj （4）比较对应项系数得 即012441kkk， 441K 5.2 极点配置问题272727-2-3x2x1uvx x3 30k1k2k此种方法计算状态反馈矩阵K较简便，但由于所需状态信息难于检测，工程上实现较难。若用串联分解法选择状态变量，则工程上实现起来将简单得多。5.2 极点配置问题282828从图中可以看出，由于各状态变量 均是各子系统的输出，因而易于检测。由模拟结构图可以写出系统的状态空间表达式：模拟结构图如下：111( )1021W ssss123,x x x5.2 极点

15、配置问题292929(1) 引入状态反馈 ，则11122233301000110,10000021xxxxxuyxxxx 012Kkkk0120120100010011001100212AAbKkkkkkk 计算闭环特征多项式：322120( )()(3)(2)()fIAbKkkkk 5.2 极点配置问题303030(2) 期望的特征多项式为：*32( )(2)(1)(1)464fjj (3) 比较系数即可得：0124, 3, 1kkk即 431K 闭环系统结构图5.2 极点配置问题3131315.2 极点配置问题几点讨论：1) 选择期望极点2) SISO系统，只要系统能控必能通过状态反馈实现

16、闭环系统的极点任意配置。3) MIMO系统原理同样适用，但具体设计要困难很多。 n阶系统，必须指定n个实极点或共轭复极点； 极点的确定，要充分考虑系统性能的主导影响及其与零点分布的关系。还要兼顾系统抗干扰的的能力和参数漂移低敏感性的要求3232325.2 极点配置问题定理：对完全能控的单输入单输出系统 ，5.2.2 采用输出反馈0( , ,)A b C 不能采用输出线性反馈来实现系统极点的任意配置。333333定理：对系统 采用从输出到 的线性反 馈实现闭环极点任意配置的充要条件是： 完全能观。5.2 极点配置问题5.2.3 采用输出到 反馈0( , , )A b c x x 0( , , )

17、A b c 3434345.3 系统的镇定问题3535355.4 系统的解耦问题分析 每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多个输入所控制，我们称这种交互作用的现象为耦合。一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困难的事情。 如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制。实现这样的控制称为解耦控制，或者简称为解耦。3636365.3 系统的解耦问题解耦前3737375.3 系统的解耦问题解耦后3838385.5 状态观测器 状态反馈 极点配置 解耦控制 最优控制等 改善控制系统的性能 状态的获得 不易直接测量 量测设备的局限 问题的实质就是构造一个新的系统 ( 或者说

18、装置) ，利用原系统中可直接测量的输入量 和输出量 作为它的输入信号，并使其输出信号满足用以实现状态重构的系统就称为状态观测器。 uylim ( )lim ( )ttx tx t5.5 状态观测器393939根据以上定义，可知构造状态观测器的原则是：1） 以 的输入u和输出y作为其输入；2）须满足 ；3） 趋近于 x 的速度足够快；4) 的结构应尽量简单，维数应尽量低，以方便物理实现。5.5.1 状态观测器的定义设线性定常系统 的状态向量 不能直接检测，如果动态系统 以 的输入u和输出y作为输入量，能产生一组输出量 渐近于 x ，即则 为 的一个状态观测器。0( , ,)A B C x xli

19、m0txx0lim0txx00 x5.5 状态观测器4040405.5.3 状态观测器的实现定理：若线性定常系统 完全能观，则其状态向量 x 可由输出 y 和输入 u 进行重构。5.5.2 状态观测器的存在性定理：对线性定常系统 ，状态观测器存在的充要条件是 的不能观子系统为渐近稳定。0( , ,)A B C 00( , ,)A B C 5.5 状态观测器414141图5.14 利用u和y重构状态x图5.15 开环状态观测器5.5 状态观测器424242利用输出信息对状态误差进行校正。其结构图如下：ABBCCAG xxuy0 y() ()xAxBuG yyAxBuGyGCxAGC xBuGy状态观测器的方程：5.5 状态观测器434343由上式，又可以将观测器的结构图表示成如下图形：ABBCA GCG xxuy0观测器的输入有两个：u、y；输出则是状态向量的估计值 。 x5.5 状态观测器4444445.5.4 闭环全维状态观测器反馈矩阵G的设计 状态观测器的动态方程可写为：令()xAGC xBuGy()()()()xxxAxBuAGC xBuGyAGCxxAGC x其解为()0(0) 0, 0A GC txextt可以看出，若能使 A-GC 的特征值为负实部，则误差趋于零。我们能够左右的只有 G，相当于求 G 配置 A-GC 的极点。xxx